Общие сведения о билинейных и полуторалинейных функциях

Привести пример невырожденной билинейной функции, ограничение которой на некоторое ненулевое подпространство равно нулю.

Показать, что вектор $x$ тогда и только тогда принадлежит левому (соответственно, правому) ядру билинейной функции, когда $B^{\top } X = 0$ (соответственно $B X = 0$), где $B$ — матрица функции, а $X$ столбец координат $x^{1}, \ldots , x^{n}$, при этом размерности правого и левого ядер совпадают.

Найти левое $L$ и правое $R$ ядра билинейной функции

в $\mathbb {R}^{2}$ и убедиться, что $L \neq R$.

Пусть $\varphi$ — невырожденная билинейная (соответственно, полуторалинейная) функция, $l$ — линейная (соответственно, полулинейная) функция. Показать, что существует такой вектор $b$, что для всех векторов $a$ имеет место равенство $l(a) = \varphi (a, b)$.

Пусть в линейном пространстве $V$ дана билинейная (полуторалинейная) функция $\varphi$ с матрицей $B$ в некотором базисе. Показать, что для любого оператора А в пространстве $V$ функция $\varphi_{\mathrm{A}}(a, b) = \varphi (a, \mathrm{~ A} b)$ билинейна (соответственно, полуторалинейна) и имеет в том же базисе матрицу $B A$, где $A$ — матрица оператора А. Показать, что сопоставление $\mathrm{A} \mapsto \varphi_{\mathrm{A}}$ задает линейное отображение пространства операторов в пространство билинейных (соответственно, полуторалинейных) функций, и это отображение является изоморфизмом тогда и только тогда, когда функция $\varphi$ невырожденна.

Доказать, что для любой ненулевой полуторалинейной функции $\varphi$ существует такой вектор $a$, что $\varphi (a, a) \neq 0$.

Пусть $\varphi$ — невырожденная полуторалинейная функция. Доказать, что если для оператора А имеет место тождество $\varphi (v, \mathbf{A} v) = 0$ для любого вектора $v$, то $\mathbf{A} = 0$. Показать, что это утверждение перестает быть верным, если вместо полуторалинейной рассматривать билинейную функцию.

Пусть на линейном пространстве $V$ задана невырожденная билинейная (или полуторалинейная) функция. Пусть $W \subset V$ — подпространство, на котором данная функция тождественно обращается в нуль. Доказать, что $\operatorname {dim} W \leqslant \frac{1}{2} \operatorname {dim} V$.