Симметрические и кососимметрические тензоры

Проверить, что операторы Sym и Alt в пространстве $\mathbf{T}_{0}^{p}$ обладают следующими свойствами (где о обозначает композицию отображений):

Показать, что $\vect {S}(V)$ с операцией — и $\Lambda (V)$ с операцией $\wedge$ являются ассоциативными алгебрами. При этом:

Пусть $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — базис пространства $V$. Доказать, что тензоры

образуют базис пространства $\vect {S}^{p}(V)$. Вычислить его размерность.

Пусть $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — базис пространства $V$. Доказать, что тензоры

образуют базис в $\Lambda^{p}(V)$. Вычислить его размерность и размерность пространства $\Lambda (V)$. Провести аналогичные рассуждения для $\Omega_{q}(V)$.

Доказать, что линейная оболочка множества

равна $\mathbf{S}^{k}(V)$ (поле $\mathbb {k}$ характеристики 0).

Доказать, что естественные вложения

индуцируют изоморфизмы

Пусть $\operatorname {dim} V > 2$. Показать, что пространства $\Lambda^{2}\left(\Lambda^{2}(V)\right)$ и $\Lambda^{4}(V)$ не изоморфны.

Показать, что внешнее произведение $a_{1} \wedge a_{2} \wedge \ldots \wedge a_{p}$ векторов $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{p}$ равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы линейно зависимы.

Пусть $T$ — кососимметрический ковариантный тензор валентности $n$ в пространстве $V$, причем $n = \operatorname {dim} V$. Показать, что все его компоненты с точностью до знака совпадают с $T_{12 \ldots n}$ (говорят, что тензор $T$ имеет единственную существенную компоненту). Доказать, что эта компонента преобразуется по правилу

где $\operatorname {det} C$ — определитель матрицы перехода к новому базису. Аналогично, в контравариантном случае доказать формулу $\left(T^{\prime }\right)^{12 \ldots n} = (\operatorname {det} C)^{-1} \cdot T^{12 \ldots n}$.

Пусть $a_{1}, \ldots , a_{p}$ и $b_{1}, \ldots , b_{p}$ — два набора линейно независимых векторов. Доказать, что $a_{1} \wedge \ldots \wedge a_{p} = \lambda \cdot b_{1} \wedge \ldots \wedge b_{p}$ тогда и только тогда, когда линейные оболочки двух наборов векторов совпадают. При этом $\lambda$ равно определителю матрицы перехода от второй системы векторов к первой.

Показать, что линейная оболочка системы линейно независимых векторов $a_{1}, \ldots , a_{k}$ совпадает с множеством тех векторов $a$, для которых $T \wedge a = 0$, где $T = a_{1} \wedge \ldots \wedge a_{k}$.

Пусть $T \in \Lambda^{p}(V)$; определим

Доказать, что $T$ представим в виде $\widetilde{T} \wedge S$, где $S = a_{1} \wedge \ldots \wedge a_{k} \neq 0$, тогда и только тогда, когда $a_{i} \in \operatorname {Ann}(T)$ для $i = 1, \ldots , k$.

Доказать, что соответствие $T \mapsto \operatorname {Ann}(T)$ осуществляет биекцию множества ненулевых разложимых $p$-векторов в $V$ (рассматриваемых с точностью до умножения на скаляр) на множество $p$-мерных подпространств пространства $V$.

Показать, что для $T \in \Lambda^{p}(V)$ размерность пространства $\operatorname {Ann}(T)$ не превосходит $p$, причем равенство имеет место в точности тогда, когда $T$ есть внешнее произведение линейно независимых векторов.

Дан кососимметрический тензор $T \in \Lambda^{n-1}(V)$, где $\operatorname {dim} V = n$. Доказать, что найдутся такие векторы $a_{1}, \ldots , a_{n-1}$, что $T = a_{1} \wedge \ldots \wedge a_{n-1}$ (т.е. $(n-1)$-вектор $T$ разложим). Аналогично, для $S \in \Omega_{n-1}(V)$ найдутся такие ковекторы $\xi^{1}, \ldots , \xi^{n-1}$, что $S = \xi^{1} \wedge \ldots \wedge \xi^{n-1}$.

Доказать, что бивектор $T$ представим в виде $a \wedge b$ для некоторых векторов $a$ и $b$ тогда и только тогда, когда $T \wedge T = 0$.

