Некоторые специальные функции

Определим

Докажите, что $f$ имеет производные всех порядков в точке $x = 0$, и что $f^{(n)}(0) = 0$ при $n = 1,2,3, \ldots$.

Пусть $a_{i j}$ — число в $i$-й строке и $j$-м столбце массива, так что

Докажите, что

Докажите, что

если $a_{i j} \geq 0$ при всех $i$ и $j$ (случай $+\infty = +\infty$ может встречаться).

Докажите следующие предельные соотношения:

Найдите следующие пределы

Пусть $f(x) f(y) = f(x+y)$ при всех действительных $x$ и $y$.

Если $0 < x < \frac{\pi }{2}$, докажите, что

Для $n = 0,1,2, \ldots$ и действительного $x$ докажите, что

Заметьте, что это неравенство может быть неверным при других значениях $n$. Например,

Докажите, что $\sum 1 / p$ расходится; сумма берётся по всем простым числам. (Это показывает, что простые числа образуют довольно существенное подмножество положительных целых чисел).

Указание: Для заданного $N$ пусть $p_{1}, \ldots , p_{k}$ — те простые числа, которые делят хотя бы одно целое число $\leq N$. Тогда

Последнее неравенство верно, потому что

при $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$. (Существует много доказательств этого результата. См., например, статью И. Нивена в Amer. Math. Monthly, т. 78, 1971, с. 272–273, и статью Р. Беллмана в Amer. Math. Monthly, т. 50, 1943, с. 318–319).

Пусть $f \in \mathscr {R}$ на $[0, A]$ при всех $A < \infty$, и $f(x) \rightarrow 1$ при $x \rightarrow +\infty$. Докажите, что

Пусть $0 < \delta < \pi$, $f(x) = 1$, если $\left|x\right| \leq \delta$, $f(x) = 0$, если $\delta < \left|x\right| \leq \pi$, и $f(x+2 \pi ) = f(x)$ при всех $x$.

Положим $f(x) = x$, если $0 \leq x < 2 \pi$, и примените теорему Парсеваля, чтобы заключить, что

Если $f(x) = (\pi -\left|x\right|)^{2}$ на $[-\pi , \pi ]$, докажите, что

и выведите, что

(Недавняя статья Э. Л. Старка содержит много ссылок на ряды вида $\sum n^{-s}$, где $s$ — положительное целое число. См. Math. Mag., т. 47, 1974, с. 197–202).

Пусть $D_{n}$ определено как в (77), положим

Докажите, что

и что

Докажите поточечный вариант теоремы Фейера:

Если $f \in \mathscr {R}$ и $f(x+), f(x-)$ существуют при некотором $x$, то

Пусть $f$ ограничена и монотонна на $[-\pi , \pi )$, с коэффициентами Фурье $c_{n}$, заданными формулой (62).

Определим

Выясните для каждой из этих двух функций, положительна ли она или отрицательна при всех $x \in (0, \pi / 2)$, или же меняет знак. Докажите свой ответ.

Пусть $f$ — непрерывная функция на $R^{1}$, $f(x+2 \pi ) = f(x)$, и $\alpha / \pi$ иррационально. Докажите, что

для каждого $x$. Указание: Сначала сделайте это для $f(x) = e^{i k x}$.

Следующее простое вычисление даёт хорошее приближение к формуле Стирлинга.

Для $m = 1,2,3, \ldots$ определим

если $m \leq x \leq m+1$, и определим

если $m-\frac{1}{2} \leq x < m+\frac{1}{2}$. Постройте графики $f$ и $g$. Заметьте, что $f(x) \leq \log x \leq g(x)$, если $x \geq 1$, и что

Проинтегрируйте $\log x$ на $[1, n]$. Заключите, что

при $n = 2,3,4, \ldots$ (Заметьте: $\log \sqrt{2 \pi } \sim 0{,}918 \ldots$) Таким образом

Пусть

Докажите, что существует константа $C > 0$ такая, что

или, точнее, что последовательность

ограничена.

Если $\alpha$ действительно и $-1 < x < 1$, докажите бином Ньютона

Указание: Обозначьте правую часть через $f(x)$. Докажите, что ряд сходится. Докажите, что

и решите это дифференциальное уравнение. Покажите также, что

если $-1 < x < 1$ и $\alpha > 0$.

Пусть $\gamma$ — непрерывно дифференцируемая замкнутая кривая на комплексной плоскости с интервалом параметра $[a, b]$, и пусть $\gamma (t) \neq 0$ для каждого $t \in [a, b]$. Определим индекс $\gamma$ как

Докажите, что $\operatorname {Ind}(\gamma )$ всегда целое число. Указание: На $[a, b]$ существует $\varphi$ с $\varphi^{\prime } = \gamma^{\prime } / \gamma , \varphi (a) = 0$. Следовательно, $\gamma \exp (-\varphi )$ постоянна. Поскольку $\gamma (a) = \gamma (b)$, отсюда следует, что $\exp \varphi (b) = \exp \varphi (a) = 1$. Заметьте, что $\varphi (b) = 2 \pi i \operatorname {Ind}(\gamma )$.

