Регрессия к среднему

Полиция Великобритании установила камеры контроля скорости в местах, где наблюдался всплеск дорожно-транспортных происшествий. Эта политика обосновывалась тем фактом, что после установки камер контроля скорости в этих опасных местах, как правило, наблюдалось снижение числа ДТП. Объясните, почему выгода, скорее всего, переоценена.

Работая консультантом Военно-воздушных сил Израиля в конце 1960-х годов, Дэниел Канеман узнал от лётных инструкторов, что курсанты улучшали результаты после того, как на них накричали за плохое выполнение упражнения. Как, по-вашему, Канеман объяснил это противоречие своему твёрдому убеждению, что инструкторам следует использовать положительное поощрение?

В психологическом эксперименте участников просили представить себя учителями, имеющими дело с учениками, которые иногда опаздывали на занятия. Почти все участники решили наказывать опоздавших и были рады, что после наказания опаздывавшие ученики стали приходить более пунктуально. Однако время прихода каждого ученика было заранее случайным образом задано до начала эксперимента. Как вы объясните эти результаты?

Объясните, почему вы согласны или не согласны со следующим объяснением регрессии к среднему, данным доверительным управляющим инвестициями:

Ключевые финансовые показатели компаний со временем имеют тенденцию возвращаться к среднему по рынку в целом. Высокая доходность привлекает новых участников, что снижает прибыльность, тогда как низкая доходность приводит к уходу конкурентов, оставляя более прибыльную отрасль для выживших.

Объясните, почему вы согласны или не согласны с высказыванием Питера Бернстайна из книги «Против богов»: «Регрессия к среднему... — это то, что порождает мечту игрока о том, что длинная серия проигрышей обязательно сменится длинной серией выигрышей».

Питер Бернстайн, автор книги «Против богов», приводит следующий пример регрессии к среднему: «Иосиф держал в уме эту предопределённую последовательность событий, когда предсказал, что за семью годами изобилия последуют семь лет голода». Является ли это хорошим примером регрессии к среднему?

С 1937 года социологическая организация Gallup задаёт американцам вопрос: «Одобряете ли вы то, как XYZ справляется со своими обязанностями президента?» Из всех избранных президентов начиная с 1937 года у каждого к концу первого срока рейтинг одобрения был ниже, чем в начале. Дайте статистическое объяснение.

Сэр Фрэнсис Гальтон заметил, что взрослые дети необычно высоких родителей, как правило, оказывались несколько ниже своих родителей, тогда как обратное было верно для детей необычно низких родителей. Означает ли это, что вскоре все мы будем одного роста?

Предположим, вы встречаете 25-летнего мужчину ростом 6 футов 2 дюйма, и он сообщает вам, что у него есть два брата, один 23 лет, другой 27 лет. Если бы вам нужно было угадать, является ли он самым низким, самым высоким или средним по росту из этих трёх братьев, что бы вы выбрали? Объясните ваши рассуждения.

На обложке журнала Sports Illustrated от 18 ноября 1957 года была фотография футбольной команды Оклахомы, не проигравшей 47 игр подряд, с подписью «Почему Оклахому не одолеть». В субботу после выхода этого номера Оклахома проиграла команде Нотр-Дам со счётом 7:0, что положило начало легенде о «проклятии обложки Sports Illustrated» — результаты человека или команды обычно ухудшаются после того, как они попадают на обложку Sports Illustrated. Какой статистический аргумент мог бы объяснить «проклятие обложки Sports Illustrated»?

Дайте статистическое объяснение тому факту, что (по состоянию на май 2023 года) в общей сложности 230 гольфистов выиграли хотя бы один из четырёх главных мужских турниров по гольфу, но $143 (62\% )$ из этих гольфистов выиграли лишь однажды.

Премия Сая Янга ежегодно вручается лучшему питчеру Американской и Национальной лиг Главной лиги бейсбола. Ламар Хойт получил премию Сая Янга в 1983 году, а в 1984 году жаловался, что на него наложено проклятие: «Скажу вам, в этом сезоне было немало моментов, когда я чувствовал себя проклятым. Со мной случалось много необъяснимого». В статье, освещавшей его жалобу, отмечалось, что все четыре предыдущих обладателя премии Сая Янга провели разочаровывающий сезон в год после её получения.

