Последовательности и ряды функций

Докажите, что всякая равномерно сходящаяся последовательность ограниченных функций равномерно ограничена.

Если $\left\{ f_{n}\right\}$ и $\left\{ g_{n}\right\}$ сходятся равномерно на множестве $E$, докажите, что $\left\{ f_{n}+g_{n}\right\}$ сходится равномерно на $E$. Если, кроме того, $\left\{ f_{n}\right\}$ и $\left\{ g_{n}\right\}$ — последовательности ограниченных функций, докажите, что $\left\{ f_{n} g_{n}\right\}$ сходится равномерно на $E$.

Постройте последовательности $\left\{ f_{n}\right\} ,\left\{ g_{n}\right\}$, которые сходятся равномерно на некотором множестве $E$, но такие, что $\left\{ f_{n} g_{n}\right\}$ не сходится равномерно на $E$ (разумеется, $\left\{ f_{n} g_{n}\right\}$ должна сходиться на $E$).

Рассмотрим

При каких значениях $x$ ряд сходится абсолютно? На каких интервалах он сходится равномерно? На каких интервалах он не сходится равномерно? Непрерывна ли $f$ всюду, где ряд сходится? Ограничена ли $f$?

Пусть

Покажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к непрерывной функции, но не равномерно. Используя ряд $\Sigma f_{n}$, покажите, что абсолютная сходимость, даже при всех $x$, не влечёт равномерной сходимости.

Докажите, что ряд

сходится равномерно на каждом ограниченном интервале, но не сходится абсолютно ни при каком значении $x$.

Для $n = 1,2,3, \ldots$, $x$ действительного, положим

Покажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится равномерно к некоторой функции $f$, и что равенство

верно при $x \neq 0$, но неверно при $x = 0$.

Если

если $\left\{ x_{n}\right\}$ — последовательность различных точек $(a, b)$, и если $\Sigma \left|c_{n}\right|$ сходится, докажите, что ряд

сходится равномерно, и что $f$ непрерывна при всех $x \neq x_{n}$.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность непрерывных функций, которая сходится равномерно к функции $f$ на множестве $E$. Докажите, что

для каждой последовательности точек $x_{n} \in E$ такой, что $x_{n} \rightarrow x$, и $x \in E$. Верно ли обратное?

Обозначая через $(x)$ дробную часть действительного числа $x$ (см. упражнение 16, гл. 4, для определения), рассмотрим функцию

Найдите все точки разрыва $f$ и покажите, что они образуют счётное плотное множество. Покажите, что тем не менее $f$ интегрируема по Риману на каждом ограниченном интервале.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\} ,\left\{ g_{n}\right\}$ определены на $E$, и

Пусть $g$ и $f_{n}(n = 1,2,3, \ldots )$ определены на $(0, \infty )$, интегрируемы по Риману на $[t, T]$ при всех $0 < t < T < \infty$, $\left|f_{n}\right| \leq g$, $f_{n} \rightarrow f$ равномерно на каждом компактном подмножестве $(0, \infty )$, и

Докажите, что

(См. упражнения 7 и 8 гл. 6 для соответствующих определений). Это довольно слабая форма теоремы Лебега о мажорируемой сходимости (теорема 11.32). Даже в контексте интеграла Римана равномерную сходимость можно заменить поточечной, если предполагается, что $f \in \mathscr {R}$. (См. статьи Ф. Каннингема в Math. Mag., т. 40, 1967, с. 179–186, и Х. Кестелмана в Amer. Math. Monthly, т. 77, 1970, с. 182–187).

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность монотонно возрастающих функций на $R^{1}$ с $0 \leq f_{n}(x) \leq 1$ при всех $x$ и всех $n$.

Пусть $f$ — непрерывная действительная функция на $R^{1}$ со следующими свойствами: $0 \leq f(t) \leq 1$, $f(t+2) = f(t)$ при всех $t$, и

Положим $\Phi (t) = (x(t), y(t))$, где

Докажите, что $\Phi$ непрерывна и что $\Phi$ отображает $I = [0,1]$ на единичный квадрат $I^{2} \subset R^{2}$. Более того, покажите, что $\Phi$ отображает канторово множество на $I^{2}$.

Указание: Каждая точка $\left(x_{0}, y_{0}\right) \in I^{2}$ имеет вид

где каждое $a_{i}$ равно 0 или 1. Если

покажите, что $f\left(3^{k} t_{0}\right) = a_{k}$, и, следовательно, что $x\left(t_{0}\right) = x_{0}, y\left(t_{0}\right) = y_{0}$. (Этот простой пример так называемой «заполняющей пространство кривой» принадлежит И. Шёнбергу, Bull. A.M.S., т. 44, 1938, с. 519).

Пусть $f$ — действительная непрерывная функция на $R^{1}$, $f_{n}(t) = f(n t)$ при $n = 1,2,3, \ldots$, и $\left\{ f_{n}\right\}$ равностепенно непрерывна на $[0,1]$. Какой вывод можно сделать о $f$?

