Ограниченность и нормы операторов

Докажите, что $\mathcal{B}(X, Y)$ является нормированным линейным пространством. То есть докажите теорему 5.3.

Покажите, что тождественный оператор из $\left(\mathcal{C}([0,1]),\left\| \cdot \right\|_{\infty }\right)$ в $\left(\mathcal{C}([0,1]),\left\| \cdot \right\|_{1}\right)$ является ограниченным линейным оператором, но тождественное отображение из $\left(\mathcal{C}([0,1]),\left\| \cdot \right\|_{1}\right)$ в $\left(\mathcal{C}([0,1]),\left\| \cdot \right\|_{\infty }\right)$ неограничено. Такое явление не может произойти в банаховом пространстве; см. упражнение 6.3.2.

Зафиксируем непрерывную функцию $\phi :[0,1] \rightarrow [0,1]$ и определим оператор композиции $C_{\phi }: C([0,1]) \rightarrow C([0,1])$ формулой $C_{\phi } f(x)=f(\phi (x))$. Докажите, что $C_{\phi }$ — ограниченный линейный оператор с $\left\| C_{\phi }\right\| \leq 1$.

Для $\left\{ a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } \in \ell^{\infty }$ определим

Покажите, что $T$ — ограниченный линейный оператор из $\ell^{1}$ в $\mathbb {C}$, и вычислите $\left\| T\right\|$.

Рассмотрим матрицу $n \times n$ $A=\left(a_{i j}\right)$, удовлетворяющую $a_{i j}=\overline{a_{j i}}$ для всех пар индексов $i$ и $j$. Такая матрица называется эрмитовой. Будем рассматривать $A$ как линейный оператор $\mathbb {C}^{n} \rightarrow \mathbb {C}^{n}$. Предположим, что $\mathbb {C}^{n}$ наделено обычной нормой. Докажите, что $\left\| A\right\| =\max_{k}\left\| \lambda_{k}\right\|$, где $\lambda_{k}$ — собственные значения $A$.

Рассмотрим

как линейный оператор из $\mathbb {C}^{2}$ в себя. Цель этого упражнения — показать, что операторная норма $A$ зависит от выбора нормы на $\mathbb {C}^{2}$.

Пусть $C^{1}([0,1])$ обозначает совокупность всех непрерывных функций с непрерывной производной (включая односторонние производные на концах промежутка).