Вероятности

В этой ярмарочной игре игрок скатывает четыре шарика, по одному за раз, по неровному желобу, в конце которого расположены четыре коробки:

Каждая коробка достаточно глубока, чтобы вместить все четыре шарика, и каждый шарик с равной вероятностью может попасть в любую из четырёх коробок (это игра случая, а не мастерства). Участник платит $\$ 1$ за игру и выигрывает $\$ 5$, если каждый шарик попадает в свою коробку. Какова вероятность выигрыша в этой игре? Какую прибыль в среднем может ожидать ярмарка с каждой игры?

В этой ярмарочной игре три шарика бросают в расположенные как в крестики-нолики девять ячеек, каждая из которых достаточно велика, чтобы вместить один шарик:

Ячейки окружены ограждением, так что каждый шарик обязательно попадает в одну из ячеек. Если шарики попадают в ячейки случайным образом, каковы шансы получить «три в ряд» (три шарика подряд по горизонтали, вертикали или диагонали)?

В долгих автомобильных поездках миссис Смит ведёт машину, а мистер Смит указывает направление. Когда на дороге есть развилка, его указания верны в $30 \%$ случаев и неверны в $70 \%$. После того как её много раз обманывали, миссис Смит следует указаниям мистера Смита в $30 \%$ случаев и поступает наоборот в $70 \%$ случаев. Полагая независимость, как часто они едут по правильной развилке дороги? Если миссис Смит хочет максимизировать вероятность выбора правильной дороги, как часто ей следует следовать его указаниям?

При «пуловом тестировании» образцов крови 25 человек все 25 образцов смешивают в одну партию (пул) и тестируют вместе. Если тест отрицателен, все 25 образцов считаются отрицательными. Если тест положителен, то 25 человек тестируют индивидуально. Если вероятность положительного результата теста равна .01, каково математическое ожидание числа тестов при использовании пулового тестирования?

Ответьте на это письмо в рубрику Ask Marilyn:

Вы на вечеринке с 199 другими гостями, когда врываются грабители и объявляют, что собираются ограбить одного из вас. Они кладут в шляпу 199 чистых листков бумаги плюс один с надписью «вы проиграли». Каждый гость должен вытянуть листок, и человека, вытянувшего «вы проиграли», ограбят. Грабители предлагают вам на выбор тянуть первым, последним или в любой момент между ними. Когда бы вы предпочли тянуть свою очередь?

Смит обожает играть в сквош. Андраби устроил состязание, в котором Смит получит приз, если сможет выиграть две игры подряд в матче из трёх игр, попеременно играя против Андраби и Эрнста, либо в порядке Андраби-Эрнст-Андраби, либо Эрнст-Андраби-Эрнст. Предположим, что Андраби играет лучше Эрнста и что шансы Смита выиграть игру против любого из игроков не зависят от порядка проведения игр и от исходов других игр. Какую последовательность следует выбрать Смиту и почему?

Каковы шансы простофили выиграть в эту игру?

Возьмите непрозрачную бутылку и семь оливок — две зелёные и пять чёрных. Поместите все семь оливок в бутылку, горлышко которой пропускает только одну оливку за раз. Попросите простофилю встряхнуть бутылку, а затем поспорьте, что он не сможет выкатить три оливки подряд, не получив неудачную зелёную.

По имеющимся сведениям, Рональда Фишера натолкнул на размышления о статистической значимости знаменитый эксперимент, связанный с послеобеденным чаепитием в сельскохозяйственной исследовательской лаборатории, где он работал. Он приготовил чашку чая для коллеги, Мюриэл Бристоль, которая отказалась её пить, потому что Фишер налил в чашку сначала молоко, а потом чай, тогда как она предпочитала обратный порядок. Фишер сомневался, что она способна почувствовать разницу, поэтому предложил ей пройти испытание. Он приготовил восемь чашек чая — в четырёх сначала было молоко, в четырёх сначала чай — и попросил её определить, где какая, сделав глоток из каждой чашки. Она угадала все восемь правильно. Какова вероятность того, что она угадает все восемь правильно, если бы просто гадала наугад?

