Дифференцирование

Покажите, что $\left|f(x)\right| \leq (M f)(x)$ в каждой точке Лебега функции $f$, если $f \in L^{1}\left(R^{k}\right)$.

Для $\delta > 0$ пусть $I(\delta )$ — отрезок $(-\delta , \delta ) \subset R^{1}$. Для заданных $\alpha$ и $\beta , 0 \leq \alpha \leq \beta \leq 1$, постройте измеримое множество $E \subset R^{1}$ так, чтобы верхний и нижний пределы

были равны $\beta$ и $\alpha$ соответственно при $\delta \rightarrow 0$. (Сравните это с разделом 7.12).

Пусть $E$ — измеримое множество действительных чисел со сколь угодно малыми периодами. Точнее, это означает, что существуют положительные числа $p_{i}$, стремящиеся к 0 при $i \rightarrow \infty$, такие что

Докажите, что тогда либо $E$, либо его дополнение имеет меру 0. Указание: Выберите $\alpha \in R^{1}$, положим $F(x) = m(E \cap [\alpha , x])$ при $x > \alpha$, покажите, что

если $\alpha +p_{i} < x < y$. Что это влечёт для $F^{\prime }(x)$, если $m(E) > 0$?

Назовём $t$ периодом функции $f$ на $R^{1}$, если $f(x+t) = f(x)$ при всех $x \in R^{1}$. Пусть $f$ — действительная измеримая по Лебегу функция с периодами $s$ и $t$, отношение которых $s / t$ иррационально. Докажите, что существует константа $c$ такая, что $f(x) = c$ п.в., но что $f$ не обязана быть постоянной.

Указание: Примените упражнение 3 к множествам $\left\{ f > \lambda \right\}$.

Если $A \subset R^{1}$ и $B \subset R^{1}$, определим $A+B = \left\{ a+b: a \in A, b \in B\right\}$. Пусть $m(A) > 0, m(B) > 0$. Докажите, что $A+B$ содержит отрезок, завершив следующий план.

Существуют точки $a_{0}$ и $b_{0}$, где $A$ и $B$ имеют метрическую плотность 1. Выберем малое $\delta > 0$. Положим $c_{0} = a_{0}+b_{0}$. Для каждого $\epsilon$, положительного или отрицательного, определим $B_{\epsilon }$ как множество всех $c_{0}+\epsilon -b$, для которых $b \in B$ и $\left|b-b_{0}\right| < \delta$. Тогда $B_{\epsilon } \subset \left(a_{0}+\epsilon -\delta , a_{0}+\epsilon +\delta \right)$. Если $\delta$ была удачно выбрана и $\left|\epsilon \right|$ достаточно мало, отсюда следует, что $A$ пересекает $B_{\epsilon }$, так что $A+B \supset \left(c_{0}-\epsilon_{0}, c_{0}+\epsilon_{0}\right)$ для некоторого $\epsilon_{0} > 0$.

Пусть $C$ — канторово множество «средних третей», и покажите, что $C+C$ — интервал, хотя $m(C) = 0$. (См. также упражнение 19, гл. 9).

Пусть $G$ — подгруппа $R^{1}$ (относительно сложения), $G \neq R^{1}$, и $G$ измерима по Лебегу. Докажите, что тогда $m(G) = 0$.

Указание: Используйте упражнение 5.

Постройте непрерывную монотонную функцию $f$ на $R^{1}$ так, чтобы $f$ не была постоянной ни на каком отрезке, хотя $f^{\prime }(x) = 0$ п.в.

Пусть $V = (a, b)$ — ограниченный отрезок в $R^{1}$. Выберем отрезки $W_{n} \subset V$ так, чтобы их объединение $W$ было плотно в $V$, а множество $K = V-W$ имело $m(K) > 0$. Выберем непрерывные функции $\varphi_{n}$ так, чтобы $\varphi_{n}(x) = 0$ вне $W_{n}$, $0 < \varphi_{n}(x) < 2^{-n}$ в $W_{n}$. Положим $\varphi = \sum \varphi_{n}$ и определим

Докажите следующие утверждения:

Пусть $0 < \alpha < 1$. Выберем $t$ так, чтобы $t^{\alpha } = 2$. Тогда $t > 2$, и построение примера (b) в разделе 7.16 можно провести с $\delta_{n} = (2 / t)^{n}$. Покажите, что получающаяся функция $f$ принадлежит Lip $\alpha$ на $[0,1]$.

Если $f \in \operatorname {Lip} 1$ на $[a, b]$, докажите, что $f$ абсолютно непрерывна и что $f^{\prime } \in L^{\infty }$.

