Сжимающие отображения

Покажите, что метод последовательных приближений, применённый к дифференциальному уравнению $f^{\prime }=f$ с $f(0)=1$, даёт обычную формулу для $e^{x}$.

Для каждого из следующих множеств приведите пример непрерывного отображения множества в себя, не имеющего неподвижной точки:

Приведите пример отображения $[0,1]$ в себя, которое не является непрерывным и не имеет неподвижных точек.

Рассмотрим функцию $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, заданную формулой

Покажите, что $\left|f(x)-f(y)\right|<\left|x-y\right|$ для всех $x$ и $y$, и тем не менее $f$ не имеет неподвижной точки. Противоречит ли это принципу сжимающих отображений? Объясните.