Банаховы алгебры

Используйте тождество $(x y)^{n} = x(y x)^{n-1} y$, чтобы доказать, что $x y$ и $y x$ всегда имеют один и тот же спектральный радиус.

Докажите, что каждая конечномерная $A$ изоморфна алгебре матриц. Указание: доказательство теоремы 10.2 показывает, что каждая $A$ изоморфна подалгебре $\mathscr {P}(A)$. Заключите, что $x y = e$ влечёт $y x = e$, если $\operatorname {dim} A < \infty$.

Пусть $A_{0}$ и $A_{1}$ — алгебры всех комплексных 2×2-матриц вида

Докажите, что каждая двумерная комплексная алгебра $A$ с единицей $e$ изоморфна одной из них, и что $A_{0}$ не изоморфна $A_{1}$. Указание: покажите, что $A$ имеет базис $\left\{ e, a\right\}$, в котором $a^{2} = \lambda e$ при некотором $\lambda \in \mathbb {C}$. Различайте случаи $\lambda = 0, \lambda \neq 0$. Покажите, что существует трёхмерная некоммутативная банахова алгебра.

Пусть $A$ — алгебра всех комплексных функций $f$ на $\left\{ 1,2,3, \ldots \right\}$, равных 0 всюду, кроме конечного числа точек, с поточечными сложением и умножением и нормой

Покажите, что умножение непрерывно слева (следовательно, и справа, поскольку $A$ коммутативна), но не совместно непрерывно. (Присоединение единичного элемента, как предложено в разделе 10.1, ничего не изменило бы). Покажите, в самом деле, что существует последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ в $A$, такая что $\left\| f_{n}\right\| \rightarrow 0$, но $\left\| f_{n}^{2}\right\| \rightarrow \infty$, при $n \rightarrow \infty$.

Пусть $C^{2} = C^{2}([0,1])$ — пространство всех комплексных функций на [0, 1], вторая производная которых непрерывна. Выберем $a > 0, b > 0$, и определим

Покажите, что это превращает $C^{2}$ в банахово пространство при любом выборе $a, b$, но что аксиомы банаховой алгебры выполняются тогда и только тогда, когда $2 b \leq a^{2}$. (Для необходимости рассмотрите $x$ и $x^{2}$).

Что происходит, если процесс присоединения единицы (описанный в разделе 10.1) применить к алгебре $A$, которая уже имеет единицу? Очевидно, результатом не может быть алгебра $A_{1}$ с двумя единицами. Объясните.

Пусть $\Omega$ открыто в $C$, и пусть $f: \Omega \rightarrow A$ и $\varphi : \Omega \rightarrow C$ голоморфны. Докажите, что $\varphi f: \Omega \rightarrow A$ голоморфна.

Другое доказательство того, что $\sigma (x) \neq \varnothing$, можно основать на теореме Лиувилля 3.32 и факте, что $(\lambda e-x)^{-1} \rightarrow 0$ при $\lambda \rightarrow \infty$. Дополните детали.

Назовём $x \in A$ топологическим делителем нуля, если существует последовательность $\left\{ y_{n}\right\}$ в $A$, с $\left\| y_{n}\right\| = 1$, такая что

Найдите спектр оператора $T \in \mathscr {B}\left(\ell^{2}\right)$, заданного формулой

Пусть $K = \left\{ \lambda \in \mathscr {C}: 1 \leq \left|\lambda \right| \leq 2\right\}$. Положим $f(\lambda ) = \lambda$. Пусть $A$ — наименьшая замкнутая подалгебра $C(K)$, содержащая 1 и $f$. Пусть $B$ — наименьшая замкнутая подалгебра $C(K)$, содержащая $f$ и $1 / f$. Опишите спектры $\sigma_{A}(f)$ и $\sigma_{B}(f)$.

Пусть $X$ — банахово пространство, $T \in \mathscr {B}(X)$ компактен, и $\left\| T^{n}\right\| \geq 1$ для всех $n \geq 1$. Докажите, что точечный спектр $T$ не пуст.

