Тауберова теория

Докажите теорему Таубера, сформулированную в разделе 9.1.

Пусть $\phi \in L^{\infty }\left(R^{n}\right)$, и носитель распределения $\hat{\phi }$ состоит из $k$ различных точек $s_{1}, \ldots , s_{k}$. Постройте подходящие функции $\psi_{1}, \ldots , \psi_{k}$, такие что $\left(\phi * \psi_{j}\right)^{\wedge }$ имеет одноточечное множество $\left\{ s_{j}\right\}$ в качестве носителя, и заключите, что $\phi$ — тригонометрический многочлен, а именно,

(Случай $k = 1$ рассмотрен в доказательстве теоремы 9.13).

Пусть $Y$ — замкнутое трансляционно-инвариантное подпространство $L^{1}\left(R^{n}\right)$, такое что $Z(Y)$ состоит из $k$ различных точек. (Обозначения такие же, как в теореме 9.3). Используйте упражнение 2, чтобы доказать, что $Y$ имеет коразмерность $k$ в $L^{1}\left(R^{n}\right)$, и заключите отсюда, что $Y$ состоит в точности из тех $f \in L^{1}\left(R^{n}\right)$, преобразования Фурье которых равны 0 в каждой точке $Z(Y)$.

Докажите следующий аналог пункта (a) теоремы 9.7: если $\phi \in L^{\infty }\left(R^{n}\right)$, и если каждому $t \in R^{n}$ соответствует функция $K_{t} \in L^{1}\left(R^{n}\right)$, такая что $\hat{K}_{t}(t) \neq 0$ и $\left(K_{t} * \phi \right)(x) \rightarrow 0$ при $\left|x\right| \rightarrow \infty$, то $(f * \phi )(x) \rightarrow 0$ при $\left|x\right| \rightarrow \infty$, для каждой $f \in L^{1}\left(R^{n}\right)$.

Пусть $K \in L^{1}\left(R^{n}\right)$, и $\hat{K}$ имеет хотя бы один нуль в $R^{n}$. Покажите, что тогда существует $\phi \in L^{\infty }\left(R^{n}\right)$, такая что $(K * \phi )(x) = 0$ для каждого $x \in R^{n}$, хотя $\phi$ не удовлетворяет выводу пункта (a) теоремы 9.7.

Если $\phi (x) = \sin \left(x^{2}\right),-\infty < x < \infty$, покажите, что

для каждой $f \in L^{1}(R)$, хотя вывод $(b)$ теоремы 9.7 не выполняется.

Для $\alpha > 0$ пусть $f_{\alpha }$ — характеристическая функция интервала $[0, \alpha ]$. Определим $f_{\beta }$ аналогично; положим $g = f_{\alpha }+f_{\beta }$. Докажите, что множество всех конечных линейных комбинаций сдвигов $g$ плотно в $L^{1}(R)$ тогда и только тогда, когда $\beta / \alpha$ иррационально.

Если $\alpha > 0$ и $\alpha x = 1$, докажите, что

и выведите отсюда, что $e^{x} K(x)$ ограничена, как утверждалось в доказательстве теоремы 9.12.

Пусть $Q$ обозначает множество всех рациональных чисел. Пусть $\mu$ — вероятностная мера на $R$, сосредоточенная на $Q$, и пусть $\phi$ — характеристическая функция $Q$. Покажите, что $\phi (x) = (\phi * \mu )(x)$ для каждого $x \in R$, хотя $\phi$ не постоянна. (Сравните с теоремой 9.13). Какие другие множества можно было бы использовать вместо $Q$, чтобы добиться того же эффекта?

Частные случаи следующих фактов использовались в теореме 9.15. Докажите их.

Положим $\psi (x) = \cos \left(|x|^{1 / 3}\right)$ и определим

Докажите, что $f \in \left(L^{1} \cap C_{0}\right)(R)$, но что ни одно ограниченное решение уравнения

не имеет пределов ни при $+\infty$, ни при $-\infty$. (Это иллюстрирует значимость условия $M \neq 0$ в теореме 9.15).

Пусть $\mu$ — вероятностная мера, сосредоточенная на целых числах. Докажите, что каждая функция $\phi$ на $R$, периодическая с периодом 1, удовлетворяет $\phi -\phi * \mu = 0$. (Это относится к теоремам 9.13 и 9.15).

Пусть $\phi \in L^{\infty }(0, \infty )$,

и

Докажите, что

Это аналог пункта (a) теоремы 9.7. Как следовало бы определить "медленно колеблющуюся", чтобы получить соответствующий аналог пункта (b) теоремы 9.7?

Дополните детали в следующем наброске доказательства Винера теоремы Литтлвуда. Пусть $\left|n a_{n}\right| \leq 1, f(r) = \sum_{0}^{\infty } a_{n} r^{n}$, и $f(r) \rightarrow 0$ при $r \rightarrow 1$. Если $s_{n} = a_{0}+\cdots +a_{n}$, требуется доказать, что $s_{n} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$.

Пусть $Y$ — замкнутое подпространство $L^{1}\left(R^{n}\right)$. Докажите, что $Y$ трансляционно-инвариантно тогда и только тогда, когда $f * g \in Y$ всякий раз, когда $f \in Y$ и $g \in L^{1}\left(R^{n}\right)$.

Замкнутые трансляционно-инвариантные подпространства $L^{1}\left(R^{n}\right)$, таким образом, в точности совпадают с замкнутыми идеалами в алгебре свёртки $L^{1}\left(R^{n}\right)$.