Галилей написал заметку о вероятности получить сумму $9,10,11$ или 12 при броске трёх костей. Утверждалось, что эти суммы равновероятны, потому что есть шесть способов получить $9$ ($1-4-4,1-3-5,1-2-6,2-3-4,2-2-$ 5, или $3-3-3$), шесть способов получить $10$ ($1-4-5,1-3-6,2-4-4,2-3-5,2-2-6$, или $3-3-4)$, шесть способов получить $11$ ($1-5-5,1-4-6,2-4-5,2-3-6,3-4-4$, или $3-3-5)$, и шесть способов получить $12$ ($1-5-6,2-4-6,2-5-5,3-4-5,3-3-6$, или $4-4-4)$. Тем не менее Галилей заметил, что «по долгим наблюдениям, игроки считают 10 и 11 более вероятными, чем 9 или 12». Каковы правильные вероятности?

В маджонг играют набором из 144 случайно перемешанных костей, включая 16 костей ветра, состоящих из 4 костей «Восток», 4 костей «Юг», 4 костей «Запад» и 4 костей «Север». В тайваньском маджонге каждому из 4 игроков в начале игры раздают по 16 костей. Если вы один из четырёх игроков, какова вероятность того, что

В маджонг играют набором из 144 случайно перемешанных костей рубашкой вверх, включая 8 бонусных костей (4 цветка и 4 сезона) и 136 остальных костей. В тайваньском маджонге каждому из 4 игроков в начале игры раздают по 16 костей. Затем они играют, вытягивая по одной кости из оставшихся костей рубашкой вверх. Игра заканчивается, если остаются только 16 костей рубашкой вверх и никто ещё не выиграл. Какова вероятность того, что игра закончится, когда все 8 бонусных костей окажутся среди последних 16 костей рубашкой вверх?

Ответьте на эту головоломку из радиопередачи Car Talk:

Много лет назад заключённого приговорили к смерти. Он был в своей камере, и надзиратель пришёл его навестить. Он сказал заключённому, что его шансы умереть на следующий день составляют 100 (вот это сюрприз, да?). Но надзиратель хочет повысить шансы заключённого до $50 \%$. Надзиратель даёт заключённому две коробки из-под обуви: одну с 50 белыми шариками, а другую с 50 чёрными шариками. Надзиратель придёт с завязанными глазами и вытянет шарик из одной из коробок. Белый — он живёт. Чёрный — он умирает.

Шарики можно расположить любым образом. Все шарики должны быть использованы в той или иной коробке. Есть ли способ повысить его шансы выше $50 \%$? Если да, какова новая вероятность?

Вам предлагают следующую игру. Честную монету будут подбрасывать, пока не выпадет решка. Затем игра заканчивается. Если решка выпадает при первом броске, вы выигрываете $\$ 1$. Если для этого нужно два броска, вы выигрываете $\$ 2$. Если нужно три броска, вы выигрываете $\$ 4$. И так далее.... Каково математическое ожидание выплаты?

Ответьте на этот вопрос в рубрику Ask Marilyn:

Я недавно вернулся из поездки в Китай, где правительство настолько обеспокоено ростом населения, что ввело строгие законы о размере семьи. В городах паре разрешается иметь только одного ребёнка. В сельской местности, где традиционно ценились сыновья, если первый ребёнок — сын, паре больше не разрешается иметь детей. Но если первый ребёнок — дочь, паре разрешается завести ещё одного ребёнка. Независимо от пола второго ребёнка, больше детей не разрешается. Как эта политика повлияет на соотношение мужчин и женщин?

Шестигранную кость с четырьмя зелёными и двумя красными гранями бросают 20 раз. Вы заранее выбираете одну из этих двух последовательностей и выигрываете $\$ 25$, если она встретится среди этих 20 бросков. Какую последовательность вы выберете?

