Банк задач по математике

Задача 3.8.1

(a)(b)(c)

Следующие простые свойства голоморфных функций нескольких переменных неявно использовались в этой главе. Докажите их.

?

(a)

Если $f$ целая в $\mathscr {C}^{n}$ , если $w \in \mathscr {C}^{n}$ , и если $\phi (\lambda ) = f(\lambda w)$ , то $\phi$ — целая функция одной комплексной переменной.

(b)

Если $P$ — многочлен от $\varphi^{n}$ , и если

\int _{T n}\left|P\right| d \sigma _{n} = 0

то $P$ тождественно равен 0. Указание: вычислите $\int_{T{ }^{n}}|P|^{2} d \sigma_{n}$ .

(c)

Если $P$ — многочлен (не тождественно 0), а $g$ — целая функция в $\mathcal{C}^{n}$ , то существует не более одной целой функции $f$ , удовлетворяющей $P f = g$ . Найдите обобщения этих трёх свойств.

Задача 3.8.2

Докажите утверждение о выпуклых оболочках, сделанное в последнем предложении доказательства теоремы 8.4.

?

Задача 3.8.3

Найдите фундаментальное решение для оператора $\partial^{2} / \partial x_{1} \partial x_{2}$ в $R^{2}$ . (Существует такое, которое является характеристической функцией некоторого подмножества $R^{2}$ ).

?

Задача 3.8.4

Покажите, что уравнение

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x_{1}^{2}}-\frac{\partial ^{2} u}{\partial x_{2}^{2}} = 0

удовлетворяется (в смысле распределений) каждой локально интегрируемой функцией $u$ вида

u\left(x_{1}, x_{2}\right) = f\left(x_{1}+x_{2}\right) \quad \text{ или } \quad u\left(x_{1}, x_{2}\right) = f\left(x_{1}-x_{2}\right)

и что даже классические решения (то есть дважды непрерывно дифференцируемые функции) не обязаны принадлежать $C^{\infty }$ . Заметьте контраст между этим и уравнением Лапласа.

?

Задача 3.8.5

(a)(b)(c)

Для $x \in R^{3}$ определим $f(x) = \left(1+|x|^{2}\right)^{-1}$ . Покажите, что $f \in I^{2}\left(R^{3}\right)$ и что $\hat{f}$ — фундаментальное решение оператора $I-\Delta$ в $R^{3}$ . Найдите $\hat{f}$ прямым вычислением, а также следующим рассуждением:

?

(a)

Поскольку $f$ — радиальная функция (то есть зависящая только от расстояния до начала координат), то же верно и для $\hat{f}$ ; см. упражнение 1, гл. 7.

(b)

Вдали от начала координат $(I-\Delta ) \hat{f} = 0$ , и $\hat{f} \in C^{\infty }$ .

(c)

Если $F(\left|y\right|) = \hat{f}(y)$ , из (b) следует, что $F$ удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению на $(0, \infty )$ , которое легко решить явно. Ответ. $\hat{f}(y) = (\pi / 2)^{1 / 2}|y|^{-1} \exp (-\left|y\right|)$ . Сделайте то же самое с $R^{n}$ вместо $R^{3}$ ; вы встретите функции Бесселя.

Задача 3.8.6

Для $0 < \lambda < n$ и $x \in R^{n}$ определим

K_{\lambda }(x) = |x|^{-\lambda }

Покажите, что

\hat{K}_{\lambda }(y) = c(n, \lambda ) K_{n-\lambda }(y) \quad \left(y \in R^{n}\right) \tag {a}

где

c(n, \lambda ) = \frac{2^{n / 2-\lambda } \Gamma [(n-\lambda ) / 2]}{\Gamma (\lambda / 2)}

Указание: если $n < 2 \lambda < 2 n, K_{\lambda }$ является суммой $L^{1}$ -функции и $L^{2}$ -функции. Для этих $\lambda$ уравнение (a) можно вывести из условия однородности

K_{\lambda }(t x) = t^{-\lambda } K_{\lambda }(x) \quad \left(x \in R^{n}, t > 0\right)

Случай $0 < 2 \lambda < n$ следует из теоремы обращения (для умеренных распределений). Предельный переход даёт случай $2 \lambda = n$ . Константы $c(n, \lambda )$ можно вычислить из $\int f \hat{\phi } = \int \hat{\delta } \phi$ , с $\phi (x) = \exp \left(-|x|^{2} / 2\right)$ .

