11

Двухвыборочные критерии и доверительные интервалы

[36/100%]
Показать
LaTeX
Задача 11.1

A/B-тест подобен интернет-лабораторному эксперименту. Создаются две версии веб-страницы — как правило, текущая страница и предлагаемая модификация, возможно, с другим баннером, заголовком или отзывом. Генератор случайных чисел определяет, какую страницу видит пользователь. Заранее заданная метрика, например покупки или регистрации на рассылку, используется для определения страницы-победителя.

Предвыборная кампания Обамы 2008 года использовала A/B-тест для сравнения числа посетителей веб-страницы, зарегистрировавшихся для получения дополнительной информации, при использовании этих двух кнопок: «Sign Up» («Зарегистрироваться») и «Learn More» («Узнать больше»).

Результаты:

КнопкаПосетителиРегистрации
Sign up77,8585,851
Learn More77,7296,927
?
(a)

Почему число посетителей не равно?

(b)

Является ли разница между наблюдаемым числом регистраций существенной и статистически убедительной?

Задача 11.2

Согласно своим первоначальным руководящим принципам, Агентство по охране окружающей среды (EPA) заключало, что пассивное курение представляет опасность для возникновения рака, если 95%95 \% доверительный интервал для разности в частоте заболеваемости раком между контрольной и опытной группами не включал ноль. В 1996 году EPA изменило этот критерий на 90%90 \% доверительный интервал. Если на самом деле пассивное курение не представляет опасности для возникновения рака, делает ли переход от 95%95 \% к 90%90 \% доверительному интервалу более или менее вероятным, что EPA придёт к выводу о том, что пассивное курение является фактором риска рака?

?
Задача 11.3

Французская больница поместила 412 пациентов, перенёсших один инфаркт, на традиционную средиземноморскую диету (включающую оливковое масло, фрукты и хлеб); контрольную группу составили 358 пациентов, перенёсших инфаркт, которым была назначена рекомендованная низкожировая диета. У четырёх пациентов на средиземноморской диете и у 17 пациентов на низкожировой диете за 2 года исследования случился повторный инфаркт. Является ли наблюдаемая разница существенной и статистически убедительной?

?
Задача 11.4

Исследователь сравнил дневную доходность портфеля, состоящего из акций, исключённых из индекса Dow Jones Industrial Average, с доходностью портфеля, состоящего из акций, которые их заменили. Используйте эти данные о дневной доходности для теста разности средних и для парного теста. У какого из них ниже p-значение? Почему?

Портфель
исключённыхПортфель
включённыхРазность
доходности
Среднее.000588.000433.000155
Стандартное отклонение.012444.011862.008344
Наблюдения20,36720,36720,367
?
Задача 11.5

Данные из многих видов спорта свидетельствуют о том, что результативность повышается за счёт нашей собственной оценки своих способностей. Например, когда оба участника соревнования по армрестлингу ошибочно полагали, что более слабый участник сильнее своего соперника, более слабый участник побеждал в 10 из 12 матчей. Когда участники обладали верной информацией о том, кто сильнее, более сильный участник побеждал во всех 12 матчах. Является ли эта разница существенной и статистически убедительной?

?
Задача 11.6

Студент сыграл 100 партий в «камень, ножницы, бумага» против компьютерной программы, выиграв 32 партии, проиграв 38 и сыграв вничью 30. Компьютер пытался разгадать стратегию игрока. В этой таблице результаты разделены на первые 50 партий и последние 50 партий:

Победа игрокаПобеда компьютераНичья
Первые 50 партий191615
Вторые 50 партий132215
Всего323830
?
(a)

Является ли разница между процентами побед в первой и второй половинах существенной и статистически убедительной?

(b)

Компьютер заметил, что этот игрок редко повторял ходы (например, «камень» после «камня»). Из 99 возможностей повторить ход игрок повторил его лишь семь раз. Является ли эта закономерность существенной и статистически убедительной?

Задача 11.7

В опросе 26 спортсменов дивизиона III изучался их средний балл (GPA) в семестре, когда они выступали в своём виде спорта, и в семестре без соревнований:

GPA в спортивном сезонеGPA в межсезоньеРазность
Среднее3.32503.4435-.1177
Стандартное отклонение.3385.3097.2165

Тест разности средних дал t=1.32\mathrm{t}=1.32 при двустороннем p-значении .1939. Парный тест дал t=2.77\mathrm{t}=2.77 при двустороннем p-значении .0104. Объясните, почему эти два теста могут приводить к разным выводам. Какой тест более обоснован?