Современный инструмент оценки бейсболистов — показатель WAR (wins above replacement, «победы сверх замены») — чем выше, тем лучше. На рисунке ниже показан средний WAR для всех обладателей премии Сая Янга за 2000-2023 годы в сезон получения награды, а также в сезоны до и после этого. Согласуются ли эти данные с теорией проклятия? Как бы вы объяснили эти данные?

В настольной игре «Колонизаторы» пара шестигранных костей бросается на каждом ходу, чтобы определить, как новые ресурсы распределяются между игроками. Когда Джим играет в «Колонизаторов», он записывает каждый бросок костей и неизменно обнаруживает, что одни числа выпадают чаще ожидаемого, а другие — реже. Например, числа 6 и 8 равновероятны, но почти никогда не выпадают одинаково часто.

Тысячи семян гороха были разделены на семь категорий по размеру, и для каждой категории записывался средний размер семян у растений-потомков. Диаграмма рассеяния сравнивала диаметры семян гороха (в сотых долях дюйма) у родительских растений и растений-потомков. Как бы вы объяснили тот факт, что подобранная прямая не проходит через начало координат с наклоном, равным единице?

В соревнованиях по скоростному лазанию два спортсмена одновременно карабкаются по одинаковым 15-метровым стенам, соревнуясь за то, кто первым коснётся кнопки наверху. Время элитных спортсменов в среднем составляет около 5 секунд. В турнире четыре спортсмена, прошедшие предварительные раунды, выходят в полуфинал. Победители каждого из двух полуфинальных забегов выходят в «Большой финал», где соревнуются за первое и второе места. Проигравшие двух полуфинальных забегов соревнуются друг с другом в «Малом финале» за третье и четвёртое места.

Первое, второе и третье места считаются «призовыми» и приносят основную часть призовых денег. Исследователь выдвинул гипотезу о том, что качественное различие между третьим и четвёртым местом стимулирует спортсменов в Малом финале прилагать больше усилий. Его исследование турнирных данных показало, что два спортсмена, соревнующиеся за первое и второе места в Большом финале, обычно показывают результат хуже, чем в своём полуфинальном раунде, тогда как два спортсмена, соревнующиеся за третье и четвёртое места в Малом финале, обычно показывают результат лучше, чем в своём полуфинальном раунде. Дайте чисто статистическое объяснение того, как такое может происходить, даже если каждый спортсмен прилагает одинаковые усилия в каждом забеге.

Сто фирм были разбиты на квартили по их прибыли за 1930 год (доходность активов): верхние 25, вторые 25, третьи 25 и нижние 25. Затем для фирм в каждом из этих квартилей 1930 года были рассчитаны средние показатели прибыли за 1930 и 1920 годы. Как бы вы объяснили этот график?

Медаль Джона Бейтса Кларка ежегодно вручается лучшему американскому экономисту в возрасте до 40 лет. Медаль 2021 года получил Исайя Эндрюс. Одной из областей его интересов является «проклятие победителя», которое журнал The Economist описал следующим образом: когда речь идёт о выборе между политиками: политика, которая показала лучший результат в испытании... впоследствии обречена на разочарование. Чтобы это проиллюстрировать, исследователи обращаются к испытанию, оценивающему наиболее эффективные способы стимулирования людей жертвовать на благотворительность путём сочетания просьб о конкретных пожертвованиях с обещаниями удвоить первоначальный взнос. Исследователи обнаруживают, что если благотворительная организация выбирает метод, показавший наилучший результат в испытании, она всегда переоценивает свои будущие пожертвования. Объясните проклятие победителя статистически.

В исследовании 30 акций, входящих в индекс Dow Jones Industrial Average, за 10-летний период были получены следующие оценки:

где: > $\mathrm{R}=$ процентная доходность активов фирмы в этом году > $\mathrm{R}_{-1}=$ процентная доходность активов фирмы в предыдущем году

Есть ли свидетельства регрессии к среднему? Как вы можете это определить?

Преподавательница статистики построила диаграмму рассеяния оценок своих студентов за промежуточный и итоговый экзамены (каждая по шкале от 0 до 100), поместив оценки за промежуточный экзамен на оси X, и обнаружила, что наклон, полученный методом наименьших квадратов, оказался меньше 1.

Как бы вы объяснили «проклятие комментатора»?

Болельщикам никогда не нравится, когда комментаторы упоминают длинную положительную серию их любимой команды. Зачем сглазить игрока, реализовавшего 28 штрафных бросков подряд? Кикера, не промахнувшегося с расстояния до 40 ярдов последние три сезона? «Незачем испытывать судьбу!» — кричим мы с диванов.

Учитывая это, болельщикам «Кливленд Браунс» пришлось поморщиться в воскресенье, когда CBS вывела на экран графику, отмечающую, что команда не потеряла мяч в 99 выходах в красную зону. Им пришлось поворчать, когда комментаторская команда в составе Эндрю Каталона и Стива Бойерляйна хвалила «Браунс» за их безошибочную игру. И им наверняка пришлось проклинать всё на свете, когда раннинбек Айзея Кроуэлл буквально через несколько секунд потерял мяч.

На конкретном примере объясните, является ли регрессия к среднему тем же самым, что и закон средних чисел, или нет.

Для гольфистов, сыгравших последние два раунда турниров Masters по гольфу 2015 и 2016 годов, корреляция между их результатами 2015 и 2016 годов составила .38. Для 15 лучших гольфистов корреляция между их результатами 2015 и 2016 годов составила .04. Это пример

Какой статистической закономерностью вы бы объяснили тот факт, что большинство сиквелов фильмов не так хороши, как оригинал?

Используйте один статистический аргумент, чтобы объяснить эти два афоризма: «Трава всегда зеленее по ту сторону забора». «Близкое знакомство порождает пренебрежение».

Evergreen Day School — престижная частная школа в пригороде с репутацией академического превосходства — использует тесты Educational Records Bureau (ERB) как важный компонент процесса приёма.

После зачисления в первый класс тесты ERB проводятся ежегодно для оценки успеваемости каждого ученика. В следующей таблице с помощью процентилей сравниваются результаты ERB учеников, принятых в Evergreen в 2008 году, с результатами учеников пригородных государственных школ. Например, первоклассники Evergreen в среднем набрали результат на уровне 91.2-го процентиля по сравнению с пригородными государственными школами. Те же ученики Evergreen сдавали тесты ERB в первом, третьем и пятом классах.

Как статистик мог бы объяснить эти данные, помимо того, что Evergreen хуже государственных школ? Объясните ваши рассуждения словами, понятными директору школы.

В статье Sports Illustrated 2016 года отмечалось, что «Чикаго Кабс» выиграли 24 из первых 30 матчей Главной лиги бейсбола и что лишь 13 команд показывали такой результат за всю историю современного бейсбола. Какую закономерность вы видите в этих данных как статистик и как бы вы её объяснили?

Объясните, согласны вы или нет со следующим рассуждением:

Регрессия к среднему непосредственно вытекает из закона больших чисел, который гласит, что по мере увеличения числа испытаний наблюдаемая частота события сходится к его вероятности. Например, при большом числе бросков костей числа выше среднего (4, 5 и 6) будут выпадать в половине случаев, а числа ниже среднего (1, 2 и 3) — в другой половине случаев. Таким образом, бросок выше среднего (например, 5) обязательно должен быть скомпенсирован броском ниже среднего (например, 2), что и есть регрессия к среднему.

В 1930-х годах Гораций Секрист, профессор статистики Северо-Западного университета, написал книгу с провокационным названием The Triumph of Mediocrity in Business («Триумф посредственности в бизнесе»). Секрист обнаружил, что предприятия с исключительно высокой прибылью в какой-либо год, как правило, показывают меньшую прибыль в следующем году, тогда как фирмы с очень низкой прибылью, как правило, показывают несколько лучший результат в следующем году. Из этого он сделал вывод, что сильные компании слабеют, а слабые усиливаются, так что вскоре все станут посредственными. Как статистик мог бы объяснить эти данные, не делая никаких экономических допущений?