Пусть $1 < p < \infty$, $f$ абсолютно непрерывна на $[a, b]$, $f^{\prime } \in L^{p}$, и $\alpha = 1 / q$, где $q$ — показатель, сопряжённый к $p$. Докажите, что $f \in \operatorname {Lip} \alpha$.

Пусть $\varphi :[a, b] \rightarrow R^{1}$ не убывает.

Пусть $BV$ — класс всех $f$ на $[a, b]$, имеющих ограниченную вариацию на $[a, b]$, как определено после теоремы 7.19. Докажите следующие утверждения.

Покажите, что произведение двух абсолютно непрерывных функций на $[a, b]$ абсолютно непрерывно. Используйте это, чтобы вывести теорему об интегрировании по частям.

Постройте монотонную функцию $f$ на $R^{1}$ так, чтобы $f^{\prime }(x)$ существовала (конечно) при каждом $x \in R^{1}$, но $f^{\prime }$ не была непрерывной функцией.

Пусть $E \subset [a, b], m(E) = 0$. Постройте абсолютно непрерывную монотонную функцию $f$ на $[a, b]$ так, чтобы $f^{\prime }(x) = \infty$ при каждом $x \in E$.

Указание: $E \subset \bigcap V_{n}, V_{n}$ открыты, $m\left(V_{n}\right) \subset 2^{-n}$. Рассмотрите сумму характеристических функций этих множеств.

Пусть $\left\{ \mu_{n}\right\}$ — последовательность положительных борелевских мер на $R^{k}$, и

Предположим $\mu \left(R^{k}\right) < \infty$. Покажите, что $\mu$ — борелевская мера. Какое отношение существует между разложениями Лебега мер $\mu_{n}$ и разложением $\mu$?

Докажите, что

Выведите соответствующие теоремы для последовательностей $\left\{ f_{n}\right\}$ положительных не убывающих функций на $R^{1}$ и их сумм $f = \sum f_{n}$.

Пусть $\varphi_{0}(t) = 1$ на $[0,1), \varphi_{0}(t) = -1$ на $[1, 2)$, продолжим $\varphi_{0}$ на $R^{1}$ так, чтобы она имела период 2, и определим $\varphi_{n}(t) = \varphi_{0}\left(2^{n} t\right), n = 1,2,3, \ldots$

Предположим, что $\sum \left|c_{n}\right|^{2} < \infty$, и докажите, что ряд

тогда сходится почти при каждом $t$. Вероятностная интерпретация: ряд $\sum \left(\pm c_{n}\right)$ сходится с вероятностью 1. Указание: $\left\{ \varphi_{n}\right\}$ ортонормирована на $[0,1]$, следовательно (*) — ряд Фурье некоторой $f \in L^{2}$. Если $a = j \cdot 2^{-N}, b = (j+1) \cdot 2^{-N}, a < t < b$, и $s_{N} = c_{1} \varphi_{1}+\cdots +c_{N} \varphi_{N}$, то при $n > N$

и последний интеграл сходится к $\int_{a}^{b} f d m$ при $n \rightarrow \infty$. Покажите, что (*) сходится к $f(t)$ почти в каждой точке Лебега функции $f$.

Пусть $f$ непрерывна на $R^{1}$, $f(x) > 0$, если $0 < x < 1$, $f(x) = 0$ в остальных точках. Определим

Докажите, что

Если $f$ — действительная функция на $[0,1]$ и

длина графика $f$, по определению, есть полная вариация $\gamma$ на $[0,1]$. Покажите, что эта длина конечна тогда и только тогда, когда $f \in BV$. (См. упражнение 13). Покажите, что она равна

если $f$ абсолютно непрерывна.

Определение точек Лебега, данное в разделе 7.6, применимо к отдельным интегрируемым функциям, а не к классам эквивалентности, обсуждаемым в разделе 3.10. Однако, если $F \in L^{1}\left(R^{k}\right)$ — один из таких классов эквивалентности, можно назвать точку $x \in R^{k}$ точкой Лебега $F$, если существует комплексное число, назовём его $(S F)(x)$, такое что

для одной (следовательно, для каждой) $f \in F$. Определим $(S F)(x)$ равным 0 в тех точках $x \in R^{k}$, которые не являются точками Лебега $F$. Докажите следующее утверждение: если $f \in F$, и $x$ — точка Лебега $f$, то $x$ также точка Лебега $F$, и $f(x) = (S F)(x)$. Следовательно, $SF \in F$.

Таким образом, $S$ «выбирает» представителя $F$, имеющего максимальное множество точек Лебега.