Среднее, медиана и описательная статистика

Для детей младше 13 лет мэйджорс — высший уровень в Малой лиге бейсбола (Little League Baseball), а майнорс — следующий по значимости уровень. В сезоне 2023 года в лиге Middletown Little League было достаточно игроков, чтобы сформировать шесть команд мэйджорс и шесть команд майнорс. Вместо этого было решено сформировать семь команд мэйджорс и пять команд майнорс. Как это повлияло на среднее качество игроков в мэйджорс и в майнорс?

Один колледж сообщил, что средний размер его классов составляет 14 студентов на класс. Однако опрос, в котором студентов этого колледжа спрашивали о размере классов, в которых они учатся, показал, что средний размер класса составляет 38 студентов и что у $70 \%$ студентов классы насчитывают более 14 человек. Дайте статистическое объяснение этому расхождению.

Школа оценила среднее число детей школьного возраста в семье, опросив каждого ребёнка в школе. Почему их оценка оказалась значительно завышена? Приведите пример, иллюстрирующий ваши рассуждения.

Объясните шутку комика Уилла Роджерса о том, что «когда окихи покинули Оклахому и переехали в Калифорнию, они подняли средний уровень интеллекта в обоих штатах».

Спортивный обозреватель написал, что «Джон Грудэн покинул [Monday Night Football], чтобы стать главным тренером «Окленда» — шаг, оказавшийся плохим и для трансляции, и для команды». Возможно ли, что человек, переходя из одной организации в другую, понижает среднее качество обеих организаций?

Опрос показал, что между 1959 и 1983 годами среднее число часов, которые женщины работали вне дома, почти удвоилось, тогда как число часов, отработанных дома, уменьшилось лишь на $14 \%$. Показывают ли эти данные, что общее число часов, отработанных женщинами — вне дома и дома вместе, — увеличилось между 1959 и 1983 годами?

Один колледж дарит бесплатную книгу по истории колледжа каждому выпускнику, чей дар превышает медианный размер даров, сделанных в предыдущем году членами его выпускного класса. Объясните, повысил или понизил этот колледж порог для получения бесплатной книги, используя медиану вместо среднего.

Определите очевидную статистическую ошибку в этом комментарии:

Медианная цена дома в Дуарте составляет колоссальные $4276462, что делает его самым дорогим рынком жилья в стране.... В продаже сейчас находится всего 12 домов. Поэтому одного объявления с высокой ценой (например, гигантского дома с девятью спальнями, который продаётся за $19.8 миллиона) достаточно, чтобы вздуть медианную цену.

В рекламе Prudential Financial под названием «Давайте готовиться к более долгой пенсии» говорилось:

Типичный американский город. 400 человек. И увлекательный эксперимент. Мы попросили обычных людей показать нам возраст самого старого человека, которого они знают, наклеив стикер на нашу диаграмму.

Большинство стикеров оказались в диапазоне от 90 до 110 лет, что Prudential назвала «живым доказательством того, что мы живём дольше. А значит, нам нужно больше денег, чтобы жить на пенсии». Почему этот вывод вводит в заблуждение?

Одно исследование разделило профессии на пять категорий и обнаружило, что уровень безработицы среди женщин выше, чем среди мужчин, в каждой отдельной категории, но в целом ниже, чем среди мужчин. Как это возможно? Используйте гипотетические данные всего с двумя категориями, чтобы проиллюстрировать ваши рассуждения.

Общий уровень безработицы в $10.2 \%$ в октябре 2009 года был ниже уровня безработицы в $10.8 \%$ в ноябре 1982 года, который пришёлся на пик худшей рецессии со времён Великой депрессии. Однако когда рабочую силу разделили на четыре категории по уровню образования (выпускники колледжа, частично обучавшиеся в колледже, выпускники средней школы и прочие), уровень безработицы в каждой категории оказался выше в 2009 году, чем в 1982 году. Как это возможно? Используйте гипотетические данные всего с двумя категориями образования, чтобы проиллюстрировать ваши рассуждения.

Медицинское исследование обнаружило, что лечение A было более успешным, чем лечение B, при лечении небольших камней в почках ($90 \%$ против $80 \%$) и крупных камней в почках ($70 \%$ против $60 \%$). Возможно ли, чтобы лечение $B$ оказалось более успешным в целом, когда данные по крупным и небольшим камням объединили? Объясните ваши рассуждения и приведите числовой пример, иллюстрирующий ваш довод.

Исследование феномена «горячей руки» в баскетболе рассматривало пары штрафных бросков, выполненных двумя игроками, A и B. Когда игрок A попадал первым броском, вторым броском он попадал в $88 \%$ случаев; когда он промахивался первым броском, вторым броском он попадал в $91 \%$ случаев. Игрок B также с большей вероятностью попадал вторым броском после промаха первым: $61 \%$ против $59 \%$. Тем не менее, когда данные объединили, игроки в целом попадали $81 \%$ вторых бросков после попадания первым и лишь $73 \%$ после промаха первым.

У какого из этих рядов данных больше стандартное отклонение?