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — равностепенно непрерывная последовательность функций на компактном множестве $K$, и $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится поточечно на $K$. Докажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится равномерно на $K$.

Определите понятия равномерной сходимости и равностепенной непрерывности для отображений в произвольное метрическое пространство. Покажите, что теоремы 7.9 и 7.12 верны для отображений в произвольное метрическое пространство, что теоремы 7.8 и 7.11 верны для отображений в произвольное полное метрическое пространство, и что теоремы 7.10, 7.16, 7.17, 7.24 и 7.25 верны для векторнозначных функций, то есть для отображений в произвольное $R^{k}$.

Пусть $\left\{ f_{i n}\right\}$ — равномерно ограниченная последовательность функций, интегрируемых по Риману на $[a, b]$, и положим

Докажите, что существует подпоследовательность $\left\{ F_{n_{k}}\right\}$, которая сходится равномерно на $[a, b]$.

Пусть $K$ — компактное метрическое пространство, пусть $S$ — подмножество $\mathscr {C}(K)$. Докажите, что $S$ компактно (относительно метрики, определённой в разделе 7.14) тогда и только тогда, когда $S$ равномерно замкнуто, поточечно ограничено и равностепенно непрерывно. (Если $S$ не равностепенно непрерывно, то $S$ содержит последовательность, не имеющую равностепенно непрерывной подпоследовательности, а значит, не имеющую подпоследовательности, сходящейся равномерно на $K$).

Если $f$ непрерывна на $[0,1]$ и если

докажите, что $f(x) = 0$ на $[0,1]$. Указание: Интеграл произведения $f$ на любой многочлен равен нулю. Используйте теорему Вейерштрасса, чтобы показать, что $\int_{0}^{1} f^{2}(x) d x = 0$.

Пусть $K$ — единичная окружность на комплексной плоскости (то есть множество всех $z$ с $\left|z\right| = 1$), и пусть $\mathscr {A}$ — алгебра всех функций вида

Тогда $\mathscr {A}$ разделяет точки на $K$, и $\mathscr {A}$ не обращается в нуль ни в одной точке $K$, но тем не менее существуют непрерывные функции на $K$, не входящие в равномерное замыкание $\mathscr {A}$. Указание: Для каждой $f \in \mathscr {A}$

и это верно также для каждой $f$ из замыкания $\mathscr {A}$.

Пусть $f \in \mathscr {R}(\alpha )$ на $[a, b]$, и докажите, что существуют многочлены $P_{n}$ такие, что

(Сравните с упражнением 12, гл. 6).

Положим $P_{0} = 0$ и определим, для $n = 0,1,2, \ldots$,

Докажите, что

равномерно на $[-1,1]$. (Это позволяет доказать теорему Стоуна–Вейерштрасса, не доказывая предварительно теорему 7.26).

Указание: Используйте тождество

чтобы доказать, что $0 \leq P_{n}(x) \leq P_{n+1}(x) \leq \left|x\right|$, если $\left|x\right| \leq 1$, и что

если $\left|x\right| \leq 1$.

Пусть $X$ — метрическое пространство с метрикой $d$. Зафиксируем точку $a \in X$. Сопоставим каждой $p \in X$ функцию $f_{p}$, определённую формулой

Докажите, что $\left|f_{p}(x)\right| \leq d(a, p)$ для всех $x \in X$, и что, следовательно, $f_{p} \in \mathscr {C}(X)$. Докажите, что

для всех $p, q \in X$. Если $\Phi (p) = f_{p}$, то отсюда следует, что $\Phi$ — изометрия (сохраняющее расстояния отображение) $X$ на $\Phi (X) \subset \mathscr {C}(X)$.

Пусть $Y$ — замыкание $\Phi (X)$ в $\mathscr {C}(X)$. Покажите, что $Y$ полно. Вывод: $X$ изометрично плотному подмножеству полного метрического пространства $Y$. (Упражнение 24, гл. 3, содержит иное доказательство этого факта).

Пусть $\phi$ — непрерывная ограниченная действительная функция в полосе, определённой условиями $0 \leq x \leq 1,-\infty < y < \infty$. Докажите, что задача Коши

имеет решение. (Заметим, что предположения этой теоремы существования менее жёсткие, чем предположения соответствующей теоремы единственности; см. упражнение 27, гл. 5).

Указание: Зафиксируем $n$. Для $i = 0, \ldots , n$ положим $x_{i} = i / n$. Пусть $f_{n}$ — непрерывная функция на $[0,1]$ такая, что $f_{n}(0) = c$,

и положим

кроме точек $x_{i}$, где $\Delta_{n}(t) = 0$. Тогда

Выберем $M < \infty$ так, чтобы $\left|\phi \right| \leq M$. Проверьте следующие утверждения.

Докажите аналогичную теорему существования для задачи Коши

где теперь $c \in R^{k}, y \in R^{k}$, и $\Phi$ — непрерывное ограниченное отображение части $R^{k+1}$, определённой условиями $0 \leq x \leq 1, y \in R^{k}$, в $R^{k}$. (Сравните с упражнением 28, гл. 5). Указание: Используйте векторный вариант теоремы 7.25.