6.1

Классическая теорема Вейерштрасса об аппроксимации и обобщённая теорема Стоуна–Вейерштрасса

[8/75%]
Показать
LaTeX
Задача 6.1.1

Опишите многочлены Бернштейна для двух функций f(x)=xf(x)=x и g(x)=x2g(x)=x^{2} на [0,1][0,1].

?
Задача 6.1.2

Докажите, что (1+x)n≥1+nx(1+x)^{n} \geq 1+n x для всех x≥−1x \geq -1 и каждого положительного целого nn.

?
Задача 6.1.3
?
(a)

Завершите доказательство первой леммы, использованной при доказательстве теоремы Стоуна--Вейерштрасса, показав, что описанная функция gg удовлетворяет условиям (i)-(iii).

(b)

Завершите доказательство второй леммы, использованной в той же теореме.

Задача 6.1.4

В теореме Вейерштрасса об аппроксимации принципиально важно, что промежуток компактен, — это обстоятельство рассматривается в обобщении Стоуна. Одно из наших любимых некомпактных подмножеств R\mathbb {R} — это сам R\mathbb {R}. Покажите, что равномерная полиномиальная аппроксимация на R\mathbb {R} гарантирована не всегда. Вот два подхода:

?
(a)

придумайте функцию из C(R)C(\mathbb {R}), которую нельзя равномерно приблизить многочленами.

(b)

покажите, что равномерный предел многочленов R→R\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} также является многочленом.

Задача 6.1.5

Выведите теорему Вейерштрасса об аппроксимации из теоремы Стоуна--Вейерштрасса (тем самым показав, что первая действительно является частным случаем второй).

?
Задача 6.1.6

Рассмотрим совокупность Pe\mathcal{P}_{e} всех чётных многочленов.

?
(a)

Используя теорему Стоуна--Вейерштрасса, покажите, что Pe\mathcal{P}_{e} плотно в C([0,1])C([0,1]).

(b)

Объясните, почему теорему Стоуна--Вейерштрасса нельзя использовать, чтобы показать, что Pe\mathcal{P}_{e} плотно в C([−1,1])C([-1,1]).

(c)

Остаётся следующий вопрос: плотно ли Pe\mathcal{P}_{e} в C([−1,1])C([-1,1])? Ответьте на этот вопрос и докажите своё утверждение.

Задача 6.1.7

Пусть \vectA\vect {A} таково, как в условиях теоремы Бишопа.

?
(a)

Докажите, что функции вида f+fˉf+\bar{f}, где f∈Af \in A, вещественнозначны и разделяют точки XX.

(b)

Выведите, что Aˉ\bar{A}-симметричное подмножество XX должно быть одноточечным.

Задача 6.1.8

Найдите (в другой книге) ещё одно доказательство теоремы Вейерштрасса об аппроксимации. Изложите это доказательство своими словами. Например, если вы прочитали последний раздел главы, вы можете поискать доказательство, использующее преобразование Фурье.

?