16.5

Операция Ходжа и евклидова структура

[7/43%]
Показать
LaTeX
Задача 1775

Для kk-формы T∈Ωk(Rn)T \in \Omega_{k}\left(\mathbb {R}^{n}\right) на (ориентированном) пространстве Rn\mathbb {R}^{n} определим (n−k)(n-k)-форму ∗T∈Ωn−k(Rn)* T \in \Omega_{n-k}(\mathbb {R}^{n}) по формуле

(∗T)i1…in−k=1k!vi1…in−kj1…jkgj1m1…gjkmkTm1…mk (* T)_{i_{1} \ldots i_{n-k}} = \frac{1}{k !} \mathbf{v}_{i_{1} \ldots i_{n-k} j_{1} \ldots j_{k}} g^{j_{1} m_{1}} \ldots g^{j_{k} m_{k}} T_{m_{1} \ldots m_{k}}

Убедиться, что (n−k)(n-k)-форма ∗T* T корректно определена. Проверить формулу

∗(∗T)=(−1)k(n−k)T *(* T) = (-1)^{k(n-k)} T
?
Задача 1776

Пусть e1,e2,e3e_{1}, e_{2}, e_{3} — положительно ориентированный ортонормированный базис в R3\mathbb {R}^{3}, eie^{i}-дуальный базис в (R3)∗\left(\mathbb {R}^{3}\right)^{*}. Проверить непосредственно, что в этой ситуации:

?
(1)

∗e1=e2∧e3,∗e2=e3∧e1,∗e3=e1∧e2* e^{1} = e^{2} \wedge e^{3}, * e^{2} = e^{3} \wedge e^{1}, * e^{3} = e^{1} \wedge e^{2};

(2)

∗(e2∧e3)=e1,∗(e3∧e1)=e2,∗(e1∧e2)=e3*\left(e^{2} \wedge e^{3}\right) = e^{1}, *\left(e^{3} \wedge e^{1}\right) = e^{2}, *\left(e^{1} \wedge e^{2}\right) = e^{3};

(3)

∗c=ce1∧e2∧e3,∗(ce1∧e2∧e3)=c* c = c e^{1} \wedge e^{2} \wedge e^{3}, *\left(c e^{1} \wedge e^{2} \wedge e^{3}\right) = c, где c=c = const ∈Ω0(R3)\in \Omega_{0}\left(\mathbb {R}^{3}\right);

(4)

∗(∗T)=T*(* T) = T для всех размерностей; как это согласуется с предыдущей задачей?

Задача 1777

Пусть R3[x]\mathbb {R}_{3}[x] — пространство всех многочленов степени не выше 3 от переменной xx с вещественными коэффициентами и скалярным произведением (p,q)=∫01p(x)q(x)dx,p,q∈R3[x](p, q) = \int_{0}^{1} p(x) q(x) d x, p, q \in \mathbb {R}_{3}[x]. Пусть ковектор q′q^{\prime } получен опусканием индекса у q=1+x+x2+x3q = 1+x+x^{2}+x^{3}. Найти ∗q′* q^{\prime }.

?
Задача 1778

Пусть T,S∈Ωp(Rn)T, S \in \Omega_{p}\left(\mathbb {R}^{n}\right). Положим

⟨T,S⟩=1p!gi1j1…gipjpTi1…ipSj1…jp \left\langle T, S \right\rangle = \frac{1}{p !} g^{i_{1} j_{1}} \ldots g^{i_{p} j_{p}} T_{i_{1} \ldots i_{p}} S_{j_{1} \ldots j_{p}}

Проверить, что

T∧∗S=⟨T,S⟩v T \wedge * S = \left\langle T, S \right\rangle \mathbf{v}

где v∈Ωn(Rn)\mathbf{v} \in \Omega_{n}\left(\mathbb {R}^{n}\right), как и прежде, — элемент объема.

?
Задача 1779

Убедиться, что ⟨T,S⟩\left\langle T, S \right\rangle — скаляр. Проверить, что определенная в предыдущей задаче операция ⟨T,S⟩\left\langle T, S \right\rangle задает евклидово скалярное произведение на Ωp(Rn)\Omega_{p}\left(\mathbb {R}^{n}\right) для каждого pp.

?
Задача 1780

Пусть e1,e2,e3e_{1}, e_{2}, e_{3} — ортонормированный базис в R3,ei\mathbb {R}^{3}, e^{i}-дуальный базис в (R3)∗\left(\mathbb {R}^{3}\right)^{*}. Вычислить в Ω2(R3)\Omega_{2}\left(\mathbb {R}^{3}\right) евклидово расстояние в смысле задачи 1779 от e2∧e3e^{2} \wedge e^{3} до прямой, порожденной элементом e1∧e3−2e2∧e1e^{1} \wedge e^{3}-2 e^{2} \wedge e^{1}.

?
Задача 1781

Пусть e1,e2,e3,e4e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4} — ортонормированный базис в R4,ei\mathbb {R}^{4}, e^{i} — дуальный базис в (R4)∗\left(\mathbb {R}^{4}\right)^{*}. Вычислить в Ω2(R4)\Omega_{2}\left(\mathbb {R}^{4}\right) евклидово расстояние в смысле задачи 1779 от e2∧e3+2e1∧e4e^{2} \wedge e^{3}+2 e^{1} \wedge e^{4} до плоскости, порожденной элементами e1∧e3−e2∧e1e^{1} \wedge e^{3}-e^{2} \wedge e^{1} и e2∧e4−2e1∧e3e^{2} \wedge e^{4}-2 e^{1} \wedge e^{3}.

?