Ограниченные операторы в гильбертовом пространстве

Пополнение пространства со скалярным произведением является гильбертовым пространством. Сформулируйте это утверждение более точно и докажите его. (См. доказательство теоремы 12.40 для примера применения).

Пусть $N$ — положительное целое число, $\alpha \in \mathcal{C}, \alpha^{N} = 1$, и $\alpha^{2} \neq 1$. Докажите, что каждое скалярное произведение гильбертова пространства удовлетворяет тождествам

и

Обобщите это: какие функции $f$ и меры $\mu$ на множестве $\Omega$ порождают тождество

Пусть $H^{*}$ — сопряжённое пространство к $H$; определим $\psi : H^{*} \rightarrow H$ формулой

(См. теорему 12.5). Докажите, что $H^{*}$ — гильбертово пространство, относительно скалярного произведения

Если $\phi : H^{* *} \rightarrow H^{*}$ удовлетворяет $z^{* *}\left(y^{*}\right) = \left[y^{*}, \phi z^{* *}\right]$ для всех $y^{*} \in H^{*}$ и $z^{* *} \in H^{* *}$, докажите, что $\psi \phi$ — изоморфизм $H^{* *}$ на $H$, существование которого влечёт, что $H$ рефлексивно.

Пусть $\left\{ u_{n}\right\}$ — последовательность единичных векторов в $H$ (то есть $\left\| u_{n}\right\| = 1$), и предположим, что

Если $\left\{ \alpha_{i}\right\}$ — произвольная последовательность скаляров, докажите, что

и выведите, что следующие три свойства $\left\{ \alpha_{i}\right\}$ эквивалентны друг другу:

Пусть $E$ — разложение единицы, как в разделе 12.17, и докажите, что

для всех $x \in H, y \in H$, и $\omega \in \mathfrak {M}$.

Пусть $U \in \mathscr {B}(H)$ унитарен, и $\varepsilon > 0$. Докажите, что скаляры $\alpha_{0}, \ldots , \alpha_{n}$ можно выбрать так, чтобы

если $\sigma (U)$ — собственное подмножество единичной окружности, но что эта норма никогда не меньше 1, если $\sigma (U)$ покрывает всю окружность.

Докажите теорему 12.35 с $P U$ вместо $U P$.

Пусть $T = U P$ — полярное разложение обратимого $T \in \mathscr {B}(H)$. Докажите, что $T$ нормален тогда и только тогда, когда $U P = P U$.

Докажите, что каждый нормальный обратимый $T \in \mathscr {B}(H)$ является экспонентой некоторого нормального $S \in \mathscr {B}(H)$.

Пусть $N \in \mathscr {B}(H)$ нормален, и $T \in \mathscr {B}(H)$ обратим. Докажите, что $T N T^{-1}$ нормален тогда и только тогда, когда $N$ коммутирует с $T^{*} T$.

Если $T \in \mathscr {B}(H)$ нормален, покажите, что $T^{*} = U T$, для некоторого унитарного $U$. Когда $U$ единствен?

Пусть $T \in \mathscr {B}(H)$, и $T^{*} T$ — компактный оператор. Покажите, что тогда $T$ компактен.

Найдите некомпактный $T \in \mathscr {B}(H)$, такой что $T^{2} = 0$. Может ли такой оператор быть нормальным?

Пусть $T \in \mathscr {B}(H)$ нормален, и $\sigma (T)$ — конечное множество. Выведите из этого как можно больше информации о $T$.

Покажите, при условиях пункта $(d)$ теоремы 12.29, что уравнение $T y = x$ имеет решение $y \in H$ тогда и только тогда, когда

(Если $\lambda_{i} = 0$ при некотором $i$, то $x_{i}$ должно быть 0, при этом $i$).

Спектр $\sigma (T)$ оператора $T \in \mathscr {B}(H)$ можно разделить на три непересекающиеся части:

Точечный спектр $\sigma_{p}(T)$ состоит из всех $\lambda \in \mathbb {C}$, для которых $T-\lambda I$ не является взаимно однозначным.

