Тензорные произведения пространств

Проверить, что $V \otimes W$ является линейным пространством.

Пусть $\mathbb {k}[x]$ — пространство всех многочленов от переменной $x$ с коэффициентами в поле $\mathbb {k}$, a $\mathbb {k}[x, y]$ — пространство многочленов от $x$ и $y$. Доказать, что соответствие $f \otimes g \mapsto f g$ задает линейный изоморфизм $\mathbb {k}[x] \otimes \mathbb {k}[y] \rightarrow \mathbb {k}[x, y]$.

Пусть $\mathbb {k}_{n}[x]$ — пространство всех многочленов степени не выше $n$ от переменной $x$ с коэффициентами в поле $\mathbb {k}$, а $\mathbb {k}_{n, m}[x, y]$ пространство многочленов от $x$ и $y$, степени не выше $n$ по $x$ и не выше $m$ по $y$. Доказать, что соответствие $f \otimes g \mapsto f g$ задает линейный изоморфизм $\mathbb {k}_{n}[x] \otimes \mathbb {k}_{m}[y] \rightarrow \mathbb {k}_{n, m}[x, y]$.

Доказать ассоциативность и коммутативность (с точностью до естественных изоморфизмов) операции тензорного произведения пространств.

Установить естественный изоморфизм

Рассмотрим $F \in \mathbf{P}_{q+q^{\prime }}^{p+p^{\prime }}$. Доказать, что отображение

определяет линейное отображение $\widetilde{F}: \mathbf{P}_{p}^{q} \rightarrow \mathbf{P}_{q^{\prime }}^{p^{\prime }}$.

Пусть $\operatorname {dim} V = n, \operatorname {dim} W = m$, а $e_{1}, \ldots , e_{n}$ и $f_{1}, \ldots , f_{m}$ — некоторые базисы пространств $V$ и $W$. Доказать, что $\operatorname {dim}(V \otimes W) = n \cdot m$, а в качестве базиса можно выбрать $e_{i} \otimes f_{j}, i = 1, \ldots , n, j = 1, \ldots , m$.

Пусть имеются разложения пространств в прямые суммы: $V = \bigoplus_{i} V_{i}, W = \bigoplus_{j} W_{j}$. Доказать, что $V \otimes W \cong \bigoplus_{i, j} V_{i} \otimes W_{j}$ (после естественного отождествления).

В частном случае изоморфизм тензорного произведения и пространства тензоров (см. задачу 1706) превращается в канонический изоморфизм $\tau : V^{*} \otimes V \rightarrow \mathscr {L}(V)$, где $\mathscr {L}(V)$ — пространство линейных операторов. Вычислить (предварительно обосновав независимость от размерности):

В обозначениях предыдущей задачи найти при $\operatorname {dim} V = 4$

где о обозначает композицию отображений.

Пусть $V = \mathbb {R}_{n}[x]$ — пространство всех многочленов степени не выше $n$ от переменной $x$ с вещественными коэффициентами, а функция $l: V \rightarrow \mathbb {R}$, заданная формулой

определяет ковектор. Рассмотрим также многочлены $r = 1-x+x^{2}$ и $q = 1+x+x^{2}+\ldots +x^{n}$. Найти $\tau (l \otimes r)(q)$.

Показать, что $f \otimes g$, определенное в теоретической части, корректно заданное линейное отображение.

Будем обозначать $V^{\otimes p} = \underbrace{V \otimes \ldots \otimes V}_{p}$ и $f^{\otimes p} = \underbrace{f \otimes \ldots \otimes f}_{p}$, где $f$-линейное отображение. Доказать, что $\operatorname {rank}\left(f^{\otimes p}\right) = (\operatorname {rank}(f))^{p}$. В частности, тензорная степень обратимого оператора обратима.

Для операторов в пространстве $V$ доказать формулы:

Доказать, что $\operatorname {tr}\left(f^{\otimes p}\right) = (\operatorname {tr}(f))^{p}$, где $f$-линейный оператор.

Пусть $e_{1}, \ldots , e_{p}$ - (не обязательно различные) собственные векторы оператора $f: V \rightarrow V$, отвечающие собственным значениям $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{p}$ соответственно. Доказать, что $e_{1} \otimes \ldots \otimes e_{p}$ является собственным вектором оператора $f^{\otimes p}$, отвечающим собственному значению $\lambda_{1} \cdot \ldots \cdot \lambda_{p}$.

Пусть линейный оператор $f: V \rightarrow V$ приводится к диагональному виду. Доказать, что в этом случае $f^{\otimes p}$ также диагонализируем. Верно ли обратное утверждение?

Пусть $\lambda_{k}(k = 1, \ldots , n)$ — все собственные значения оператоpa $f: V \rightarrow V$, взятые с учетом кратностей, $\operatorname {dim} V = n$. Доказать, что набор всех собственных значений оператора $f^{\otimes p}$ с учетом кратностей состоит из всевозможных произведений

Доказать, что $\operatorname {det}\left(f^{\otimes p}\right) = (\operatorname {det} f)^{p p^{p-1}}$, где $f$-оператор в $V$, $\operatorname {dim} V = n$.

Пусть линейные операторы $f: V \rightarrow V$ и $g: W \rightarrow W$ имеют соответствующие разложения на инвариантные подпространства $V = \bigoplus_{i} V_{i}, W = \bigoplus_{j} W_{j}$. Доказать, что $V \otimes W = \bigoplus_{i, j} V_{i} \otimes W_{j}$ — разложение на инвариантные подпространства для $f \otimes g$.

Пусть $\frac{d}{d x}$ и $\frac{d}{d y}$ — операторы дифференцирования в пространствах многочленов $\mathbb {R}_{n}[x]$ и $\mathbb {R}_{m}[y]$ соответственно. Выяснить аналитический смысл оператора $\frac{d}{d x} \otimes \frac{d}{d y}$ и найти его жорданову форму.

Найти жорданову форму тензорного произведения двух операторов, имеющих следующие жордановы формы: