Теория вероятностей как мотивация

Изложите подробно доказательство того, что $\mathcal{B}$ несчётно, используя диагональный метод.

Докажите, что $\mathcal{B}_{T}$ счётно, и используйте этот результат, чтобы дать альтернативное доказательство (как намечено в тексте) того, что $\mathcal{B}$ несчётно.

В этом упражнении вам нужно определить множество $B_{E}$ для заданных событий $E$.

Докажите, что $(0,1] \backslash S$ несчётно, где $S$ — множество, о котором говорится в усиленном законе больших чисел. Указание: рассмотрите отображение $(0,1]$ в себя, переводящее двоичное представление $\omega =. a_{1} a_{2} \ldots$ в.$a_{1} 11 a_{2} 11 a_{3} 11 a_{4} \ldots$. Докажите, что это отображение инъективно и его образ содержится в $(0,1] \backslash S$.