12.3

Приведение к каноническому виду

[11/73%]
Показать
LaTeX
Задача 1257

Для квадратичных функций ff и gg выяснить, существует ли линейное преобразование, переводящее функцию ff в функцию gg :

?
(1)

f=2x12+9x22+3x32+8x1x2−4x1x3−10x2x3f = 2 x_{1}^{2}+9 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+8 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}-10 x_{2} x_{3},

g=5y12+6y22+12y1y2 g = 5 y_{1}^{2}+6 y_{2}^{2}+12 y_{1} y_{2}
(2)

f=2x12+3x22+6x32−4x1x2−4x1x3+8x2x3f = 2 x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+6 x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}+8 x_{2} x_{3},

g=4y12+y22+9y32−12y1y3 g = 4 y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+9 y_{3}^{2}-12 y_{1} y_{3}
(3)

f=x12+5x22+11x32+6x42+4x1x2−2x1x3+2x2x3−14x3x4f = x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+11 x_{3}^{2}+6 x_{4}^{2}+4 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}-14 x_{3} x_{4}, g=−y12−3y22+9y32+6y44−4y1y2+2y1y3+10y2y3−4y2y4−−14y3y4g = -y_{1}^{2}-3 y_{2}^{2}+9 y_{3}^{2}+6 y_{4}^{4}-4 y_{1} y_{2}+2 y_{1} y_{3}+10 y_{2} y_{3}-4 y_{2} y_{4}- -14 y_{3} y_{4}.

Задача 1258

Методом Лагранжа привести квадратичную функцию к нормальному виду, найти матрицу соответствующего линейного преобразования:

?
(1)

x12+2x1x2+2x22+4x2x3+5x32x_{1}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{2}^{2}+4 x_{2} x_{3}+5 x_{3}^{2}

(2)

x1x2+x2x3+x3x1x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+x_{3} x_{1}

(3)

4x12+x22+x32−4x1x2+4x1x3−3x2x34 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}-3 x_{2} x_{3}

(4)

x1x2−2x1x3+6x2x3x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}+6 x_{2} x_{3}

(5)

4x22+x32+3x1x3−4x2x34 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+3 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3}

(6)

x12+2x22+x42+4x1x2+4x1x3+2x1x4+4x2x3+4x2x4x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+x_{4}^{2}+4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+2 x_{1} x_{4}+4 x_{2} x_{3}+4 x_{2} x_{4};

(7)

x12+5x22+9x32+5x42−4x1x2+2x1x3+2x1x4+2x2x3−8x3x4x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+9 x_{3}^{2}+5 x_{4}^{2}-4 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 x_{1} x_{4}+2 x_{2} x_{3}-8 x_{3} x_{4}.

Задача 1259

Показать, что симметрическая билинейная функция на двумерном линейном пространстве над полем характеристики 2, заданная матрицей (0110)\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right), не приводится к диагональному виду.

?
Задача 1260

Пусть φ(x,y)\varphi (x, y) — ненулевая кососимметрическая билинейная функция в nn-мерном линейном пространстве. Доказать, что существует базис, в котором φ(x,y)\varphi (x, y) имеет канонический вид:

φ(x,y)=x1y2−x2y1+x3y4−x4y3+……+x2k−1y2k−x2ky2k−1,1⩽k⩽n/2 \begin{aligned} \varphi (x, y) = x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}+x_{3} y_{4}-x_{4} y_{3}+\ldots \\ \ldots +x_{2 k-1} y_{2 k}-x_{2 k} y_{2 k-1}, \quad 1 \leqslant k \leqslant n / 2 \end{aligned}
?
Задача 1261

Привести кососимметрическую билинейную функцию к каноническому виду (с нахождением преобразования):

?
(1)

x1y2+2x1y3−x2y1−2y1x3+x2y3−x3y2x_{1} y_{2}+2 x_{1} y_{3}-x_{2} y_{1}-2 y_{1} x_{3}+x_{2} y_{3}-x_{3} y_{2}

(2)

x1y2−x2y1+2x1y3−2x3y1−x1y4+x4y1+4x2y4−4x4y2+x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}+2 x_{1} y_{3}-2 x_{3} y_{1}-x_{1} y_{4}+x_{4} y_{1}+4 x_{2} y_{4}-4 x_{4} y_{2}+

+x3y4−x4y3 +x_{3} y_{4}-x_{4} y_{3}
(3)

x1y2−x2y1+3x1y3−3x3y1−2x1y4+2x4y1−7x2y3+7x3y2+x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}+3 x_{1} y_{3}-3 x_{3} y_{1}-2 x_{1} y_{4}+2 x_{4} y_{1}-7 x_{2} y_{3}+7 x_{3} y_{2}+

+3x2y4−3x4y2−4x3y4+4x4y3 +3 x_{2} y_{4}-3 x_{4} y_{2}-4 x_{3} y_{4}+4 x_{4} y_{3}
(4)