Пусть $X = C([0,1])$, и определим $T \in \mathscr {B}(X)$ формулой

Покажите, что $\sigma_{p}(T) = \varnothing$. Следовательно, $f\left(\sigma_{p}(T)\right) = \varnothing$ для каждой $f$, но если $f \equiv 0$, то $\tilde{f}(T) =$ 0 ; следовательно

Дополнительные условия в (c) и (d) теоремы 10.33, таким образом, необходимы.

Пусть спектр некоторого $x \in A$ несвязен. Докажите, что $A$ содержит нетривиальный идемпотент 2. (Определён в упражнении 2).

Докажите также, что $A = A_{0} \oplus A_{1}$, где

Пусть $\Omega$ открыто в $\mathcal{C}, \alpha$ — изолированная граничная точка $\Omega , f: \Omega \rightarrow X$ — голоморфная $X$-значная функция (где $X$ — некоторое комплексное банахово пространство), и пусть существует наименьшее неотрицательное целое $n$, такое что

ограничено при $\lambda \rightarrow \alpha$. Если $n > 0$, говорят, что $f$ имеет полюс порядка $n$ в точке $\alpha$.

Пусть $S_{R}$ — правый сдвиг, действующий на $\ell^{2}$, как в упражнении 2. Пусть $\left\{ c_{n}\right\}$ — последовательность комплексных чисел, таких что $c_{n} \neq 0$, но $c_{n} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$. Определим $M \in \mathscr {B}\left(\ell^{2}\right)$ формулой

и определим $T \in \mathscr {B}\left(\ell^{2}\right)$ равенством $T = M S_{R}$.

Пусть $x \in A, x_{n} \in A$, и $\lim x_{n} = x$. Пусть $\Omega$ — открытое множество в $\mathscr {C}$, содержащее компоненту $\sigma (x)$. Докажите, что $\sigma \left(x_{n}\right)$ пересекает $\Omega$ для всех достаточно больших $n$. (Это усиливает теорему 10.20). Указание: если $\sigma (x) \subset \Omega \cup \Omega_{0}$, где $\Omega_{0}$ — открытое множество, не пересекающееся с $\Omega$, рассмотрите функцию $f$, равную 1 на $\Omega$, 0 на $\Omega_{0}$.

Пусть $C_{R}$ — алгебра всех действительных непрерывных функций на $[0,1]$, с нормой супремума. Она удовлетворяет всем требованиям банаховой алгебры, за исключением того, что скаляры теперь действительны.

Пусть $A = C(T)$ — алгебра всех непрерывных комплексных функций на единичной окружности $T$, с нормой супремума. Покажите, что два обратимых элемента $C(T)$ лежат в одном и том же классе смежности $G_{1}$ тогда и только тогда, когда они являются гомотопными отображениями $T$ в множество всех ненулевых комплексных чисел. Выведите отсюда, что $G / G_{1}$ изоморфна аддитивной группе целых чисел. (Обозначения такие же, как в теореме 10.34).

Пусть $A = M(R)$ — алгебра свёртки всех комплексных борелевских мер на действительной прямой; см. пункт (e) примера 10.3. Дополните детали в следующем доказательстве того, что $G / G_{1}$ несчётна: если $\alpha \in R$, пусть $\delta_{\alpha }$ — единичная масса, сосредоточенная в $\alpha$. Предположим $\delta_{\alpha } \in G_{1}$. Тогда $\delta_{\alpha } = \exp \left(\mu_{\alpha }\right)$ для некоторой $\mu_{\alpha } \in M(R)$; следовательно, при $-\infty < t < \infty$,

где $k$ — целое число. Поскольку $\hat{\mu }_{\alpha }$ — ограниченная функция, $\alpha = 0$. Таким образом, $\delta_{0}$ — единственная $\delta_{\alpha }$ в $G_{1}$. Следовательно, ни один класс смежности $G_{1}$ в $G$ не содержит более одной $\delta_{\alpha }$.

Что касается проблемы инвариантного подпространства, описанной во введении к теореме 10.35, объясните, почему проблема

Пусть $S_{R}$ — правый сдвиг на $\ell^{2}$, как в упражнении 2. Докажите, что 0 — единственный компактный $T \in \mathscr {B}\left(\ell^{2}\right)$, коммутирующий с $S_{R}$. Указание: если $T \neq 0$, то

не стремится к 0, когда $N-M \rightarrow \infty$.