Приближение рациональными функциями

Докажите, что каждая мероморфная функция на $S^{2}$ рациональна.

Пусть $\Omega = \left\{ z:\left|z\right| < 1\text{ и }\left|2 z-1\right| > 1\right\}$, и пусть $f \in H(\Omega )$.

Существует ли последовательность многочленов $P_{n}$ такая, что $P_{n}(0) = 1$ при $n = 1,2,3, \ldots$, но $P_{n}(z) \rightarrow 0$ для каждого $z \neq 0$ при $n \rightarrow \infty$?

Существует ли последовательность многочленов $P_{n}$ такая, что

Для $n = 1,2,3, \ldots$ пусть $\Delta_{n}$ — замкнутый диск в $U$, и пусть $L_{n}$ — дуга (гомеоморфный образ $[0,1]$) в $U-\Delta_{n}$, пересекающая каждый радиус $U$. Существуют многочлены $P_{n}$, которые очень малы на $\Delta_{n}$ и более или менее произвольны на $L_{n}$. Покажите, что $\left\{ \Delta_{n}\right\} ,\left\{ L_{n}\right\}$ и $\left\{ P_{n}\right\}$ можно выбрать так, что ряд $f = \Sigma P_{n}$ задаёт функцию $f \in H(U)$, не имеющую радиального предела ни в одной точке $T$. Иными словами, ни при каком действительном $\theta$ не существует $\lim_{r \rightarrow 1} f\left(r e^{i \theta }\right)$.

Вот ещё одна конструкция такой функции. Пусть $\left\{ n_{k}\right\}$ — последовательность целых чисел такая, что $n_{1} > 1$ и $n_{k+1} > 2 k n_{k}$. Определим

Докажите, что ряд сходится при $\left|z\right| < 1$, и докажите, что существует константа $c > 0$ такая, что $\left|h(z)\right| > c \cdot 5^{m}$ для всех $z$ с $\left|z\right| = 1-\left(1 / n_{m}\right)$.

Следовательно, $h$ не имеет конечных радиальных пределов. Докажите также, что $h$ обязательно имеет бесконечно много нулей в $U$. (Сравните с упражнением 15, гл. 12). В действительности докажите, что каждому комплексному числу $\alpha$ соответствует бесконечно много $z \in U$, при которых $h(z) = \alpha$.

Покажите, что в теореме 13.9 не обязательно предполагать, что $A$ пересекает каждую компоненту $S^{2}-\Omega$. Достаточно предположить, что замыкание $A$ пересекает каждую компоненту $S^{2}-\Omega$.

Докажите теорему Миттаг-Леффлера для случая, когда $\Omega$ — вся плоскость, прямым рассуждением, не апеллирующим к теореме Рунге.

Пусть $\Omega$ — односвязная область, $f \in H(\Omega )$, $f$ не имеет нуля в $\Omega$, и $n$ — положительное целое число. Докажите, что существует $g \in H(\Omega )$ такая, что $g^{n} = f$.

Пусть $\Omega$ — область, $f \in H(\Omega )$, и $f \not\equiv 0$. Докажите, что $f$ имеет голоморфный логарифм в $\Omega$ тогда и только тогда, когда $f$ имеет голоморфные корни $n$-й степени в $\Omega$ для каждого положительного целого $n$.

Пусть $f_{n} \in H(\Omega )(n = 1,2,3, \ldots )$, $f$ — комплексная функция в $\Omega$, и $f(z) = \lim_{n \rightarrow \infty } f_{n}(z)$ для каждого $z \in \Omega$. Докажите, что $\Omega$ имеет плотное открытое подмножество $V$, на котором $f$ голоморфна. Указание: Положим $\varphi = \sup \left|f_{n}\right|$. Используйте теорему Бэра, чтобы доказать, что каждый диск в $\Omega$ содержит диск, на котором $\varphi$ ограничена. Примените упражнение 5, гл. 10. (Вообще говоря, $V \neq \Omega$. Сравните с упражнениями 3 и 4).

Предположим, однако, что $f$ — произвольная комплекснозначная измеримая функция, определённая на комплексной плоскости, и докажите, что существует последовательность голоморфных многочленов $P_{n}$ такая, что $\lim_{n \rightarrow \infty } P_{n}(z) = f(z)$ почти при каждом $z$ (относительно двумерной меры Лебега).