Критерии хи-квадрат

Утверждается, что когда людей просят назвать число, скажем, от 1 до 4 или от 1 до 10, они склонны выбирать «среднее число», лежащее в середине, а не «крайнее число» с одного из концов. Чтобы проверить эту теорию, преподаватель провёл имитацию эксперимента по экстрасенсорному восприятию, в котором 40 студентов попросили угадать, какую из четырёх карт, пронумерованных 1-4, случайно выбрал преподаватель. Являются ли закономерности в этих данных существенными и статистически убедительными?

В игре «камень, ножницы, бумага» два игрока одновременно показывают кулак (камень), два пальца (ножницы) или открытую ладонь (бумага). Камень побеждает ножницы, ножницы побеждают бумагу, а бумага побеждает камень. Исследователь сыграл эту игру со 120 людьми, фиксируя первоначальный ход каждого соперника. Используйте эти данные для проверки нулевой гипотезы о том, что камень, ножницы и бумага используются одинаково часто в качестве первого хода: 27 камень, 54 ножницы и 39 бумага. Являются ли наблюдаемые различия существенными?

Когда «Титаник» затонул в 1912 году, на его борту находилось 1,315 пассажиров: 402 взрослые женщины, 805 взрослых мужчин и 108 детей. Из 498 пассажиров, спасённых, было 296 взрослых женщин, 146 взрослых мужчин и 56 детей. В какой группе доля спасённых была непропорционально велика? Непропорционально мала? Отвергают ли эти данные на уровне $1 \%$ нулевую гипотезу о том, что шансы человека быть спасённым не зависели от группы, к которой он или она принадлежали?

Преподаватель статистики подбросил правильную монету 10 раз и попросил каждого из 24 студентов угадать, будет ли выпадать орёл или решка. Затем каждый студент нашёл самую длинную серию в своих догадках; например, при таких данных Р О Р Р О Р О О О Р самая длинная серия равна 3. Результаты были следующими:

Какую закономерность вы видите в этих результатах? Являются ли отклонения от ожидаемых значений существенными и статистически убедительными? Если да, как бы вы объяснили эти закономерности?

Исследование менеджеров высшей бейсбольной лиги (MLB) с 1871 по 2007 год показало, что 540 менеджеров играли в профессиональный бейсбол до того, как стать менеджером, при этом основные позиции распределились следующим образом: питчер (51), кэтчер (116), инфилдер (262) и аутфилдер (111). Используйте эти данные для проверки нулевой гипотезы о том, что соответствующие вероятности равны 1/9 для питчера, 1/9 для кэтчера, 4/9 для инфилдера и 3/9 для аутфилдера. Какие закономерности вы видите в ваших данных? Являются ли эти закономерности существенными и статистически убедительными?

Пять позиций в баскетбольной команде показаны ниже. По состоянию на 2012 год 167 из 299 главных тренеров НБА играли в НБА. Их игровые позиции:

Есть ли существенные и статистически убедительные свидетельства против гипотезы о том, что тренеры с равной вероятностью происходят из каждой из этих пяти позиций?

В исследовании изучались позиции, на которых играли 70 менеджеров пяти ведущих профессиональных футбольных лиг в сезоне 2022 года, ранее игравших в профессиональный футбол:

Полагая, что $3/11$ всех игроков — нападающие, $3/11$ — полузащитники, $4/11$ — защитники и $1/11$ — вратари, какие закономерности вы видите в ваших данных? Являются ли эти закономерности существенными и статистически убедительными?

Когда 100 студентам программы MBA в MIT были предложены эти три варианта подписки на The Economist, 16 выбрали онлайн-подписку, никто не выбрал печатную подписку, а 84 выбрали комбинированную подписку:

Когда 100 другим студентам были предложены всего два варианта, 68 выбрали онлайн-подписку и 32 выбрали комбинированную подписку:

Является ли эта наблюдаемая разница в выборе онлайн- и комбинированной подписки между этими двумя предложениями существенной и статистически убедительной?

Студентка спросила случайную выборку из 54 своих однокурсников, страдают ли они близорукостью и выше или ниже B+ их средний балл (GPA):

Сто студентам был задан следующий вопрос:

У вас есть билет эконом-класса на рейс из Нью-Йорка в Лондон. Поскольку на рейс было продано больше билетов, чем мест, случайно отобранным пассажирам будет разрешено сесть на свободные места первого класса. Вы — первый выбранный человек. С кем бы вы предпочли сидеть рядом: (a) с Джо Байденом; (b) с Джилл Байден; или (c) с Майклом Джорданом?

Вот результаты:

В онлайн-курсе статистики для колледжей студентов попросили применить критерий хи-квадрат к следующим наблюдаемым и ожидаемым значениям:

Почему этот вопрос некорректен?

