Принцип максимума модуля

Пусть $\Delta$ — замкнутый равносторонний треугольник на плоскости с вершинами $a, b, c$. Найдите $\max (\left|z-a\right|\left|z-b\right||z-c|)$, когда $z$ пробегает $\Delta$.

Пусть $f \in H\left(\mathrm{II}^{+}\right)$, где $\mathrm{II}^{+}$ — верхняя полуплоскость, и $\left|f\right| \leq 1$. Насколько большим может быть $\left|f^{\prime }(i)\right|$? Найдите экстремальные функции. (Сравните с обсуждением в разделе 12.5).

Пусть $f \in H(\Omega )$. При каких условиях $\left|f\right|$ может иметь локальный минимум в $\Omega$?

Пусть $\Omega$ — ограниченная область, $\left\{ f_{m}\right\}$ — последовательность непрерывных функций на $\bar{\Omega }$, голоморфных в $\Omega$, и $\left\{ f_{i n}\right\}$ сходится равномерно на границе $\Omega$. Докажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится равномерно на $\bar{\Omega }$.

Пусть $f \in H(\Omega )$, $\Gamma$ — цикл в $\Omega$ такой, что $\operatorname {Ind}_{\Gamma }(\alpha ) = 0$ для всех $\alpha \notin \Omega$, $\left|f(\zeta )\right| \leq 1$ для каждого $\zeta \in \Gamma^{*}$, и $\operatorname {Ind}_{\Gamma }(z) \neq 0$. Докажите, что $\left|f(z)\right| \leq 1$.

В доказательстве теоремы 12.8 молчаливо предполагалось, что $M(a) > 0$ и $M(b) > 0$. Покажите, что теорема верна, если $M(a) = 0$, и что тогда $f(z) = 0$ для всех $z \in \Omega$.

Если $0 < R_{1} < R_{2} < \infty$, пусть $A\left(R_{1}, R_{2}\right)$ обозначает кольцо

Существует вертикальная полоса, которую экспоненциальная функция отображает на $A\left(R_{1}, R_{2}\right)$. Используйте это, чтобы доказать теорему Адамара о трёх окружностях: если $f \in H\left(A\left(R_{1}, R_{2}\right)\right)$, если

и если $R_{1} < a < r < b < R_{2}$, то

Для каких $f$ в этом неравенстве достигается равенство?

Пусть $\Pi$ — открытая правая полуплоскость ($z \in \Pi$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {Re} z > 0$). Пусть $f$ непрерывна на замыкании $\Pi (\operatorname {Re} z \geq 0)$, $f \in H(\Pi )$, и существуют константы $A < \infty$ и $\alpha < 1$ такие, что

для всех $z \in \Pi$. Кроме того, $\left|f(i y)\right| \leq 1$ для всех действительных $y$. Докажите, что $\left|f(z)\right| \leq 1$ в $\Pi$. Покажите, что заключение неверно при $\alpha = 1$. Как нужно изменить результат, если $\Pi$ заменить областью, ограниченной двумя лучами, выходящими из начала координат, под углом, не равным $\pi$?

Пусть $\Pi$ — открытая правая полуплоскость. Пусть $f \in H(\Pi )$, $\left|f(z)\right| < 1$ для всех $z \in \Pi$, и существует $\alpha ,-\pi / 2 < \alpha < \pi / 2$, такое что

Докажите, что $f = 0$. Указание: Положим $g_{n}(z) = f(z) e^{n z}, n = 1,2,3, \ldots$. Примените упражнение 9 к двум угловым областям, определённым условиями $-\pi / 2 < \theta < \alpha , \alpha < \theta < \pi / 2$. Заключите, что каждая $g_{n}$ ограничена в $\Pi$, и, следовательно, что $\left|g_{n}\right| < 1$ в $\Pi$ при всех $n$.

Пусть $\Gamma$ — граница неограниченной области $\Omega$, $f \in H(\Omega )$, $f$ непрерывна на $\Omega \cup \Gamma$, и существуют константы $B < \infty$ и $M < \infty$ такие, что $\left|f\right| \leq M$ на $\Gamma$ и $\left|f\right| \leq B$ в $\Omega$. Докажите, что тогда на самом деле $\left|f\right| \leq M$ в $\Omega$.

Указание: Покажите, что можно без ограничения общности предположить, что $U \cap \Omega = \varnothing$. Зафиксируем $z_{0} \in \Omega$, пусть $n$ — большое целое число, пусть $V$ — большой диск с центром в 0, и примените теорему о максимуме модуля к функции $f^{n}(z) / z$ в компоненте $V \cap \Omega$, содержащей $z_{0}$.

Пусть $f$ — целая функция. Если существует непрерывное отображение $\gamma$ из $[0,1)$ на комплексную плоскость такое, что $\gamma (t) \rightarrow \infty$ и $f(\gamma (t)) \rightarrow \alpha$ при $t \rightarrow 1$, мы говорим, что $\alpha$ — асимптотическое значение $f$. Докажите, что каждая непостоянная целая функция имеет $\infty$ в качестве асимптотического значения.

Указание: Пусть $E_{n} = \left\{ z:\left|f(z)\right| > n\right\}$. Каждая компонента $E_{n}$ неограничена (доказательство?) и содержит компоненту $E_{n+1}$, по упражнению 11.

Покажите, что $\exp$ имеет ровно два асимптотических значения: 0 и $\infty$. Как насчёт $\sin$ и $\cos$? Замечание: $\sin z$ и $\cos z$ определены для всех комплексных $z$ формулами

Если $f$ целая, и если $\alpha$ не принадлежит образу $f$, докажите, что $\alpha$ — асимптотическое значение $f$, если только $f$ не постоянна.

Пусть $f \in H(U)$. Докажите, что существует последовательность $\left\{ z_{n}\right\}$ в $U$ такая, что $\left|z_{n}\right| \rightarrow 1$ и $\left\{ f\left(z_{n}\right)\right\}$ ограничена.

Пусть $\Omega$ — ограниченная область, $f \in H(\Omega )$, и

для каждой последовательности $\left\{ z_{n}\right\}$ в $\Omega$, сходящейся к граничной точке $\Omega$. Докажите, что $\left|f(z)\right| \leq M$ для всех $z \in \Omega$.

Пусть $\Phi$ — множество всех $f \in H(U)$ таких, что $0 < \left|f(z)\right| < 1$ при $z \in U$, и пусть $\Phi_{c}$ — множество всех $f \in \Phi$ таких, что $f(0) = c$. Определим

Найдите $M$ и $M(c)$ при $0 < c < 1$. Найдите $f \in \Phi$ с $f^{\prime }(0) = M$ или докажите, что такой $f$ не существует. Указание: $\log f$ отображает $U$ в левую полуплоскость. Скомпонуйте $\log f$ с подходяще выбранным отображением, переводящим эту полуплоскость в $U$. Примените лемму Шварца.