?
Задача 11.8

В компьютерной игре Блейку показывают (в случайном порядке) либо (a) прямоугольник жёлтого, синего, зелёного или красного цвета, либо (b) слово «жёлтый», «синий», «зелёный» или «красный», написанное чёрным цветом. Задача Блейка — как можно быстрее щёлкнуть на слово внизу экрана, соответствующее цвету или слову, показанному в середине экрана. Ниже приведено время реакции в секундах. Является ли наблюдаемая разница среднего времени реакции существенной и статистически убедительной?

(a) Цвет(b) Слово(a) Цвет(b) Слово
1.121.021.131.07
1.151.281.131.03
. 95. 95. 98. 78
1.081.17. 95. 88
. 931.031.621.05
. 821.151.331.20
. 881.12. 831.05
. 831.181.131.00
1.171.381.521.20
. 901.08. 981.32
?
Задача 11.9

Унифицированная рейтинговая шкала болезни Паркинсона (UPDRS) оценивает степень болезни Паркинсона у пациентов по шкале от 00 до 199199, где 0 означает отсутствие инвалидности, а 199 — полную инвалидность. Одиннадцать испытуемых с болезнью Паркинсона были поставлены на режим катания на стационарном велосипеде 3 дня в неделю в течение 12 недель. Являются ли результаты существенными и статистически убедительными?

ID испытуемогоUPDRS на неделе 0UPDRS на неделе 12
TA163
JC5019
LD235
CE149
FE185
SF4824
KO203
HP76
DR23
RS130
JT1710
?
Задача 11.10

Время Джерри в заплыве на 100 метров вольным стилем имеет нормальное распределение со средним 56 секунд и стандартным отклонением 2 секунды; время Керри имеет нормальное распределение со средним 57 секунд и стандартным отклонением 2.5 секунды. Если их времена заплыва независимы, какова вероятность того, что Керри опередит Джерри?

?
Задача 11.11

Исследование отчётов об авариях за 4 года, проведённое пожарной охраной Далласа, показало, что пожарные машины, окрашенные в красный цвет, совершили 153,348 выездов и попали в 20 аварий, тогда как пожарные машины, окрашенные в жёлтый цвет, совершили 135,035 выездов и попали в 4 аварии. Полагая, что это независимые случайные выборки, является ли данная разница существенной и статистически убедительной?

?
Задача 11.12

Объясните ошибку(и) в следующем замечании:

Мы использовали парный тест вместо теста разности средних, потому что парный тест не предполагает, что две выборки имеют одинаковое стандартное отклонение.

?
Задача 11.13

В 1983 году 22 000 врачей приняли участие в эксперименте, изучавшем влияние аспирина на частоту инфарктов. Половине врачей давали по одной таблетке аспирина через день; другой половине через день давали плацебо. Ни добровольцы, ни учёные, проводившие эксперимент, не знали, кто из добровольцев принимает аспирин. После 5 лет из запланированных 7 лет испытания эксперимент был остановлен сторонним комитетом, наблюдавшим за результатами. За этот период у врачей, принимавших плацебо, было 18 смертельных инфарктов, а у врачей, принимавших аспирин — 5. Является ли эта разница существенной и статистически убедительной? Как вы думаете, почему эксперимент был остановлен на 2 года раньше срока?

?
Задача 11.14

В игре в подковы каждый игрок бросает две подковы за иннинг. Если игрок бросает две подковы, попавшие точно на кол, это называется «дубль». Исследование «эффекта горячей руки» на чемпионате мира по метанию подков 2000 года изучало, с большей или меньшей вероятностью игроки бросают дубль после того, как бросили дубль в предыдущем иннинге. Например, женщины-метательницы бросили 1641 дубль и 1691 не-дубль после иннинга без дубля и 2142 дубля и 1666 не-дублей после иннинга с дублем. Является ли эта разница существенной и статистически убедительной?