Семьдесят два случайно отобранных студента колледжа попробовали три немаркированных печенья с шоколадной крошкой и должны были указать, какое им понравилось больше всего: 13 студентов выбрали Chips Ahoy; 12 выбрали Lady Lee, а 47 выбрали печенье из супермаркетской пекарни. Являются ли эти различия существенными и статистически убедительными? Какова ваша нулевая гипотеза?

На полной пирамиде бильярдных шаров 99 разбивающих ударов привели к забитию 54 шаров, распределившихся среди 15 шаров следующим образом:

Разделив пирамиду на три категории (угловые, соседние и прочие), есть ли существенная и статистически убедительная связь между положением шара в пирамиде и вероятностью его забития при разбивающем ударе?

Русский статистик по имени Ладислаус Борткевич исследовал, было ли число солдат, погибших от удара копытом лошади, случайно распределено среди прусских кавалерийских корпусов. Он собрал данные о 122 смертях за 20-летний период в 12 кавалерийских корпусах. Используя распределение Пуассона, он вычислил ожидаемое число случаев, когда в корпусе не было бы смертей за один год (108.67), ожидаемое число случаев, когда в корпусе была бы одна смерть (66.29), и так далее. Он сравнил эти ожидаемые числа с фактическим числом случаев. Было высказано предположение, что соответствие между предсказанными и наблюдаемыми случаями слишком хорошее, чтобы быть правдой. Как бы вы это проверили?

В исследовании черновиков студенческих работ было подсчитано, насколько часто использовались буквы, и с какой частотой возникали опечатки. Например, «Firday» — это опечатка на i и опечатка на r; «Froday» или «Frday» — это опечатка на i; а «Friuday» — опечатка на u. Данные были сгруппированы по ряду клавиатуры:

Вычислите ожидаемое число ошибок для каждой из этих четырёх категорий, предполагая, что 75 ошибок распределены в соответствии с частотой использования букв. Являются ли различия между ожидаемым и фактическим числом ошибок существенными и статистически убедительными?

Исследователь предположил, что непропорционально большое число людей может рождаться в определённые месяцы (например, в ноябре, который наступает через 9 месяцев после Дня святого Валентина). Используйте следующие данные о месяцах рождения

148 студентов колледжа, чтобы проверить на уровне $5 \%$ нулевую гипотезу о том, что все месяцы рождения равновероятны:

В университетском исследовании изучалась связь между размером обуви женщины и тем, испытывала ли она часто боли в стопах. Являются ли наблюдаемые различия существенными и статистически убедительными?

Мандаринское, кантонское и японское произношение слов «четыре» и «смерть» почти идентичны, и многие китайцы и японцы считают число 4 несчастливым. Жители Калифорнии могут в некоторой степени влиять на последние четыре цифры своих телефонных номеров, и в исследовании последних четырёх цифр телефонных номеров 1984 китайских и японских ресторанов Калифорнии было подсчитано, сколько раз встречалась каждая из цифр 0-9. Являются ли различия между цифрами существенными и статистически убедительными?

Было высказано предположение, что люди могут откладывать свою смерть до после празднования важного события. Вот данные по еврейским членам похоронного дома Sinai Memorial Chapel в Сан-Франциско, умершим в течение 4 недель до или после Песаха в период с 1 января 1987 года по 31 декабря 1995 года. Дают ли эти данные существенное и статистически убедительное подтверждение этой теории?

Студентка-наблюдатель посетила восемь различных занятий в колледже и зафиксировала число студенток и студентов в каждой аудитории, а также пол каждого студента, сделавшего устное замечание, задавшего вопрос или обратившегося с комментарием к преподавателю. Она обнаружила, что на этих занятиях было 88 студенток и 107 студентов, а всего было 276 обращений студентов к преподавателю, из которых 138 сделали женщины и 138 — мужчины. Являются ли эти наблюдаемые различия существенными и статистически убедительными?

В опросе, проведённом Национальным центром изучения общественного мнения, 756 случайно отобранных американцев спросили, слишком ли много или слишком мало денег тратится на «welfare» («социальную помощь»), тогда как случайную выборку из 761 американца спросили, слишком ли много или слишком мало денег тратится на «помощь бедным». Являются ли различия в результатах существенными и статистически убедительными?

Чтобы выяснить, добиваются ли женщины большего успеха в колледжах с обучением только для женщин или в смешанных колледжах, выборки женщин, обучающихся в женском колледже и в смешанном колледже, спросили: «Считаете ли вы, что вы успешны в своём колледже?» Результаты были следующими:

Исследователь объяснил, что «критерий хи-квадрат использовался, чтобы выяснить, статистически ли значимы результаты. Мы предполагаем, что положительный ответ является достоверной мерой истинного успеха, так что нулевая гипотеза состоит в том, что вероятность равна 0.5, поскольку существует 50-процентная вероятность согласиться либо с тем, что да, человек успешен, либо с тем, что нет, человек не успешен». Наблюдаемые значения сравнивались со следующими ожидаемыми значениями:

Объясните, почему эта процедура не убедительна, а затем проведите надлежащую статистическую проверку.