Непрерывный спектр $\sigma_{c}(T)$ состоит из всех $\lambda \in \mathbb {C}$, таких что $T-\lambda I$ является взаимно однозначным отображением $H$ на плотное собственное подпространство $H$.

Остаточный спектр $\sigma_{r}(T)$ состоит из всех остальных $\lambda \in \sigma (T)$.

Пусть $S_{R}$ и $S_{L}$ — как выше. Докажите, что ни $S_{R}$, ни $S_{L}$ не имеют полярных разложений $U P$, где $U$ унитарен и $P \geq 0$.

Пусть $\mu$ — положительная мера на измеримом пространстве $\Omega$, пусть $H = L^{2}(\mu )$, с обычным скалярным произведением

Для $\phi \in L^{\infty }(\mu )$ определим оператор умножения $M_{\phi }$ формулой $M_{\phi }(f) = \phi f$. Тогда $M_{\phi } \in \mathscr {B B}(H)$.

При каких условиях на $\phi$ у $M_{\phi }$ есть собственные значения? Приведите пример, в котором $\sigma \left(M_{\phi }\right) = \sigma_{c}\left(M_{\phi }\right)$. Покажите, что каждый $M_{\phi }$ нормален. Какова связь между $\sigma \left(M_{\phi }\right)$ и существенной областью значений $\phi$? Покажите, что $\phi \rightarrow M_{\phi }$ — изометрический *-изоморфизм $L^{\infty }(\mu )$ на замкнутую подалгебру $A$ пространства $\mathscr {B}(H)$. (Некоторые патологические меры $\mu$ нужно исключить, чтобы это последнее утверждение было верным). Является ли $A$ максимальной коммутативной подалгеброй $\mathscr {B}(H)$? Указание: если $T \in \mathscr {B}(H)$ и $T M_{\phi } = M_{\phi } T$ для всех $\phi \in L^{\infty }(\mu )$, и если $\mu (\Omega ) < \infty$, покажите, что $T$ является умножением на $T(1)$ и, следовательно, $T \in A$.

Пусть $T \in \mathscr {B}(H)$ нормален, $A$ — замкнутая подалгебра $\mathscr {B}(H)$, порождённая $I$, $T$, и $T^{*}$, и $T$ можно приблизить, в топологии нормы $\mathscr {B}(H)$, конечными линейными комбинациями проекций, принадлежащих $A$.

При каких (необходимых и достаточных) условиях на $\sigma (T)$ это происходит?

Имеет ли каждый нормальный $T \in \mathscr {B}(H)$ квадратный корень в $\mathscr {B}(H)$? Что вы можете сказать о мощности множества всех квадратных корней из $T$? Может ли случиться, что два квадратных корня одного и того же $T$ не коммутируют? Может ли это случиться, когда $T = I$?

Покажите, что преобразование Фурье $f \rightarrow \hat{f}$ является унитарным оператором на $L^{2}\left(R^{n}\right)$. Каков его спектр? Указание: при $n = 1$ вычислите преобразования Фурье функций

Покажите, что любые два бесконечномерных сепарабельных гильбертовых пространства изометрически изоморфны (посредством счётных ортонормированных базисов; см. [23]). Покажите, что пространство $H$ в теореме 12.38 сепарабельно. Покажите, что ответ на вопрос, предшествующий теореме 12.38, поэтому отрицателен для каждого бесконечномерного $H$, сепарабельного или нет.

Пусть $T \in \mathscr {B}(H)$ нормален, $f$ — ограниченная борелевская функция на $\sigma (T)$, и $S = f(T)$. Если $E_{T}$ и $E_{S}$ — спектральные разложения $T$ и $S$ соответственно, докажите, что

для каждого борелевского множества $\omega \subset \sigma (S)$.

