Банк задач по математике

Задача 5.4.1

Проверьте, что эрмитовы матрицы (в смысле определения из упражнения 5.2.5) — это в точности эрмитовы операторы на конечномерном гильбертовом пространстве $\mathbb {C}^{n}$ .

?

Задача 5.4.2

Опишите интегральные операторы Фредгольма первого рода, являющиеся эрмитовыми.

?

Задача 5.4.3

(a)(b)

Пусть $K$ — подпространство гильбертова пространства $H$ .

?

(a)

Докажите, что $\left(K^{\perp }\right)^{\perp }=K$ , если $K$ — замкнутое подпространство.

(b)

Приведите пример, показывающий, что равенство из пункта (a) не обязано выполняться, если $K$ не замкнуто.

Задача 5.4.4

Завершите доказательство теоремы 5.15, проверив утверждение о единственности.

?

Задача 5.4.5

Докажите теорему 5.17.

?

Задача 5.4.6

Из теоремы 5.18 следует, что любое собственное значение эрмитова оператора вещественно. Дайте более прямое доказательство этого факта.

?

Задача 5.4.7

(a)(b)

Пусть $T$ — оператор Вольтерры на $L^{2}([0,1])$ , определённый формулой

T f(s)=\int _{0}^{s} f(t) d t

Для $0 \leq \alpha \leq 1$ положим

M_{\alpha }=\left\{ f \in L^{2}([0,1]) \mid f(t)=0,0 \leq t \leq \alpha \right\} .

?

(a)

Докажите, что каждое $M_{\alpha }$ является инвариантным подпространством для $T$ .

(b)

Опишите ортогональное дополнение $M_{\alpha }$ в $L^{2}([0,1])$ .

Введение в проблему инвариантного подпространства