В январе 1991 года, вскоре после начала воздушных налётов союзников на Ирак, газетный обозреватель написал, что «потери на вылет приближались к уровню Вьетнама и Кореи — четыре на каждую тысячу. Такой уровень звучит неплохо, пока не сделаешь арифметику с точки зрения лётчика и не осознаешь, что после 100 вылетов у тебя один шанс из трёх быть сбитым». Какова правильная вероятность не пережить 100 вылетов, если каждый вылет независим и имеет вероятность .004 быть сбитым?

Газета сообщила, что если у одного оборонительного рубежа вероятность сбить приближающийся самолёт равна .15, то у пяти рубежей вероятность сбить самолёт равна .75. Полагая независимость, какова правильная вероятность?

В ноябре 1996 года сообщалось, что вероятность разрушительного землетрясения в Калифорнии в любой конкретный год равна $1 / 80$, и что, следовательно, вероятность разрушительного землетрясения равна $1 / 20$ за любой 4-летний период и 1/8 за любой 10-летний период. Объясните, почему эта логика неверна, а затем приведите правильную вероятность разрушительного землетрясения за любой 10-летний период, если вероятность разрушительного землетрясения равна $1 / 80$ каждый год, независимо от того, происходит ли разрушительное землетрясение в другие годы.

Предположим, что 50-летние женщины делятся на две категории риска для здоровья: $80 \%$ с низким риском с вероятностью .003 умереть в течение года и $20 \%$ с высоким риском с вероятностью .006 умереть в течение года. Если компания продаёт случайно выбранной 50-летней женщине годичный полис страхования жизни за $\$ 5,000$, который выплатит либо $\$ 1,000,000$, либо ничего, в зависимости от того, умрёт ли женщина в течение года,

Раньше в тесте Scholastic Aptitude Test был штраф за неверный ответ. Если у вопроса с несколькими вариантами ответа пять возможных ответов, студенту начисляли 1 балл за правильный ответ и вычитали $1/4$ балла за неверный ответ. Каково было математическое ожидание при ответе на вопрос полностью случайным угадыванием? Сейчас штрафа за неверный ответ нет. Каково математическое ожидание случайного угадывания?

В карточной игре «Война» стандартная колода из 52 игральных карт делится поровну между двумя игроками. Каждый игрок открывает карту, и игрок со старшей картой забирает обе карты и кладёт их в низ своей колоды. (Туз старше всех, затем король, дама и так далее; масть не имеет значения.) Игра продолжается, пока у одного из игроков не закончатся карты. Если две открытые карты одного достоинства (например, две семёрки или два валета), объявляется «Война». Тогда каждый игрок кладёт одну карту рубашкой вверх и одну карту рубашкой вниз, и старшая открытая карта забирает все шесть карт. Какова вероятность того, что самый первый ход игры окажется «Войной»?

В стандартной колоде из 52 карт по 13 карт каждой масти: 13 пик, 13 червей, 13 бубен и 13 треф. В карточной игре бридж каждому из четырёх игроков раздают по 13 карт. Если вы сыграете одну игру, какова вероятность того, что вам достанется идеальная рука — все 13 карт одной масти?

Существует легенда, что французский дворянин Антуан Гомбо (Кавалер де Мере) выиграл значительную сумму денег, споря, что сможет выбросить хотя бы одну шестёрку за четыре броска одной шестигранной кости, но проигрывал деньги, споря, что сможет выбросить хотя бы одну двойную шестёрку за 24 броска пары костей. Де Мере попросил Паскаля проанализировать эти игры. Полагая честные кости, какова вероятность выбросить

В игре в кости «птичья клетка» бросают три стандартные шестигранные кости, и тройка выпадает, если все три числа на костях одинаковы; например, 1, 1, 1.