?
Задача 11.15

Опытной группе была введена вакцина от простуды, а контрольная группа получила плацебо. Затем врачи зафиксировали долю каждой группы, заболевшую простудой, и вычислили двустороннее p-значение, равное .08. Объясните, согласны вы или не согласны с каждой из следующих интерпретаций этих результатов:

?
(a)

«Существует вероятность 8%8 \%, что эта вакцина работает».

(b)

«Если случайно выбранный человек примет эту вакцину, вероятность заболеть снизится примерно на 8%8 \%».

(c)

«Эти данные не показывают статистически значимого эффекта на уровне 5%5 \%; следовательно, мы на 95%95 \% уверены, что эта вакцина не работает».

Задача 11.16

Что явно неверно в этом сообщении о результатах теста разности средних: «При 38 степенях свободы значение t равно 8.98, а двустороннее p-значение равно .2916. В этом тесте нулевая гипотеза не может быть отклонена на уровне 1%1 \% или 5%5 \%, поскольку p-значение слишком велико».

?
Задача 11.17

Предположим, вы проводите эксперимент с опытной и контрольной группами по 20 испытуемых в каждой выборке, и тест разности средних даёт значение tt, равное 2.7, и двустороннее p-значение .01. Какие из этих утверждений истинны, а какие ложны?

?
(a)

Вероятность того, что нулевая гипотеза верна, равна .01.

(b)

Вероятность того, что лечение работает, равна .99.

(c)

Если вы отклоните нулевую гипотезу, вероятность того, что вы приняли неверное решение, равна .01.

(d)

Если исследование будет проведено повторно, вероятность получить те же результаты равна .99.

Задача 11.18

В исследовании 2021 года сравнивалась калорийность 20 пунктов меню McDonald's, продаваемых в США и Великобритании:

СШАВеликобритания
Биг Мак550508
Куотер Паундер с сыром520518
Двойной Куотер Паундер с сыром740750
Гамбургер250250
Чизбургер300301
Двойной чизбургер450445
МакЧикен400388
Филе-о-фиш380329
Сэндвич с сосиской и яйцом McMuffin480430
Наггетсы из курицы, шесть штук255259
Картофель фри (обычный)320337
Панкейки580477
Яблочный пирог240250
МакФлурри Орео340258
Шоколадный молочный коктейль520468
Ванильный молочный коктейль510469
Клубничный молочный коктейль530458
Капучино120128
Карамельный фраппучино420399
Горячий шоколад370231
?
(a)

Тщательно объясните, как вы определили бы, являются ли различия статистически убедительными. Вычислять ничего не нужно, но следует пошагово объяснить, какие вычисления вы бы выполнили.

(b)

Тщательно объясните, как вы определили бы, являются ли наблюдаемые различия существенными. Опять же, не выполняйте никаких фактических вычислений.

Задача 11.19

Учащиеся одного школьного округа Калифорнии подразделяются либо на учащихся программы для одарённых и талантливых детей (GATE), либо на обычных учащихся. Опрос семи- и восьмиклассников показал, что у 10 из 86 учащихся GATE матери не поступали в колледж, и у 35 из 124 обычных учащихся матери не поступали в колледж. Является ли эта разница существенной и статистически убедительной?

?
Задача 11.20

Студенты колледжа оценивали свой интеллект и готовность к жизни после окончания колледжа по шкале от 1 до 10.

?
(a)

Объясните, имеет ли смысл этот аргумент.

Я опросил 150 студентов всех полов и курсов. Однако, поскольку моё исследование требовало сравнения двух групп (младшекурсников и старшекурсников), я не смог использовать все свои данные, поскольку в одной группе оказалось бы больше студентов, чем в другой. Поэтому я случайным образом отобрал 10 младшекурсников и 10 старшекурсников.

(b)

Что не так с этим выводом?

Я обнаружил, что вопреки моим первоначальным предположениям, статистической значимости не было. pp-значения были больше .05, что делало их статистически незначимыми на уровне 5%5 \%. Это означает, что, хотя можно было бы ожидать, что старшекурсники будут чувствовать себя более умными и более подготовленными к жизни после колледжа, они не воспринимают себя таковыми.

Задача 11.21

Объясните, почему предложенный тест неверен, и укажите правильный тест:

Мой вопрос звучит так: «Даёт ли игра на своей площадке в Национальной хоккейной лиге (НХЛ) домашней команде более высокие шансы на победу?» Я выберу шесть команд НХЛ и для каждой команды применю однопроверочный категориальный Z-тест нулевой гипотезы о том, что шанс победы дома равен одной второй.