Если $S \in \mathscr {B}(H)$ и $T \in \mathscr {B}(H)$, обозначение $S \geq T$ означает, что $S-T \geq 0$, то есть что

для всех $x \in H$. Докажите эквивалентность следующих четырёх свойств пары самосопряжённых проекций $P$ и $Q$:

Пусть * — инволюция в комплексной алгебре $A, q$ — обратимый элемент $A$, такой что $q^{*} = q$, и $x^{\# }$ определяется формулой

для каждого $x \in A$. Покажите, что ${ }^{\# }$ — инволюция в $A$.

Пусть $A$ — алгебра всех комплексных матриц 4-на-4. Если $M = \left(m_{i j}\right) \in A$, пусть $M^{*}$ — сопряжённо-транспонированная матрица к $M: m_{i j}^{*} = \overline{m_{j i}}$. Положим

Как в упражнении 27, определим

Пусть $X$ — векторное пространство всех тригонометрических многочленов на действительной прямой: это функции вида

где $s_{k} \in R$ и $c_{k} \in \mathscr {C}$, при $1 \leq k \leq n$. Покажите, что

существует и определяет скалярное произведение на $X$, что

и что пополнение $X$ является несепарабельным гильбертовым пространством $H$. Покажите, что $H$ содержит все равномерные пределы тригонометрических многочленов; это так называемые "почти-периодические" функции на $R$.

Пусть $H_{w}$ — бесконечномерное гильбертово пространство, с его слабой топологией. Докажите, что скалярное произведение является раздельно непрерывной функцией на $H_{w} \times H_{w}$, не являющейся совместно непрерывной.

Пусть $T_{n} \in \mathscr {B}(H)$ при $n = 1,2,3, \ldots$, и

для каждого $x \in H$. Следует ли отсюда, что

для каждого $x \in H$?

Пусть $X$ — равномерно выпуклое банахово пространство. Это по определению означает, что предположения

влекут $\left\| x_{n}-y_{n}\right\| \rightarrow 0$. Например, каждое гильбертово пространство равномерно выпукло.

Докажите утверждение о случае $\operatorname {dim} H < \infty$, сделанное в замечании, следующем за теоремой 12.35.

Найдите оператор $T \in \mathscr {B}(H)$, с $\sigma (T) = \left\{ 1\right\}$, который не является ни унитарным, ни самосопряжённым.

Если $S$ самосопряжён и $U = \exp (i S)$, покажите, что $U$ унитарен. Выведите отсюда, а также из того факта, что $\sigma (U)$ лежит на единичной окружности, что $\sigma (S)$ лежит на действительной оси.

Покажите, что $\mathscr {R}\left(T^{*}\right) = \mathscr {R}(T)$, если $T \in \mathscr {B}(H)$ нормален. Указание: используя теорему 12.35, $T = T^{*} U^{2}$.

Определим $T$ на $H = L^{2}(0,1)$ формулой $(T f)(x) = x f(x)$. Покажите, что $T$ самосопряжён и что $\mathscr {R}(T)$ — плотное собственное подпространство $H$.

Найдите ненормальный $T \in \mathscr {B}(H)$, такой что

(Это показывает, что у теоремы 12.25 нет обращения).

Покажите, что $T$ и $T^{*}$ могут иметь одно и то же нулевое пространство, не будучи нормальными.

Пусть $D$ — кольцевая область в $\mathbb {C}$ с центром в 0. Определим $H$ и $M \in \mathscr {B}(H)$, как в теореме 12.38. Докажите, что $M$ не имеет квадратного корня в $\mathscr {B}(H)$, дополнив следующий набросок: предположим $Q \in \mathscr {B}(H), Q^{2} = M$. Положим $u(z) = 1, v(z) = z, h = Q u$. Поскольку $Q M = M Q$, индукция показывает, что $Q v^{n} = h v^{n}$ для всех целых $n$. Из разложения в ряд Лорана следует, что $Q f = h f$ для каждой $f \in H$. Это приводит к $h^{2} = v$, то есть $h^{2}(z) = z$ для всех $z \in D$, что невозможно.

Найдите сопряжённый оператор $M^{*}$ к $M$. (Используйте ряды Лорана).