2x1y2+x1y3+3x1y4−2x2y1−2x2y4−x3y1+x3y4−3x4y1+2 x_{1} y_{2}+x_{1} y_{3}+3 x_{1} y_{4}-2 x_{2} y_{1}-2 x_{2} y_{4}-x_{3} y_{1}+x_{3} y_{4}-3 x_{4} y_{1}+

+2x4y2−x4y3 +2 x_{4} y_{2}-x_{4} y_{3}
(5)

−2x1y2+x1y4+2x2y1+3x2y3+2x2y4−3x3y2−x3y4−x4y1−-2 x_{1} y_{2}+x_{1} y_{4}+2 x_{2} y_{1}+3 x_{2} y_{3}+2 x_{2} y_{4}-3 x_{3} y_{2}-x_{3} y_{4}-x_{4} y_{1}-

−2x4y2+x4y3 -2 x_{4} y_{2}+x_{4} y_{3}
Задача 1262

Следующие квадратичные функции привести к диагональному виду и найти выражение новых координат через старые:

?
(1)

∑i,j=1naiajxixj\sum_{i, j = 1}^{n} a_{i} a_{j} x_{i} x_{j}, где не все числа a1,…,ana_{1}, \ldots , a_{n} равны нулю;

(2)

∑i=1nxi2+∑i<jnxixj\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}+\sum_{i < j}^{n} x_{i} x_{j}

(3)

∑i<jnxixj\sum_{i < j}^{n} x_{i} x_{j};

(4)

∑i=1n−1xixi+1\sum_{i = 1}^{n-1} x_{i} x_{i+1};

(5)

∑i=1n(xi−s)2\sum_{i = 1}^{n}\left(x_{i}-s\right)^{2}, где s=x1+…+xnns = \frac{x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}.

Задача 1263

Пусть дана квадратичная функция вида

φ=l12+l22+…+lp2−lp+12−lp+22−…−lp+q2 \varphi = l_{1}^{2}+l_{2}^{2}+\ldots +l_{p}^{2}-l_{p+1}^{2}-l_{p+2}^{2}-\ldots -l_{p+q}^{2}

где li,i=1,…,p+ql_{i}, i = 1, \ldots , p+q, — вещественные линейные функции от x1,…,xnx_{1}, \ldots , x_{n}. Доказать, что положительный индекс инерции функции φ\varphi не превосходит pp, а отрицательный индекс инерции не превосходит qq.

?
Задача 1264

В пространстве R1[x]\mathbb {R}_{1}[x] многочленов степени не выше 1 дана квадратичная функция

φ(P)=∫0aP2(x)(x−1)dx \varphi (P) = \int _{0}^{a} P^{2}(x)(x-1) d x

где a>0a > 0. Найти положительный pp и отрицательный qq индексы инерции этой квадратичной функции в зависимости от aa.

?
Задача 1265

Найти все значения параметра α\alpha, при которых данная квадратичная форма положительно определена:

?
(1)

5x12+x22+αx32+4x1x2−2x1x3−2x2x35 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\alpha x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3};

(2)

2x12+x22+3x32+2αx1x2+2x1x32 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+2 \alpha x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}.

Задача 1266

Привести эрмитову полуторалинейную функцию к нормальному виду (с нахождением преобразования):

?
(1)

ixˉ1x2−ixˉ2x1i \bar{x}_{1} x_{2}-i \bar{x}_{2} x_{1}

(2)

xˉ1x1+9xˉ2x2+9xˉ3x3+3ixˉ1x2−3ixˉ2x1−3xˉ1x3−3xˉ3x1+\bar{x}_{1} x_{1}+9 \bar{x}_{2} x_{2}+9 \bar{x}_{3} x_{3}+3 i \bar{x}_{1} x_{2}-3 i \bar{x}_{2} x_{1}-3 \bar{x}_{1} x_{3}-3 \bar{x}_{3} x_{1}+

+7ixˉ2x3−7ixˉ3x2 +7 i \bar{x}_{2} x_{3}-7 i \bar{x}_{3} x_{2}
Задача 1267

Привести косоэрмитову полуторалинейную функцию к нормальному виду (с нахождением преобразования):

?
(1)

xˉ1x2−xˉ2x1\bar{x}_{1} x_{2}-\bar{x}_{2} x_{1}

(2)

ixˉ1x1+9ixˉ2x2+9ixˉ3x3−3xˉ1x2+3xˉ2x1−3ixˉ1x3−3ixˉ3x1−i \bar{x}_{1} x_{1}+9 i \bar{x}_{2} x_{2}+9 i \bar{x}_{3} x_{3}-3 \bar{x}_{1} x_{2}+3 \bar{x}_{2} x_{1}-3 i \bar{x}_{1} x_{3}-3 i \bar{x}_{3} x_{1}-

−7xˉ2x3+7xˉ3x2 -7 \bar{x}_{2} x_{3}+7 \bar{x}_{3} x_{2}