Пусть $\varphi$ — невырожденная билинейная функция на $V$. Доказать, что на пространстве $\Lambda^{2}(V)$ можно определить такую невырожденную билинейную форму $\Phi$, что для любых элементов $v_{i} \in V$, $i = 1, \ldots , 4$, выполняется

Пусть $f: V \rightarrow V$-линейный оператор. Показать, что оператор $f^{\otimes p}$ (тензорная степень) коммутирует с оператором Alt, тем самым определено линейное отображение $f^{\wedge p}: \Lambda^{p}(V) \rightarrow \Lambda^{p}(V)$.

Пусть $\operatorname {dim} V = n, f: V \rightarrow V$ — линейный оператор. Доказать, что оператор $f^{\wedge (n-1)}$ либо равен 0, либо невырожден, либо имеет ранг 1.

Пусть $f: V \rightarrow V$ — линейный оператор, $\operatorname {dim} V = n$. Поскольку $\operatorname {dim} \Lambda^{n}(V) = 1$, оператор $f^{\wedge n}$ является умножением на скаляр. Доказать, что этот скаляр равен $\operatorname {det} f$.

Доказать формулы (о- композиция):

Пусть $e_{1}, \ldots , e_{p}$ — линейно независимые собственные векторы оператора $f: V \rightarrow V$, отвечающие соответственно собственным значениям $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{p}$ (не обязательно различным). Доказать, что $e_{1} \wedge \ldots \wedge e_{p}$ является собственным вектором оператора $f^{\wedge p}$, отвечающим собственному значению $\lambda_{1} \cdot \ldots \cdot \lambda_{p}$.

Пусть линейный оператор $f: V \rightarrow V$ приводится к диагональному виду. Доказать, что в этом случае $f^{\wedge p}$ также диагонализируем. Верно ли обратное?

Пусть $\lambda_{k}(k = 1, \ldots , n)$ — все собственные значения оператора $f: V \rightarrow V$, взятые с учетом кратностей, $\operatorname {dim} V = n$. Доказать, что набор всех собственных значений оператора $f^{\wedge p}$ с учетом кратностей состоит из всевозможных произведений

Доказать, что $\operatorname {det}\left(f^{\wedge p}\right) = (\operatorname {det} f)^{\left(\begin{array}{c}n-1 \\ p-1\end{array}\right)}$, где $f: V \rightarrow V$ — линейный оператор, $\operatorname {dim} V = n$.

Пусть характеристический многочлен оператора $f: V \rightarrow V$, $\operatorname {dim} V = n$, равен $\sum_{p = 0}^{n} a_{p} \lambda^{n-p}$. Доказать равенство $\operatorname {tr}\left(f^{\wedge p}\right) = (-1)^{n-p} a_{p}$.

Найти следы операторов $f^{\wedge p}$ для нетривиальных $\Lambda^{p}(V)$, если $f$ задан своей матрицей:

Доказать, что если $\operatorname {tr}\left(f^{\wedge p}\right) = 0$ для любого $p = 1,2, \ldots$, то оператор $f: V \rightarrow V$ нильпотентен.

Найти жорданову форму $f^{\wedge 2}$ по известной жордановой форме $f$ :

Пусть $W$ является $k$-мерным подпространством $V$. Описать естественное вложение $\Lambda^{p}(W)$ в $\Lambda^{p}(V)$. Доказать, что оператор $f: V \rightarrow V$ имеет $W$ своим инвариантным подпространством тогда и только тогда, когда $\Lambda^{k}(W)$ инвариантно относительно $f^{\wedge k}$.

Определим для ковектора $\varphi \in V^{*}$ оператор внутреннего произведения как отображение

где, как и выше, $F_{T} \in \mathbf{P}_{0}^{p}$ — полилинейная функция, соответствующая $T \in \mathbf{T}_{0}^{p}$. Доказать что оператор внутреннего произведения переводит симметрические тензоры в симметрические, а кососимметрические — в кососимметрические. Пусть $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ — два ковектора. Показать, что операторы $i\left(\varphi_{1}\right)$ и $i\left(\varphi_{2}\right)$ коммутируют в $\vect {S}(V)$ и антикоммутируют в $\Lambda (V)$.