Основные определения и пример

Пусть $H$ — гильбертово пространство и $x_{0}$ — фиксированный элемент $H$. Докажите, что отображение, переводящее $x$ в $\left\langle x, x_{0} \right\rangle$, является линейным оператором из $H$ в $\mathbb {C}$.

Рассмотрим оператор, определённый формулой

Это оператор Фредгольма, часто называемый оператором Чезаро.

В этом разделе вы, возможно, впервые встретили бесконечные матрицы. В общем случае умножение матриц некоммутативно. Это верно как для конечных, так и для бесконечных матриц. Но для бесконечных матриц умножение ведёт себя ещё хуже. Для конечных матриц существуют определённые ситуации, в которых умножение фактически коммутативно. Например, если $A B=I$ для двух квадратных матриц $A$ и $B$, то $A$ и $B$ коммутируют. Это показывает, что конечная матрица, имеющая «левый обратный» элемент, также имеет и «правый обратный» (и они совпадают). Для бесконечномерных матриц это не обязано выполняться. Приведите примеры бесконечных матриц $A$ и $B$, таких что $A B=I$, но $B A \neq I$. Подробнее об этом — в упражнении 5.3.3.