Фермер продала калифорнийскую землю, которую обрабатывала 20 лет, и купила сельскохозяйственные угодья на Среднем Западе после осмотра 20 различных участков в пяти разных штатах, проведя по одному дню на каждом участке. Дайте чисто статистическое объяснение того, почему участок, который кажется наиболее привлекательным, вероятно, не так хорош, как кажется. Объясните ваши рассуждения подробно.

Маркус Ли предложил стратегию ставок, основанную на логике регрессии к среднему и данных о том, как профессиональные футбольные команды выступали в последние недели. Как вы думаете, он рекомендовал ставить за или против команд, показывавших плохие результаты? Объясните ваши рассуждения.

Объясните следующее наблюдение нобелевского лауреата Дэниела Канемана: «Как я ясно осознал лишь несколько лет спустя, когда преподавал статистику, идея о том, что прогнозы должны быть менее крайними, чем информация, на которой они основаны, глубоко противоречит интуиции».

В 2017 году известный экономист утверждал, что отношение цены нефти к цене золота является «золотой константой»:

Идея в том, что если цена на нефть резко меняется, отношение цены нефти к цене золота меняется и отклоняется от своего долгосрочного значения. Затем приводятся в действие силы, изменяющие спрос и предложение таким образом, что цена на нефть меняется и долгосрочное отношение цены нефти к цене золота восстанавливается. Это не что иное, как возврат к среднему.

Объясните, считаете ли вы это примером принципа регрессии к среднему или нет.

Были собраны данные о результатах гольфа за первый и второй раунды турниров Ассоциации профессионального гольфа (PGA) за 2002-2018 годы. Результаты первого раунда в каждом турнире были разделены на группы «лучше среднего» («хорошие») и «хуже среднего» («плохие»). Затем были рассчитаны средние результаты первого и второго раундов для хороших и плохих гольфистов.

В данных «Сортировка по раунду 1» в таблице D1 — это средняя разница между результатами первого раунда плохих и хороших гольфистов; D2 — это средняя разница между результатами второго раунда тех же плохих и хороших (по раунду 1) гольфистов. (Эти значения положительны, потому что в гольфе низкий результат — это хорошо.) Данные «Сортировка по раунду 2» в таблице показывают те же расчёты, когда гольфисты сортируются по результатам второго раунда.

Как вы объясните тот факт, что D2 меньше D1, когда гольфисты сортируются по результатам первого раунда, но верно обратное, когда данные сортируются по результатам второго раунда?

В книге и рецензии на неё, написанных видными экономистами, утверждалось, что темпы экономического роста стран со временем сближаются. Милтон Фридман написал меткий комментарий под названием «Неужели старые заблуждения никогда не умирают?»

Меня удивляет, что рецензент и авторы, все выдающиеся экономисты, прекрасно владеющие современными статистическими методами, не заметили, что совершили... ошибку.... Впрочем, удивление, возможно, не оправдано, учитывая повсеместность этой ошибки как в популярных обсуждениях, так и в академических исследованиях.

О каком заблуждении говорит Фридман?

Дайте чисто статистическое объяснение следующему наблюдению: «Очень умные женщины склонны выходить замуж за мужчин, менее умных, чем они сами».

В сфере тестирования в образовании способности студента определяются как (теоретический) средний балл студента по большому числу тестов, схожих по предметному содержанию и сложности. Балл студента на конкретном тесте с равной вероятностью может быть выше или ниже его способностей. Предположим, группа из 100 студентов сдаёт два похожих теста, и баллы по каждому тесту имеют среднее значение 65 при стандартном отклонении 14. Если балл студента за второй тест равен 52, каким, по вашему прогнозу, был балл этого студента за первый тест: (a) ниже 52; (b) 52; (c) между 52 и 65; (d) 65; или (e) выше 65? Объясните ваши рассуждения.