?

Задача 3.8.7

Возьмём $n \geq 3$ и $\lambda = 2$ в упражнении 6, и выведите, что $-c(n, 2) K_{n-2}$ — фундаментальное решение лапласиана $\Delta$ в $R^{n}$ . Например, если $v$ имеет компактный носитель в $R^{3}$ , покажите, что решение уравнения $\Delta u = v$ даётся формулой

u(x) = -\frac{1}{4 \pi } \int _{R^{3}}|x-y|^{-1} v(y) d y

?

Задача 3.8.8

Отождествим $R^{2}$ и $\mathbb {C}$ (так что $z = x_{1}+i x_{2}$ ); положим

\partial = \frac{\partial }{\partial x_{1}}-i \frac{\partial }{\partial x_{2}}, \quad \bar{\partial } = \frac{\partial }{\partial x_{1}}+i \frac{\partial }{\partial x_{2}}

Покажите, что преобразование Фурье $1 / z$ (рассматриваемого как умеренное распределение) есть $-i / z$ . Покажите, что этот результат эквивалентен формуле Коши

\phi (z) = \int _{R^{2}}(\bar{\partial } \phi )(w) \frac{d m_{2}(w)}{w-z} \quad \left[\phi \in \mathscr {D}\left(R^{2}\right)\right]

Поскольку $\partial \log \left|w\right| = 1 / w$ и $\Delta = \partial \bar{\partial }$ , выведите, что

\phi (z) = \int _{R^{2}}(\Delta \phi )(w) \log \left|w-z\right| d m_{2}(w) \quad \left[\phi \in \mathscr {D}\left(R^{2}\right)\right]

Таким образом, $\log \left|z\right|$ — фундаментальное решение лапласиана в $R^{2}$ .

?

Задача 3.8.9

Используйте упражнение 6, чтобы вычислить, что

\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\left[\varepsilon ^{-1}-b-\hat{K}_{2-\varepsilon }(y)\right] = \log \left|y\right| \quad \left(y \in R^{2}\right)

где $b$ — некоторая константа. Покажите, что это приводит к другому доказательству последнего утверждения упражнения 8.

?

Задача 3.8.10

Пусть $P(D) = D^{2}+a D+b I$ . (Теперь мы находимся в случае $n = 1$ ). Пусть $f$ и $g$ — решения уравнения $P(D) u = 0$ , удовлетворяющие

f(0) = g(0) \quad \text{ и } \quad f^{\prime }(0)-g^{\prime }(0) = 1

Определим

G(x) = \begin{cases} f(x) & \text{ если } x \leq 0 \\ g(x) & \text{ если } x > 0\end{cases}

и положим

\Lambda \phi = -\int _{-\infty }^{\infty } \phi (x) G(x) d x \quad [\phi \in \mathscr {D}(R)]

Докажите, что $\Lambda$ — фундаментальное решение $P(D)$ .

?

Задача 3.8.11

Пусть $u$ — распределение в $R^{n}$ , первые производные которого $D_{1} u, \ldots , D_{n} u$ локально $L^{2}$ . Докажите, что тогда $u$ локально $L^{2}$ . Указание: если $\psi \in \mathscr {D}\left(R^{n}\right)$ равна 1 в окрестности начала координат, и если $\Delta E = \delta$ , то $\Delta (\psi E)-\delta \in \mathscr {D}\left(R^{n}\right)$ . Следовательно,

u-\sum _{t = 1}^{n}\left(D_{i} u\right) * D_{i}(\psi E)

принадлежит $C^{\infty }\left(R^{n}\right)$ . Каждая $D_{i}(\psi E)$ — это $L^{1}$ -функция с компактным носителем.

