4.2

Неравенство Бесселя, теорема Парсеваля и теорема Рисса–Фишера

[5/0%]
LaTeX
Задача 4.2.1
?
(a)

Докажите, что в любом пространстве со скалярным произведением (V,⟨⋅,⋅⟩)(V,\langle \cdot , \cdot \rangle ) из ортогональности ff и gg следует

∥f∥2+∥g∥2=∥f+g∥2. \left\| f\right\| ^{2}+\left\| g\right\| ^{2}=\left\| f+g\right\| ^{2}.

Здесь, как обычно, ∥⋅∥=⟨⋅,⋅⟩\left\| \cdot \right\| =\sqrt{\langle \cdot , \cdot \rangle }.

(b)

Докажите теорему Парсеваля.

Задача 4.2.2

Предположим, что {fn}n=1∞\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } — последовательность в L2L^{2} и fn→ff_{n} \rightarrow f в среднем. Докажите, что {∥fn∥2}n=1∞\left\{ \left\| f_{n}\right\|_{2}\right\}_{n=1}^{\infty } является ограниченной последовательностью вещественных чисел.

?
Задача 4.2.3

Предположим, что f1,f2,…,fnf_{1}, f_{2}, \ldots , f_{n} — ортонормированное семейство в пространстве со скалярным произведением. Докажите, что f1,f2,…,fnf_{1}, f_{2}, \ldots , f_{n} линейно независимы.

?
Задача 4.2.4

Для ff и gg из пространства со скалярным произведением, g≠0g \neq 0, проекцией ff на gg называется вектор

⟨f⋅g⟩∥8∥2g \frac{\langle f \cdot g\rangle }{\left\| 8\right\| ^{2}} g

Покажите, что два вектора

⟨f,g⟩∥g∥2g и f−⟨f,g⟩∥g∥2g \frac{\langle f, g\rangle }{\left\| g\right\| ^{2}} g \quad \text{ и } \quad f-\frac{\langle f, g\rangle }{\left\| g\right\| ^{2}} g

ортогональны.

?
Задача 4.2.5
?
(a)

Покажите, что классический ряд Фурье функции f(x)=xf(x)=x равен

2∑n=1∞(−1)n+1nsin⁡(nx) 2 \sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin (n x)
(b)

Используя результат пункта (a) вместе с тождеством Парсеваля, получите замечательное тождество Эйлера

∑n=1∞1n2=π26 \sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi ^{2}}{6}

(Замечание: ту же процедуру можно применить к ряду Фурье функции x2x^{2}, чтобы получить

∑n=1∞1n4=π490 \sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{4}}=\frac{\pi ^{4}}{90}

и так далее!)