?
Задача 11.22

Исследователь сравнил интернет-цены на 20 предметов мужской одежды Abercrombie Fitch (AF) с ценами на практически идентичную одежду, продаваемую сетью Hollister, принадлежащей AF. Средняя цена 20 предметов AF составила $50.13\$ 50.13, тогда как средняя цена 20 предметов Hollister составила $31.33\$ 31.33. Значение t составило 3.38 при использовании двухвыборочного теста и 7.01 при использовании парного теста.

?
(a)

У какого теста было ниже двустороннее p-значение?

(b)

Объясните человеку, не изучавшему курс статистики, почему значения t могли настолько различаться.

(c)

Данные парного теста были использованы для вычисления 95%95 \% доверительного интервала для разности цен: $18.80±5.62\$ 18.80 \pm 5.62. Объясните, согласны вы или не согласны со следующей интерпретацией: «То есть, 95%95 \% вычисленных значений разности цен будут лежать в диапазоне от $13.18\$ 13.18 до $24.42\$ 24.42».

Задача 11.23

Исследователь изучил 20 английских футбольных клубов, игравших в Премьер-лиге в сезоне 2009-2010. Эти команды выиграли в среднем 9.65 из 19 домашних игр при стандартном отклонении 3.79 и выиграли 4.55 из 19 выездных игр при стандартном отклонении 3.15. (Невыигранные игры были либо проиграны, либо сыграны вничью.) Затем он вычислил значение t для двухвыборочного теста нулевой гипотезы о том, что среднее число побед в домашних играх равно среднему числу побед в выездных играх:

t=9.65−4.553.7920+3.1520=8.82 t=\frac{9.65-4.55}{\sqrt{\frac{3.79}{20}+\frac{3.15}{20}}}=8.82
?
(a)

Какое допущение, лежащее в основе двухвыборочного t-теста, нарушено?

(b)

Согласны ли вы, что 20 — это правильный объём выборки?

(c)

Что не так с этой формулой значения t?

Задача 11.24

Данные о рождениях в Калифорнии использовались для получения информации о почтовом индексе места жительства матерей на момент рождения дочери и о почтовом индексе места жительства этих дочерей на момент рождения ими ребёнка. Из 4,298 дочерей матерей, родившихся за рубежом, проживавших в других почтовых индексах, 2,579 жили в почтовых индексах с более высоким медианным доходом, чем у их матери, а 1,719 жили в почтовых индексах с более низким доходом. Из 5,935 дочерей матерей, родившихся в Калифорнии, проживавших в других почтовых индексах, 3,181 жили в почтовых индексах с более высоким медианным доходом, чем у их матери, а 2,754 жили в почтовых индексах с более низким медианным доходом. Является ли эта разница между дочерьми матерей, родившихся за рубежом, и матерей, родившихся в Калифорнии, существенной и статистически убедительной?

?
Задача 11.25

794 студента, поступивших на первый курс колледжа Помона в 1987-1988 и 1988-1989 годах, были разделены на две группы: 552, окончивших государственные школы, и 242, окончивших частные школы. Из окончивших государственные школы 48(8.7%)48(8.7 \% ) были «стипендиатами Помона» (со средним баллом «отлично»); из окончивших частные школы таковых было 13(5.4%)13(5.4 \% ). Кажется ли наблюдаемая разница существенной? Автор вычислила значение Z, равное 1.64, и заключила, что, хотя «два класса доказали истинность нулевой гипотезы, ...объём выборки ничтожно мал». Доказала ли она истинность нулевой гипотезы? Обесценивают ли её результаты малый объём выборки?

?
Задача 11.26

Около трети абитуриентов, принятых в один небольшой колледж, действительно зачисляются. Есть ли разница между средними баллами SAT тех, кто зачисляется, и тех, кто нет? Вот некоторые недавние данные:

?
(a)

Сравнивая зачисленных и незачисленных студентов, являются ли наблюдаемые различия в баллах по математике существенными и статистически убедительными? А что насчёт баллов по чтению/письму?