Вычислите $\operatorname {Ind}(\gamma )$, когда $\gamma (t) = e^{i n t}, a = 0, b = 2 \pi$. Объясните, почему $\operatorname {Ind}(\gamma )$ часто называют числом оборотов $\gamma$ вокруг 0.

Пусть $\gamma$ — такая же, как в упражнении 23, и предположим дополнительно, что образ $\gamma$ не пересекает отрицательную действительную полуось. Докажите, что $\operatorname {Ind}(\gamma ) = 0$. Указание: Для $0 \leq c < \infty$ величина $\operatorname {Ind}(\gamma +c)$ является непрерывной целочисленной функцией от $c$. Кроме того, $\operatorname {Ind}(\gamma +c) \rightarrow 0$ при $c \rightarrow \infty$.

Пусть $\gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$ — кривые, как в упражнении 23, и

Докажите, что $\operatorname {Ind}\left(\gamma_{1}\right) = \operatorname {Ind}\left(\gamma_{2}\right)$. Указание: Положим $\gamma = \gamma_{2} / \gamma_{1}$. Тогда $\left|1-\gamma \right| < 1$, следовательно $\operatorname {Ind}(\gamma ) = 0$ по упражнению 24. Кроме того,

Пусть $\gamma$ — замкнутая кривая на комплексной плоскости (не обязательно дифференцируемая) с интервалом параметра $[0,2 \pi ]$, такая что $\gamma (t) \neq 0$ для каждого $t \in [0,2 \pi ]$.

Выберем $\delta > 0$ так, чтобы $\left|\gamma (t)\right| > \delta$ при всех $t \in [0,2 \pi ]$. Если $P_{1}$ и $P_{2}$ — тригонометрические многочлены такие, что $\left|P_{\jmath }(t)-\gamma (t)\right| < \delta / 4$ при всех $t \in [0,2 \pi ]$ (их существование обеспечивается теоремой 8.15), докажите, что

применяя упражнение 25. Определим это общее значение как $\operatorname {Ind}(\gamma )$. Докажите, что утверждения упражнений 24 и 25 верны без каких-либо предположений о дифференцируемости.

Пусть $f$ — непрерывная комплексная функция, определённая на комплексной плоскости. Предположим, что существует положительное целое число $n$ и комплексное число $c \neq 0$ такие, что

Докажите, что $f(z) = 0$ хотя бы при одном комплексном числе $z$. Заметьте, что это обобщение теоремы 8.8. Указание: Предположим, что $f(z) \neq 0$ при всех $z$, определим

при $0 \leq r < \infty , 0 \leq t \leq 2 \pi$, и докажите следующие утверждения о кривых $\gamma_{r}$:

Пусть $D$ — замкнутый единичный круг на комплексной плоскости. (Таким образом, $z \in D$ тогда и только тогда, когда $\left|z\right| \leq 1$). Пусть $g$ — непрерывное отображение $D$ в единичную окружность $T$. (Таким образом, $\left|g(z)\right| = 1$ для каждого $z \in D$).

Докажите, что $g(z) = -z$ хотя бы при одном $z \in T$. Указание: Для $0 \leq r \leq 1,0 \leq t \leq 2 \pi$ положим

и положим $\psi (t) = e^{-t t} \gamma_{1}(t)$. Если $g(z) \neq -z$ при каждом $z \in T$, то $\psi (t) \neq -1$ при каждом $t \in [0,2 \pi ]$. Следовательно, $\operatorname {Ind}(\psi ) = 0$, по упражнениям 24 и 26. Отсюда следует, что $\operatorname {Ind}\left(\gamma_{1}\right) = 1$. Но $\operatorname {Ind}\left(\gamma_{0}\right) = 0$. Выведите противоречие, как в упражнении 27.

Докажите, что всякое непрерывное отображение $f$ множества $D$ в $D$ имеет неподвижную точку в $D$. (Это двумерный случай теоремы Брауэра о неподвижной точке). Указание: Предположим, что $f(z) \neq z$ при каждом $z \in D$. Сопоставим каждой $z \in D$ точку $g(z) \in T$, лежащую на луче, который начинается в $f(z)$ и проходит через $z$. Тогда $g$ отображает $D$ в $T$, $g(z) = z$, если $z \in T$, и $g$ непрерывна, поскольку

где $s(z)$ — единственный неотрицательный корень некоторого квадратного уравнения, коэффициенты которого являются непрерывными функциями от $f$ и $z$. Примените упражнение 28.

Используйте формулу Стирлинга, чтобы доказать, что

при каждой действительной константе $c$.

В доказательстве теоремы 7.26 было показано, что

при $n = 1,2,3, \ldots$. Используйте теорему 8.20 и упражнение 30, чтобы показать более точный результат