Исследователь обнаружил, что в сезоне Премьер-лиги 2009-2010 годов футбольные команды с лучшими показателями, как правило, выигрывали больше своих домашних матчей, чем команды с худшими показателями. Он заключил, что это демонстрирует важность преимущества своего поля. Почему его данные не обосновывают этот вывод?

Когда было предложено, чтобы Главная лига бейсбола (MLB) ввела часы подачи, допускающие не более 20 секунд между подачами, уважаемый спортивный обозреватель написал, что «если бы MLB ввела 20-секундные часы подачи и заставляла игроков их соблюдать, это, в теории, при нынешнем в этом году темпе и числе подач за игру, сократило бы среднюю продолжительность игры на 19 минут 48 секунд». Он умножил 4 секунды (разницу между средним временем между подачами в 24 секунды в 2018 году и 20-секундными часами подачи) на 297 (среднее число подач за игру): $(24-20) 297=1,188$ секунд, что составляет 19 минут 48 секунд. Почему эта оценка почти наверняка неверна? Скорее всего, правильная экономия времени больше или меньше 19 минут 48 секунд?

Исследование влияния высшего образования на доход использовало данные переписи населения США 1990 и 2010 годов. В исследовании рассматривались: (a) женщины из переписи 1990 года в возрасте от 28 до 32 лет, которые также были первыми женщинами в своей семье, поступившими в колледж; и (b) женщины из переписи 2010 года в возрасте от 28 до 32 лет, чья мать была первой женщиной в своей семье, поступившей в колледж. Средний доход составил $\$ 45,000$ для женщин из группы (a) и $\$ 40,000$ для женщин из группы (b), несмотря на то что средний доход по стране в целом был на $50 \%$ выше в 2010 году, чем в 1990 году.

Математически возможно ли, что доход каждой дочери был выше, чем доход её матери, но при этом средний доход дочерей оказался ниже среднего дохода матерей? Приведите конкретный числовой пример, иллюстрирующий ваш довод.

Профессор математики из Temple University использовал следующие данные, чтобы показать, что у большинства американцев преувеличенный страх перед террористами:

Без некоторого понимания вероятности автомобильные аварии кажутся сравнительно небольшой проблемой при поездках внутри страны, тогда как гибель от рук террористов представляется серьёзным риском при международных поездках. В то время как в 1985 году 28 миллионов американцев выезжали за границу, в том же году террористы убили 39 американцев — в плохой год это 1 шанс из 700 000. Сравните это с годовыми показателями для других видов передвижения внутри США — 1 шанс из 96 000 погибнуть в велосипедной аварии, 1 шанс из 37 000 утонуть и всего 1 шанс из 5 300 погибнуть в автомобильной аварии.

Как, по-вашему, автор вычислил вероятности гибели в велосипедной аварии, утопления и гибели в автомобильной аварии? Доказывают ли эти вычисления, что ехать на машине в школу опаснее, чем лететь самолётом в Париж?

Кэмерон учится в классе, где итоговая оценка — это среднее оценок за домашние задания и за тесты

где H и T обе выставляются по шкале от 0 до 100. В середине семестра оценка G у Кэмерон была 92. Затем Кэмерон получила 90 баллов за тест, и преподаватель повысил её G до 93.5. Возможно ли это, или преподаватель ошибся? Используйте пример, чтобы объяснить ваши рассуждения.

Было подсчитано, что до $50 \%$ людей, заразившихся COVID-19, были бессимптомными и не знали, что заражены. Если данные о числе смертей и числе людей с положительным тестом точны, но число бессимптомных заражений выше, чем предполагалось ранее, что из перечисленного ниже окажется выше, ниже или таким же, как предполагалось ранее?

Ответьте на эту головоломку из радиопередачи Car Talk:

Предпочтительная обувь в Таунберге — армейские ботинки. Двадцать процентов жителей имеют одну ногу, поэтому носят один ботинок. Из оставшихся жителей половина ходит босиком, а половина носит два ботинка — и всего в Таунберге носят 20 000 ботинок. Каково население Таунберга?

Компания Market Force спросила 7 600 взрослых американцев, насколько вероятно, что они порекомендуют другим ресторан быстрого питания с пиццей, который они посетили последним. Результаты:

Как статистик, как бы вы раскритиковали новостной репортаж Yahoo, назвавший Blaze pizza «любимой сетью пиццерий Америки»?

В статье 1994 года в журнале American Scientist сообщались результаты опроса 17 научных экспертов о шансах катастрофического глобального потепления на Земле. Ниже приведена сводка их оценок вероятности повышения среднемировой температуры на $3^{\circ } \mathrm{C}$ к 2090 году. Как этот график был неверно построен?

Предположим, что у вас есть выборка из десяти наблюдений со средним значением семь, медианой шесть и стандартным отклонением три. Каковы будут новые значения следующего?

Великие открытия обычно совершают люди молодые и энергичные или же старые и мудрые? Ниже приведён возраст, в котором 12 учёных совершили великие открытия. Используйте эти данные, чтобы вычислить средний и медианный возраст, в котором были совершены эти великие открытия.