Банк задач по математике

Задача 5.3.1

(a)(b)

Предположим, что $X$ — нормированное линейное пространство и $S, T \in \mathcal{B}(X)$ .

?

(a)

Докажите, что

\left\| S T\right\| \leq \left\| S\right\| \cdot \left\| T\right\|

(b)

Докажите, что $S T \in \mathcal{B}(X)$ .

Задача 5.3.2

Предположим, что $X$ и $Y$ — нормированные линейные пространства. Пусть $K$ — компактный оператор из $\mathcal{B}(X, Y)$ . Используя теорему 2.4, докажите, что $K(B)$ имеет компактное замыкание для каждого замкнутого шара $B$ в $X$ .

?

Задача 5.3.3

Ситуация, обнаруженная в упражнении 5.1.3, отчасти поправима. Пусть $X$ — банахово пространство и $T \in \mathcal{B}(X)$ . Предположим, что существуют $U, V \in \mathcal{B}(X)$ , удовлетворяющие

U T=I=TV.

Докажите, что $U=V$ . Другими словами, если $T \in \mathcal{B}(X)$ обратим и слева, и справа, то его левый и правый обратные должны совпадать.

?

Задача 5.3.4

В нормированной алгебре с единицей $e$ докажите, что $\left\| e\right\| \geq 1$ .

?

Задача 5.3.5

В нормированной алгебре докажите, что $\left\| a^{k}\right\| \leq \left\| a\right\|^{k}$ для каждого элемента $a$ алгебры и каждого положительного целого $k$ .

?

Задача 5.3.6

Докажите, что $C([0,1])$ с супремум-нормой является банаховой алгеброй с единицей.

?

Задача 5.3.7

Предположим, что $X$ — банахово пространство. В теореме 5.6 мы видели, что любой оператор $S \in \mathcal{B}(X)$ , достаточно близкий к обратимому оператору $T$ , также обратим. Зная, что $\left\| S-T\right\| <\left\| T^{-1}\right\|^{-1}$ , докажите, что $S^{-1}$ удовлетворяет

\left\| S^{-1}\right\| \leq \frac{\left\| T^{-1}\right\| }{1-\left\| T^{-1}\right\| \cdot \left\| S-T\right\| }

?

Задача 5.3.8

(a)(b)(c)

Предположим, что $X$ — банахово пространство. Предположим, что $S, T \in \mathcal{B}(X)$ и $\lambda \in \mathbb {C} \backslash \sigma (S T), \lambda \neq 0$ .

?

(a)

Проверьте, что

(\lambda I-T S) U=I=U(\lambda I-T S)

где

U=\frac{1}{\lambda } I+\frac{1}{\lambda } T(\lambda I-S T)^{-1} S

(b)

Выведите, что $\sigma (S T) \cup \left\{ 0\right\} =\sigma (T S) \cup \left\{ 0\right\}$ .

(c)

Используя сдвиги $T$ и $S$ , определённые в примере 2 раздела 1, покажите, что равенство $\sigma (S T)=\sigma (T S)$ не обязано выполняться.

Задача 5.3.9

Рассмотрим оператор на $L^{2}((0,1))$ , определённый формулой

T f(s)=\int _{0}^{s}(s- t) f(t) d t

Докажите, что $I-T$ является обратимым оператором.

?

Задача 5.3.10

Пусть $\ell^{1}(\mathbb {Z})$ обозначает совокупность всех (двусторонних) последовательностей $\left\{ a_{i}\right\}_{i=-\infty }^{\infty }$ комплексных чисел, таких что $\sum_{i=-\infty }^{\infty }\left|a_{i}\right|<\infty$ . Это пространство очень похоже на $\ell^{1}=\ell^{1}(\mathbb {N})$ . С нормой $a=\left\{ a_{i}\right\}_{i=-\infty }^{\infty }$ , заданной формулой

\left\| a\right\| =\sum _{i=-\infty }^{\infty }\left|a_{i}\right|

$\ell^{1}(\mathbb {Z})$ становится банаховым пространством. Цель этого упражнения — увидеть, что можно определить умножение, превращающее $\ell^{1}(\mathbb {Z})$ в банахову алгебру. Для $a=\left\{ a_{i}\right\}_{i=-\infty }^{\infty }$ и $b=\left\{ b_{i}\right\}_{i=-\infty }^{\infty }$ из $\ell^{1}(\mathbb {Z})$ определим произведение $a * b$ формулой

(a * b)_{i}=\sum _{j=-\infty }^{\infty } a_{i-j} b_{j}

Это умножение называется свёрткой. Покажите, что $\ell^{1}(\mathbb {Z})$ является банаховой алгеброй.

