Элементарная теория банаховых алгебр

Пусть $B(X)$ — алгебра всех ограниченных линейных операторов на банаховом пространстве $X$, с

если $A, A_{1}$, и $A_{2} \in B(X)$. Докажите, что $B(X)$ — банахова алгебра.

Пусть $n$ — положительное целое число, пусть $X$ — пространство всех комплексных $n$-наборов (с произвольной нормой, лишь бы выполнялись аксиомы нормированного линейного пространства), и пусть $B(X)$ — как в упражнении 1. Докажите, что спектр каждого элемента $B(X)$ состоит не более чем из $n$ комплексных чисел. Каковы они?

Возьмём $X = L^{2}(-\infty , \infty )$, пусть $\varphi \in L^{\infty }(-\infty , \infty )$, и пусть $M$ — оператор умножения, переводящий $f \in L^{2}$ в $\varphi f$. Покажите, что $M$ — ограниченный линейный оператор на $L^{2}$ и что спектр $M$ равен существенной области значений $\varphi$ (гл. 3, упражнение 19).

Каков спектр оператора сдвига на $\ell^{2}$? (Определение см. в п. 17.20).

Докажите, что замыкание идеала в банаховой алгебре является идеалом.

Если $X$ — компактное хаусдорфово пространство, найдите все максимальные идеалы в $C(X)$.

Пусть $A$ — коммутативная банахова алгебра с единицей, порождённая одним элементом $x$. Это означает, что многочлены от $x$ плотны в $A$. Докажите, что дополнение $\sigma (x)$ является связным подмножеством плоскости. Указание: если $\lambda \notin \sigma (x)$, существуют многочлены $P_{n}$, такие что $P_{n}(x) \rightarrow (x-\lambda e)^{-1}$ в $A$. Докажите, что $P_{n}(z) \rightarrow (z-\lambda )^{-1}$ равномерно на $\sigma (x)$.

Пусть $\sum_{0}^{\infty }\left|c_{n}\right| < \infty , f(z) = \sum_{0}^{\infty } c_{n} z^{n},\left|f(z)\right| > 0$ для каждого $z \in \bar{U}$, и $1 / f(z) = \sum_{0}^{\infty } a_{n} z^{n}$. Докажите, что $\sum_{0}^{\infty }\left|a_{n}\right| < \infty$.

Докажите, что замкнутое линейное подпространство банаховой алгебры $L^{1}\left(R^{1}\right)$ (см. п. 9.19) инвариантно относительно сдвигов тогда и только тогда, когда оно является идеалом.

Покажите, что $L^{1}(T)$ — коммутативная банахова алгебра (без единицы), если умножение определено формулой

Найдите все комплексные гомоморфизмы $L^{1}(T)$, как в теореме 9.23. Если $E$ — множество целых чисел, и если $I_{E}$ — множество всех $f \in L^{1}(T)$, таких что $\hat{f}(n) = 0$ для всех $n \in E$, докажите, что $I_{E}$ — замкнутый идеал в $L^{1}(T)$, и докажите, что каждый замкнутый идеал в $L^{1}(T)$ получается таким образом.

Резольвента $R(\lambda , x)$ элемента $x$ в банаховой алгебре с единицей определяется как

для всех комплексных $\lambda$, для которых это обратное существует. Докажите тождество

и используйте его, чтобы дать альтернативное доказательство теоремы 18.5.

Пусть $A$ — коммутативная банахова алгебра с единицей. Радикалом $A$ называется пересечение всех максимальных идеалов $A$. Докажите, что следующие три утверждения об элементе $x \in A$ эквивалентны:

Найдите элемент $x$ в банаховой алгебре $A$ (например, ограниченный линейный оператор на гильбертовом пространстве), такой что $x^{n} \neq 0$ при всех $n > 0$, но $\lim_{n \rightarrow 0}\left\| x^{n}\right\|^{1 / n} = 0$.

Пусть $A$ — коммутативная банахова алгебра с единицей, и пусть $\Delta$ — множество всех комплексных гомоморфизмов $A$, как в п. 18.16. Сопоставим каждому $x \in A$ функцию $\hat{x}$ на $\Delta$ по формуле

$\hat{x}$ называется преобразованием Гельфанда элемента $x$. Докажите, что отображение $x \rightarrow \hat{x}$ является гомоморфизмом $A$ на алгебру $\hat{A}$ комплексных функций на $\Delta$ с поточечным умножением. При каком условии на $A$ этот гомоморфизм является изоморфизмом? (См. упражнение 12).

Докажите, что спектральный радиус $\rho (x)$ равен

Докажите, что область значений функции $\hat{x}$ в точности совпадает со спектром $\sigma (x)$.

Если $A$ — коммутативная банахова алгебра без единицы, пусть $A_{1}$ — алгебра всех упорядоченных пар $(x, \lambda )$, где $x \in A$ и $\lambda$ — комплексное число; сложение и умножение определяются "очевидным" образом, и $\left\| (x, \lambda )\right\| = \left\| x\right\| +\left|\lambda \right|$. Докажите, что $A_{1}$ — коммутативная банахова алгебра с единицей и что отображение $x \rightarrow (x, 0)$ является изометрическим изоморфизмом $A$ на максимальный идеал $A_{1}$. Это стандартное вложение алгебры без единицы в алгебру с единицей.

Покажите, что $H^{\infty }$ — коммутативная банахова алгебра с единицей относительно нормы супремума и поточечных сложения и умножения. Отображение $f \rightarrow f(\alpha )$ является комплексным гомоморфизмом $H^{\infty }$ всякий раз, когда $\left|\alpha \right| < 1$. Докажите, что должны существовать и другие.

Покажите, что множество всех функций $(z-1)^{2} f$, где $f \in H^{\infty }$, является идеалом в $H^{\infty }$, который не замкнут. Указание:

Пусть $\varphi$ — внутренняя функция. Докажите, что $\left\{ \varphi f: f \in H^{\infty }\right\}$ — замкнутый идеал в $H^{\infty }$. Иными словами, докажите, что если $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность в $H^{\infty }$, такая что $\varphi f_{n} \rightarrow g$ равномерно в $U$, то $g / \varphi \in H^{\infty }$.