Теорема Бэра о категориях с приложением к вещественному анализу

Покажите, что $X$ нигде не плотно в $M$ тогда и только тогда, когда его замыкание имеет пустую внутренность, $(\bar{X})^{\circ }=\emptyset$.

Покажите, что любое конечное подмножество $\mathbb {R}$ нигде не плотно в $\mathbb {R}$. Приведите примеры, показывающие, что счётное множество может быть нигде не плотным в $\mathbb {R}$, но что так бывает не всегда.

Пусть $f(x)=\sin \left(\frac{1}{x}\right)$ при $x \neq 0$ и $f(0)=0$. Вычислите $\omega_{f}(0)$. Как это согласуется с тем, что вам известно о непрерывности этой функции?

Множества первой категории в некотором смысле «малы», тогда как множества второй категории «велики». Ещё одно обсуждавшееся нами понятие размера множества — «множество меры нуль»: «малые» множества имеют меру нуль, тогда как «большие» — нет. Существует ли связь между этими двумя способами описания размера множества? Ответ: нет. Покажите это, сделав следующее:

Докажите, что функция, определённая на $(0,1)$ формулой

непрерывна в каждой иррациональной точке $(0,1)$ и разрывна в каждой рациональной точке $(0,1)$.

Цель этого упражнения — показать, что «большинство» непрерывных функций нигде не дифференцируемы. Пусть $E_{n}$ обозначает множество всех $f \in C([0,1])$, для которых существует $x_{f} \in [0,1]$, удовлетворяющее

для каждого $x \in [0,1]$.