Банк задач по математике

Задача 2.3.1

Докажите, что в метрическом пространстве всякая фундаментальная последовательность ограничена.

?

Задача 2.3.2

Пусть $\left\| \cdot \right\|$ и $\left\| \cdot \right\|$ обозначают две нормы, заданные на одном и том же линейном пространстве $X$ . Предположим, что существуют константы $a>0$ и $b>0$ , такие что

a\left\| x\right\| \leq \left\| x\right\| \leq b\left\| x\right\|

для каждого $x \in X$ . Покажите, что $(X,\left\| \cdot \right\| )$ полно тогда и только тогда, когда $(X,\left\| \cdot \right\| )$ полно. Если две нормы удовлетворяют (2.1), они называются эквивалентными нормами.

?

Задача 2.3.3

(a)(b)

?

(a)

На $\mathbb {R}^{n}$ покажите, что три нормы $\left\| \cdot \right\|_{1},\left\| \cdot \right\|_{2}$ и $\left\| \cdot \right\|_{\infty }$ эквивалентны.

(b)

Докажите, что в конечномерном линейном пространстве все нормы эквивалентны. Вы заметите, что (a) следует из (b); и всё же сначала выполните (a). Это поучительно.

Задача 2.3.4

Пусть $M$ — множество с дискретной метрикой. Полно ли $M$ ? Объясните.

?

Задача 2.3.5

Определим

\left\| f\right\| _{1}=\int _{a}^{b}\left|f(x)\right| d x

на $C([a, b])$ . Покажите, что это действительно задаёт норму. Порождена ли эта норма скалярным произведением? Является ли $\left(C([a, b]),\left\| \cdot \right\|_{1}\right)$ банаховым пространством?

?

Задача 2.3.6

Покажите, что $\left(C([a, b]),\left\| \cdot \right\|_{2}\right)$ не полно.

?

Задача 2.3.7

Докажите, что $\ell^{1}$ полно.

?

Задача 2.3.8

Докажите, что $\ell^{\infty }$ полно.

?

Полнота: банаховы и гильбертовы пространства