Тензоры в евклидовых и симплектических пространствах

Пусть $\varphi$ — невырожденная билинейная функция. Доказать, что сопоставление каждому базису матрицы, обратной к матрице $\varphi$ в этом базисе, определяет тензор типа (2,0).

Представить операции поднятия и опускания индекса (стоящего на любом месте) в терминах произведения и свертки. Тем самым убедиться, что поднятие и опускание — корректно определенные тензорные операции.

Показать, что если мы ограничимся ортогональными заменами координат в евклидовом пространстве, то закон изменения для верхних индексов будет совпадать с законом изменения для нижних. Точнее, если в некоторой ортогональной системе координат $T^{i_{1} \ldots i_{p}} = T_{i_{1} \ldots i_{p}}$ для всех $i_{1}, \ldots , i_{p}$, то они равны и в любой другой ортогональной системе координат.

Пусть в базисе $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ матрица скалярного произведения равна $\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$. Провести опускание и поднятие индексов у тензоров (координаты приведены в указанном базисе):

В пространстве $\mathbb {R}_{n}[x]$ всех многочленов степени не выше $n$ от переменной $x$ с вещественными коэффициентами рассмотрим скалярное произведение

Пусть $e_{0} = 1, e_{1} = x, e_{2} = x^{2}, \ldots , e_{n} = x^{n}$ — базис. Найти координаты в дуальном базисе ковектора, полученного поднятием индекса у $q = 1+2 x+3 x^{2}$, при $n = 2$.

Пусть в базисе $(e_{i})$ матрица евклидова скалярного произведения в пространстве $V$ равна $\left\| g_{i j}\right\|$, а уравнение $a_{1} x^{1}+\ldots +a_{n} x^{n} = 0$ задает $(n-1)$-мерное подпространство (гиперплоскость) $W$. Доказать, что выражения $v^{i} = g^{i j} a_{j}$, рассматриваемые как компоненты некоторого вектора в данном базисе, определяют вектор нормали к $W$.

В условиях предыдущей задачи найти формулы для вычисления расстояния от вектора $u = \left(u^{i}\right)$ до гиперплоскости $W$ в терминах тензорных операций.

Задача 1760: в базисе $(e_{i})$ матрица евклидова скалярного произведения в пространстве $V$ равна $\left\| g_{i j}\right\|$, уравнение $a_{1} x^{1}+\ldots +a_{n} x^{n} = 0$ задает $(n-1)$-мерное подпространство (гиперплоскость) $W$, а $v^{i} = g^{i j} a_{j}$ — вектор нормали к $W$.

Применить формулу из предыдущей задачи к нахождению расстояния от $u = (1,2,1,3)$ до $x^{1}-2 x^{2}+x^{3}-x^{4} = 0$, если

Пусть $V$-пространство со скалярным произведением, а $\tau : V \rightarrow V^{*}$ — изоморфизм, определяемый этим произведением, $(a, b) = \tau (a) b$. Доказать, что результат опускания индекса у вектора $a \in V$ (рассматриваемого как тензор типа $(1,0)$) совпадает с ковектором $\tau (a)$ в случае симметричного скалярного произведения и с $-\tau (a)$ в случае симплектического. Аналогично результат подъема индекса у ковектора $\xi \in V^{*}$ совпадает, соответственно, с $\tau^{-1}(\xi )$ и с $-\tau^{-1}(\xi )$.

Рассмотрим линейный оператор $f: V \rightarrow V$ в пространстве $V$ со скалярным произведением и соответствующую ему билинейную функцию $\varphi_{f}(a, b) = (f(a), b)$. Показать, что результат опускания индекса на первое место у оператора $f$, рассматриваемого как тензор типа $(1,1)$, совпадает с тензором, соответствующим функции $\varphi_{f}$ в случае симметричного скалярного произведения, и с $-\varphi_{f}$ в случае симплектического.

Пусть $G = \left\| g_{i j}\right\|$ — матрица скалярного произведения в векторном пространстве $V$. Показать, что в результате подъема второго индекса у $G$ получится символ Кронекера $\delta_{i}^{j}$, в то время как при подъеме первого индекса получится $\delta_{j}^{i}$ для симметричного скалярного произведения и $-\delta_{j}^{i}$ для симплектического.

Пусть, как и выше, $\tau : V \rightarrow V^{*}$ — изоморфизм, определяемый заданным в пространстве $V$ скалярным произведением. Для билинейной функции $\varphi$ на $V$ определим билинейную функцию $\varphi^{*}$ на $V^{*}$ формулой

Пусть $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — некоторый базис пространства $V$, а $e^{1}, \ldots , e^{n}$ — дуальный базис в $V^{*}$. Пусть $B$ и $G$ — матрицы в базисе $\left\{ e_{i}\right\}$ формы $\varphi$ и скалярного произведения соответственно. Убедиться, что тензор, соответствующий $\varphi^{*}$, получен из $\varphi$ двукратным подъемом индекса. Показать, что матрица $\varphi^{*}$ в базисе $\left\{ e^{j}\right\}$ равна $G^{-1} B G^{-1}$ в случае симметрического скалярного произведения и $-G^{-1} B G^{-1}$ в случае кососимметрического произведения. Рассмотреть частный случай $\varphi$, равного скалярному произведению в пространстве $V$.

Доказать, что ориентированный объем параллелепипеда, построенного на векторах $v_{1}, \ldots , v_{n}$, равен

где $v_{j}^{i}-i$-я координата вектора $v_{j}$. При этом

где Г- определитель Грама.

Доказать, что ориентированный объем параллелепипеда, построенного на векторах $v_{1}, \ldots , v_{n}$, равен

где $v_{j}^{i}-i$-я координата вектора $v_{j}$. Что определяет его знак? Как в случае $\mathbb {R}^{3}$ он связан с ориентированным объемом, изучавшимся в курсе аналитической геометрии?

Доказать, что:

Описать в терминах тензорных операций вычисление скалярного, векторного и смешанного произведений в $\mathbb {R}^{3}$.

Рассмотрим в $\mathbb {R}^{3}$ элемент объема $\mathbf{v}_{i j k}$. Показать, что билинейное отображение $V \times V \rightarrow V,(x, y) \mapsto z$, определяемое формулой $z^{k} = g^{k i} \mathbf{v}_{i j m} x^{j} y^{m}$, совпадает с векторным произведением (для базисов положительной ориентации).

Рассмотрим тензор $\mathbf{v}_{i j k l}$ в $\mathbb {R}^{4}$. Пусть заданы векторы $x, y$ и $z$ из $\mathbb {R}^{4}$. Сопоставим произвольному базису набор чисел

Доказать, что:

Пусть $a \in \mathbf{T}_{1}^{1}(V)$ — линейный оператор, $\operatorname {dim} V = n$. Доказать, что

Доказать формулы: