Аналитическое продолжение

Пусть $f(z) = \Sigma a_{n} z^{n}, a_{n} \geq 0$, и радиус сходимости ряда равен 1. Докажите, что $f$ имеет особенность в точке $z = 1$. Указание: разложите $f$ по степеням $z-\frac{1}{2}$. Если бы 1 была регулярной точкой $f$, новый ряд сходился бы при некотором $x > 1$. Что это означало бы для исходного ряда?

Пусть $(f, D)$ и $(g, D)$ — элементы функций, $P$ — многочлен от двух переменных, и $P(f, g) = 0$ в $D$. Пусть $f$ и $g$ можно аналитически продолжить вдоль кривой $\gamma$ до $f_{1}$ и $g_{1}$. Докажите, что $P\left(f_{1}, g_{1}\right) = 0$. Распространите это на случай более чем двух функций. Существует ли аналогичная теорема для некоторого класса функций $P$, более широкого, чем многочлены?

Пусть $\Omega$ — односвязная область, и $u$ — действительная гармоническая функция в $\Omega$. Докажите, что существует $f \in H(\Omega )$, такая что $u = \operatorname {Re} f$. Покажите, что это неверно в любой области, не являющейся односвязной.

Пусть $X$ — замкнутый единичный квадрат на плоскости, $f$ — непрерывная комплексная функция на $X$, и $f$ не имеет нулей на $X$. Докажите, что существует непрерывная функция $g$ на $X$, такая что $f = e^{g}$. Для какого класса пространств $X$ (помимо указанного квадрата) это также верно?

Докажите, что преобразования $z \rightarrow z+1$ и $z \rightarrow -1 / z$ порождают полную модулярную группу $G$. Пусть $R$ состоит из всех $z = x+i y$, таких что $\left|x\right| < \frac{1}{2}, y > 0$, и $\left|z\right| > 1$, плюс те предельные точки, у которых $x \leq 0$. Докажите, что $R$ является фундаментальной областью группы $G$.

Докажите, что $G$ также порождается преобразованиями $\varphi$ и $\psi$, где

Покажите, что $\varphi$ имеет период 2, а $\psi$ имеет период 3.

Найдите связь между композицией дробно-линейных преобразований и умножением матриц. Попытайтесь использовать это, чтобы построить алгебраическое доказательство теоремы 16.19(c) или первой части упражнения 5.

Пусть $E$ — компактное множество на действительной оси положительной меры Лебега, пусть $\Omega$ — дополнение $E$ относительно плоскости, и определим

Ответьте на следующие вопросы:

Проверьте свои ответы из упражнения 8 на частном случае

Назовём компактное множество $E$ на плоскости устранимым, если не существует непостоянных ограниченных голоморфных функций на дополнении $E$.

Для каждого положительного числа $\alpha$ пусть $\Gamma_{\alpha }$ — путь с параметрическим интервалом $(-\infty , \infty )$, определённый формулой

Пусть $\Omega_{\alpha }$ — компонента дополнения $\Gamma_{\alpha }^{*}$, содержащая начало координат, и определим

Докажите, что $f_{\beta }$ является аналитическим продолжением $f_{\alpha }$, если $\alpha < \beta$. Докажите, что, следовательно, существует целая функция $f$, ограничение которой на $\Omega_{\alpha }$ равно $f_{\alpha }$. Докажите, что

для каждого $e^{i \theta } \neq 1$. (Здесь $r$ положительно, а $\theta$ действительно, как обычно). Докажите, что $f$ не является постоянной. Указание: рассмотрите $f(r)$. Если

докажите, что

для каждого $e^{i \theta }$. Покажите, что существует целая функция $h$, такая что

Пусть

Найдите области, в которых сходятся оба ряда. Покажите, что это иллюстрирует теорему 16.5. Найдите особую точку $f$, ближайшую к началу координат.

Пусть $\Omega = \left\{ z: \frac{1}{2} < \left|z\right| < 2\right\}$. Для $n = 1,2,3, \ldots$ пусть $X_{n}$ — множество всех $f \in H(\Omega )$, являющихся $n$-ми производными некоторой $g \in H(\Omega )$.

Пусть $\Omega$ — область, $p \in \Omega , R < \infty$. Пусть $\mathscr {F}$ — класс всех $f \in H(\Omega )$, таких что $\left|f(p)\right| \leq R$ и $f(\Omega )$ не содержит ни 0, ни 1. Докажите, что $\mathscr {F}$ — нормальное семейство.

Покажите, что теорема 16.2 приводит к очень простому доказательству частного случая теоремы о монодромии (16.15), в котором $\Omega$ и $D$ — концентрические круги. Объедините этот частный случай с теоремой Римана об отображении, чтобы доказать теорему 16.15 в той общности, в которой она сформулирована.