(b)

Объясните ошибку в следующей интерпретации:

Согласно центральной предельной теореме, средние обеих групп имеют нормальное распределение:

X‾1 имеет N[690,63.98368]X‾2 имеет N[700,56.44682] \begin{aligned} & \overline{\mathrm{X}}_{1} \text{ имеет } \mathrm{N}\left[690, \frac{63.98}{\sqrt{368}}\right] \\ & \overline{\mathrm{X}}_{2} \text{ имеет } \mathrm{N}\left[700, \frac{56.44}{\sqrt{682}}\right] \end{aligned}
(c)

Объясните ошибку в следующем утверждении:

При нулевой гипотезе разность выборочных средних равна нулю.

Задача 11.27

В 1980-х годах Канеман и Тверски сообщили, что когда 200 людям задали следующий вопрос, 98 ответили «да» и 108 ответили «нет»:

Представьте, что вы решили пойти на спектакль и заплатили за вход $10\$ 10 за билет. Войдя в театр, вы обнаруживаете, что потеряли билет. Место не помечено, и билет невозможно восстановить. Заплатите ли вы $10\$ 10 за другой билет? Когда 183 людям задали следующий вопрос, 161 ответил «да» и 22 ответили «нет»:

Представьте, что вы решили пойти на спектакль, вход на который стоит $10\$ 10 за билет. Войдя в театр, вы обнаруживаете, что потеряли банкноту в $10\$ 10. Заплатите ли вы всё же $10\$ 10 за билет на спектакль? Является ли разница в ответах существенной и статистически убедительной?

?
Задача 11.28

Две социологические организации сообщают следующие предпочтения избирателей:

ДжонДжейнОбъём выборки
Опрос A55%55 \%45%45 \%600
Опрос B52%52 \%48%48 \%200

Можно ли объяснить разницу в результатах этих опросов ошибкой выборки? Если у вас нет оснований полагать, что один опрос надёжнее другого, что бы вы использовали для прогноза процента голосов за каждого кандидата?

?
Задача 11.29

Сто случайно отобранных студентов попросили оценить квалификацию двух кандидатов на должность на основании резюме. Половине было выдано резюме вымышленного Джона Бенсона, а другой половине — другое резюме, идентичное первому во всех отношениях, за исключением того, что имя было Мэри Бенсон. Результаты:

Джон БенсонМэри Бенсон
Число оценок5050
Средняя оценка8.238.02
Стандартное отклонение1.152.18

Является ли наблюдаемая разница существенной и статистически убедительной?

?
Задача 11.30

Баскетболистам часто говорят, что промах обычно отскакивает на противоположную сторону от корзины по отношению к той стороне, с которой был выполнен бросок; например, что промах с правой стороны от корзины обычно отскакивает влево от корзины. Игрок колледжа предположил, что эта тенденция может смениться на противоположную к концу игры, когда игроки устали и их промахи отскакивают от переднего края обода. В исследовании видеозаписей первых и последних 10 минут игр четырёх различных мужских баскетбольных команд дивизиона III были получены приведённые ниже данные. Используйте эти данные, чтобы выяснить, является ли разница между первыми и последними 10 минутами существенной и статистически убедительной.

Та же сторонаПротивоположная сторона
Первые 10 минут1625
Последние 10 минут2010
?
Задача 11.31

Перед поступлением в колледж студент посмотрел видеозаписи семинара «Где есть воля, там есть пятёрка», который якобы демонстрирует научно обоснованные стратегии гарантированного получения отличных оценок. Одна из стратегий — сидеть в первых рядах класса. Чтобы проверить эту теорию, студент-статистик попросил 50 случайно отобранных студентов колледжа записать свой средний балл (GPA) и указать, где они обычно сидят в больших аудиториях.

Число студентовСредний GPA (12-балльная шкала)
В самом первом ряду510.94
Ближе к переду219.38
В середине119.38
Ближе к заду108.37
В самом последнем ряду310.20
?
(a)

Студент использовал тест разности средних, чтобы сравнить средний GPA 26 студентов, сидящих либо в самом первом ряду, либо ближе к переду, со средним GPA всех 50 студентов. Какое ключевое допущение нарушается этой процедурой? Что ему следовало бы сделать вместо этого?

(b)

Изучив данные, показывающие, что студенты колледжа, сидящие ближе к переду аудитории, имеют относительно высокий GPA, он заключил: «Я определённо посоветовал бы первокурснику постоянно сидеть в первом ряду на каждом занятии». Предложите совершенно иную интерпретацию его данных.