?

Задача 5.3.11

Докажите, что всякий компактный оператор является ограниченным оператором.

?

Задача 5.3.12

(a)(b)(c)(d)

Рассмотрим оператор Вольтерры, определённый на $L^{2}([0,1])$ формулой

T f(s)=\int _{0}^{s} k(s, t) f(t) d t

где $\left|k(s, t)\right| \leq C$ для некоторой константы $C$ и всех $s$ и $t$ из $[0,1]$ .

?

(a)

Докажите, что $T f \in L^{2}([0,1])$ , если $f \in L^{2}([0,1])$ .

(b)

Докажите, что $T \in \mathcal{B}\left(L^{2}([0,1])\right)$ . То есть докажите, что $T$ ограничен.

(c)

Докажите, что $T$ квазинильпотентен. (Как выясняется, $T$ квазинильпотентен, даже если отказаться от предположения $\left|k(s, t)\right| \leq C$ . Однако доказательство существенно сложнее. См. доказательство на страницах 98-99 источника [58].)

(d)

Теперь пусть $k(s, t)=1$ для всех $s$ и $t$ . Покажите, что $T$ компактен.

Задача 5.3.13

(a)(b)(c)

В этом упражнении вам предлагается восполнить детали примера 4.

?

(a)

Покажите, что $M_{\phi } \in \mathcal{B}\left(L^{2}([0,1]), \mathbb {R}\right)$ и что $\left\| M_{\phi }\right\| =\left\| \phi \right\|_{\infty }$ .

(b)

Покажите, что если $\lambda \notin f([0,1])$ , то (как вам предлагается показать в том же упражнении) оператор умножения $M_{(\lambda -\phi )^{-1}}$ является ограниченным оператором и обратен к $\lambda I-M_{\phi }$ .

(c)

Теперь мы установили, что $\sigma \left(M_{\phi }\right)=f([0,1])$ . Иногда это множество содержит собственные значения, иногда нет. Приведите примеры, показывающие это. То есть постройте функции $\phi$ и $\psi$ , такие что $\sigma \left(M_{\phi }\right)$ содержит хотя бы одно собственное значение, а $\sigma \left(M_{\psi }\right)$ не содержит собственных значений вовсе.

Задача 5.3.14

(a)(b)

Пусть $W$ — взвешенный сдвиг из примера 6.

?

(a)

Покажите, что $W$ не имеет собственных значений.

(b)

Используя индукцию, покажите, что $\left\| W^{n}\right\| \leq \frac{1}{n !}, n=1,2, \ldots$ .

Задача 5.3.15

(a)(b)

Пусть $X$ — бесконечномерное банахово пространство. (Пункты (a) и (b) связаны лишь тем, что оба посвящены компактным операторам.)

?

(a)

Приведите пример компактного оператора $T$ , такого что $T^{2}=0$ .

(b)

Докажите, что если существует положительное целое $n$ , такое что $T^{n}=I$ , то $T$ не может быть компактным.

Задача 5.3.16

Предположим, что $X$ — банахово пространство. Докажите, что совокупность всех компактных операторов образует замкнутый двусторонний идеал в банаховой алгебре $\mathcal{B}(X)$ . Замечание: вам может быть известно, что такое «идеал», из курса абстрактной алгебры; если нет, определение приводится в следующей главе.

?

Задача 5.3.17

Изучите теорию функций комплексного переменного в объёме, достаточном для доказательства результатов этого раздела.

?

Задача 5.3.18

Найдите хороший источник (например, [21] или [124]) и разберите доказательство теоремы 5.11, описывающей спектр компактного оператора.

?

Банаховы алгебры и спектры; компактные операторы