Восемьдесят пять случайно отобранных студентов колледжа были спрошены, были ли у них серьёзные романтические отношения в последние 2 года, и если да, назвать месяц, когда начались самые недавние отношения.

Критерий хи-квадрат использовался для проверки нулевой гипотезы о том, что каждый месяц равновероятен для начала романтических отношений. Укажите три различные ошибки в следующем выводе (не проверяйте арифметику):

Ожидаемое значение для каждого месяца равно $85 / 12=7.083$. Значение хи-квадрат равно 15.66, а двустороннее p-значение равно .154. Следовательно, отклонения между наблюдаемыми и ожидаемыми значениями слишком малы, чтобы их можно было правдоподобно объяснить случайной ошибкой выборки. Результаты статистически существенны, поскольку имеется более 5 степеней свободы.

Преподаватель показал 56 студентам четыре игральные карты, пронумерованные 1, 2, 3 и 4; перетасовал их за спиной; а затем выбрал одну из карт. Пока он смотрел на выбранную карту, студенты пытались прочитать его мысли и записывали свою наилучшую догадку о том, какая карта была выбрана. Вот результаты:

Что не так с этим вычислением статистики хи-квадрат и почему это важно?

Исследователь изучил выбор мужчин и женщин между Coke и Diet Coke и получил значение хи-квадрат .0383: «Это означает, что я могу отклонить нулевую гипотезу о том, что мужчины и женщины с равной вероятностью предпочитают Coke или Diet Coke, поскольку 0.0383 меньше 0.05». Что неверно в этом выводе?

Два профессора изучили месяцы рождения 76 игроков высшей бейсбольной лиги, покончивших с собой. Они вычислили скорректированное число самоубийств для каждого месяца рождения, разделив число самоубийств в этом месяце на общее число игроков с этим месяцем рождения и умножив на 1,000. Например, всего было 638 игроков с месяцем рождения январь; поэтому скорректированное январское число составляет $1,000(6 / 638) =9.4$, округлённое до 9. Ожидаемое значение для каждого месяца составляло 126/12= 10.5, и их вычисленное значение хи-квадрат равнялось

Объясните, почему предложенный тест неверен, и укажите правильный тест:

Я использовал критерий хи-квадрат для изучения связи между процентом выпускников средней школы в округах Калифорнии и доходом на душу населения за последние 12 месяцев в этих округах. Вот мои результаты для первых четырёх округов Калифорнии по алфавиту:

Процент выпускников — это доля лиц в возрасте $25+$, окончивших среднюю школу, а доход на душу населения — годовой доход (в долларах 2012 года) за 2008-2012 годы. Значение хи-квадрат равно 8.58, а $p$-значение равно .0353, что означает, что мы отклонили бы нулевую гипотезу на уровне $5 \%$, но не на уровне $1 \%$.

Два исследователя собрали данные о днях рождения и днях смерти 120 случайно отобранных умерших знаменитостей. Эти данные были разделены на три категории: смерти, произошедшие в течение 30 дней, предшествующих дню рождения; смерти, произошедшие в день рождения или в течение 29 дней после дня рождения; и смерти в другие дни. Статистика хи-квадрат использовалась для проверки нулевой гипотезы о том, что день смерти человека не связан с его или её днём рождения:

Какую фундаментальную проблему вы видите в этом анализе?

Исследователь опросил 104 из 1,579 студентов колледжа, чтобы выяснить, различаются ли религиозные убеждения по уровню курса, предполагая, что студенты, обучающиеся в колледже, становятся менее религиозными в период между первым и последним курсом:

Он не обнаружил статистически значимой связи, поэтому «использовал выборочное среднее для оценки среднего генеральной совокупности»; например, (1,579/104) $11=167$. Его значение хи-квадрат теперь составило 102.29, что статистически значимо на уровне $5 \%$. В чём заключается изъян его процедуры?

В течение нескольких лет производитель обычных MM's утверждал, что общие доли конфет разных цветов таковы: $30 \%$ коричневых, $20 \%$ красных, $20 \%$ жёлтых, $10 \%$ синих, $10 \%$ зелёных и $10 \%$ оранжевых. Случайно отобранный пакет обычных MM's весом 17.6 унций дал следующие данные: $34 \%$ коричневых, $18 \%$ красных, $21 \%$ жёлтых, $12 \%$ синих, $7 \%$ зелёных и $8 \%$ оранжевых. Исследователи использовали эту статистику хи-квадрат:

p-значение составило .78. Их вывод: «Вероятность того, что каждый цвет соответствует нулевой гипотезе, была довольно высокой, и её нельзя отклонить на уровне $5 \%$».