Задача 11.32

Были получены данные финалов забега на 800 метров среди женщин на чемпионате Южно-Калифорнийской межвузовской легкоатлетической конференции. В трёх из изученных лет (1983, 1986 и 1990) соревнования проводились на грунтовой дорожке; в трёх других годах (1987, 1988 и 1989) использовалось искусственное покрытие. Является ли наблюдаемая разница в среднем времени существенной и статистически убедительной?

Грунтовая дорожкаИскусственное покрытие
Число бегуний1818
Среднее время (секунды)144.90143.11
Стандартное отклонение4.834.33
?
Задача 11.33

Исследование, сравнивающее оценки, выставленные эссе, написанному мужчиной, женщинами и мужчинами-проверяющими, показало, что женщины-проверяющие поставили в среднем 7.125, а мужчины-проверяющие — в среднем 7.500.

?
(a)

Читатель заметил, что одним из недостатков исследования было то, что «число мужчин-проверяющих не равнялось числу женщин-проверяющих». Объясните, является ли это недостатком.

(b)

Объясните, согласны вы или не согласны со следующей интерпретацией результатов: «Значение t составило 0.5800 при p-значении 0.5721. Это можно интерпретировать так: существует вероятность 57.21%57.21 \%, что средние значения 7.500 для мужчин-проверяющих и 7.125 для женщин-проверяющих отличались друг от друга на 0.5800 стандартных отклонений».

Задача 11.34

Случайную выборку из 25 студентов-мужчин и 25 студенток-женщин колледжа попросили назвать своего любимого певца/певицу; 21 из мужчин назвали певца-мужчину, и 16 из женщин назвали певца-мужчину. Объясните ошибку в этой проверке нулевой гипотезы о том, что студенты-мужчины и студентки-женщины с равной вероятностью назовут певца-мужчину: «Объединённая доля равна (21+16)/(25+25)=0.74(21+16) /(25+25)=0.74. Мы проверили нулевую гипотезу p=0.74\mathrm{p}=0.74 с помощью следующей статистики Z:»

Z=(x1n1−x2n2)−0p^(1−p^)n1+p^(1−p^)n2=2125−1625.74(1−.74)25+.74(1−.74)25=1.745 \begin{aligned} \mathrm{Z} & =\frac{\left(\frac{\mathrm{x}_{1}}{\mathrm{n}_{1}}-\frac{\mathrm{x}_{2}}{\mathrm{n}_{2}}\right)-0}{\sqrt{\frac{\widehat{\mathrm{p}}(1-\widehat{\mathrm{p}})}{\mathrm{n}_{1}}+\frac{\widehat{\mathrm{p}}(1-\widehat{\mathrm{p}})}{\mathrm{n}_{2}}}} \\ & =\frac{\frac{21}{25}-\frac{16}{25}}{\sqrt{\frac{.74(1-.74)}{25}+\frac{.74(1-.74)}{25}}}=1.745 \end{aligned}
?
Задача 11.35

Из 30 акций, входящих в индекс Dow Jones Industrial Average, исследователь выделил десять акций с наивысшим отношением дивиденд/цена (D/P) и десять акций с наименьшим отношением D/P по состоянию на 31 декабря 2021 года. Ниже приведена процентная доходность за следующий год:

Высокое D/PНизкое D/P
39.77-37.74
32.0146.83
28.93-5.81
32.3048.04
31.2820.91
12.1720.24
40.681.05
14.33-28.10
40.3917.03
37.74-1.55
?
(a)

Представьте эти данные в виде двух расположенных рядом ящиковых диаграмм (box plots). Кажутся ли данные имеющими схожие или различные средние и стандартные отклонения?

(b)

Является ли наблюдаемая разница средней доходности существенной и статистически убедительной?

Задача 11.36

В исследовании 2002 года сравнивалась радикальная простатэктомия с выжидательной тактикой при лечении локализованного рака простаты: 53 из 347 пациентов в группе простатэктомии умерли, как и 62 из 348 пациентов в контрольной группе. p-значение для проверки нулевой гипотезы об отсутствии разницы в показателях смертности составило .367. Объясните, согласны вы или не согласны с выводом Целевой группы США по профилактическим услугам о том, что «между двумя группами не было разницы в общей смертности».

?