?

Задача 3.8.12

Пусть $u$ — распределение в $R^{n}$ , лапласиан которого $\Delta u$ является непрерывной функцией. Докажите, что тогда $u$ — непрерывная функция. Указание: как в упражнении 11,

u-(\psi E) *(\Delta u) \in C^{\infty }\left(R^{n}\right)

?

Задача 3.8.13

Докажите аналоги упражнений 11 и 12, с заменой $R^{n}$ произвольным открытым множеством $\Omega$ .

?

Задача 3.8.14

(a)(b)

Покажите, при условиях упражнения 12, что

?

(a)

$\partial^{2} u / \partial x_{1}^{2}$ локально $L^{2}$ , но

(b)

$\partial^{2} u / \partial x_{1}^{2}$ не обязана быть непрерывной функцией.

Набросок $(b)$ для периодических распределений в $R^{2}$ (упражнение 22, гл. 7): если $g \in C\left(T^{2}\right)$ имеет коэффициенты Фурье $\hat{g}(m, n)$ , и если $f$ определена формулой

\hat{f}(m, n) = \left(1+m^{2}+n^{2}\right)^{-1} \hat{g}(m, n)

то $f \in C\left(T^{2}\right)$ и $\Delta f = f-g \in C\left(T^{2}\right)$ , поскольку $\sum \left|\hat{f}(m, n)\right| < \infty$ . Коэффициенты Фурье $\partial^{2} f / \partial x_{1}^{2}$ суть $-m^{2} \hat{f}(m, n)$ . Если бы $\partial^{2} f / \partial x_{1}^{2}$ была непрерывна для каждой $g \in C\left(T^{2}\right)$ , то $\left(\partial^{2} f / \partial x_{1}^{2}\right)(0,0)$ была бы непрерывным линейным функционалом от $g$ . Следовательно, существовала бы комплексная борелевская мера $\mu$ на $T^{2}$ , с коэффициентами Фурье

\hat{\mu }(m, n) = \frac{m^{2}}{1+m^{2}+n^{2}}

Следующее упражнение показывает, что такой меры не существует.

Задача 3.8.15

Если $\mu$ — комплексная борелевская мера на $T^{2}$ , и если

\gamma (A, B) = \frac{1}{(2 A+1)(2 B+1)} \sum _{n = -A}^{A} \sum _{m = -B}^{B} \hat{\mu }(m, n)

докажите, что

\lim _{A \rightarrow \infty }\left[\lim _{B \rightarrow \infty } \gamma (A, B)\right] = \lim _{B \rightarrow \infty }\left[\lim _{A \rightarrow \infty } \gamma (A, B)\right]

Указание: если $D_{A}(t) = (2 A+1)^{-1} \sum_{-A}^{A} e^{i n t}$ , то $D_{A}(x) = 1$ , если $x = 0$ , $D_{A}(x) \rightarrow 0$ в остальных случаях, и

\gamma (A, B) = \int _{T^{2}} D_{A}(x) D_{B}(y) d \mu (x, y)

Заключите, что каждый из двух повторных пределов существует, и что оба равны $\mu (\left\{ 0,0\right\} )$ .

Если бы $\mu$ была такой, как в упражнении 14, один из повторных пределов был бы равен 1, другой — 0.

?

Задача 3.8.16

(a)(b)

Пусть $L$ — эллиптический линейный оператор в некотором открытом множестве $\Omega \subset R^{n}$ , и пусть порядок $L$ нечётен.

?

(a)

Докажите, что тогда $n = 1$ или $n = 2$ .

(b)

Если $n = 2$ , докажите, что коэффициенты характеристического многочлена $L$ не могут быть все действительными.

Ввиду (a), оператор Коши–Римана не является очень типичным примером эллиптического оператора.

Приложения к дифференциальным уравнениям