В азартной игре Chuck-A-Luck игрок может поставить $\$ 1$ на любое число от 1 до 6. Бросают три кости, и выплата зависит от того, сколько раз выпадает выбранное число. Например, если вы выбрали число 2, ваша выплата составит $\$ 4$, если число 2 выпадет на всех трёх костях. Каково математическое ожидание выплаты?

Ответьте на этот вопрос в рубрику Ask Marilyn, полагая, что каждое рождение независимо и с равной вероятностью может быть мальчиком или девочкой: «Если у вас четверо детей, они все могут быть одного пола, может быть трое одного пола и один другого, или может быть по двое каждого пола. Что наиболее вероятно?»

В 1999 году Салли Кларк, английского адвоката, обвинили в убийстве двух её младенцев-сыновей; она утверждала, что оба ребёнка умерли от синдрома внезапной детской смерти (СВДС). Профессор педиатрии свидетельствовал со стороны обвинения, что вероятность того, что ребёнок в благополучной семье умрёт от СВДС, равна 1/8500, и, следовательно, вероятность того, что двое детей в семье умрут от СВДС, равна $(1 / 8500)(1 / 8500)=1 / 72,250,000$, или примерно 1 к 72 миллионам. Как эксперт-свидетель со стороны защиты,

Если бросить шесть шестигранных костей, какова вероятность того, что выпадут числа $1-2-3-4-5-6$, не обязательно в этом порядке?

Давным-давно астрагалы (пяточные кости) животных использовались как кости для игры. Астрагал копытного животного имеет четыре разные стороны. Эксперименты показывают, что вероятности каждой из этих четырёх сторон равны $.39, .37, .12$ и .12. Одна из игр в Древней Греции состояла в одновременном броске четырёх астрагалов, при этом лучшим исходом была «Венера», при которой выпадает каждая из четырёх разных сторон. Какова вероятность выбросить «Венеру»?

Объясните, почему эта новость Yahoo News вводит в заблуждение:

Женщины, которых противоположный пол часто упрекает в якобы недостаточных водительских навыках, оказываются намного более безопасными и законопослушными водителями, чем их коллеги-мужчины, заявили британские чиновники. Из тех, кого суды Англии и Уэльса признали виновными во всех дорожных правонарушениях в 2002 году, 88 составили водители-мужчины.

Объясните, почему это вводит в заблуждение:

В 70 всех дорожно-транспортных происшествий водитель находится менее чем в 10 милях от дома в момент аварии. Эта статистика показывает, что водители склонны водить неосторожно, когда находятся рядом с домом, вероятно, потому что знакомая обстановка даёт им ложное чувство безопасности. Однако места, где люди чувствуют себя в наибольшей безопасности, на самом деле являются местами наибольшего риска серьёзной травмы.

Ответьте на этот вопрос колумнистке Мэрилин вос Савант:

Мой папа услышал эту историю по радио. В Дьюкском университете два студента получали пятёрки по химии все семестры. Но в ночь перед выпускным экзаменом они гуляли на вечеринке в другом штате и не вернулись в Дьюк до окончания экзамена. Их оправдание перед профессором состояло в том, что у них спустило колесо, и они попросили разрешить им сдать переэкзаменовку. Профессор согласился, составил тест и отправил их в разные комнаты сдавать его. Первый вопрос (на одной стороне листа) стоил пять баллов, и они легко на него ответили. Затем они перевернули лист и обнаружили второй вопрос, стоивший 95 баллов: «Какое именно колесо это было?» Какова была вероятность того, что оба студента скажут одно и то же? Мы с папой считаем, что это 1 к 16. Верно ли это?

В мешке пять шаров — три красных и два синих. Если шары вытаскивают по одному, какова вероятность того, что последний шар окажется синим?

Национальное общество профессиональных инженеров использовало следующий пример вопроса для продвижения своего национального математического конкурса среди учащихся средней школы:

Согласно Институту Элвиса, 45 случаев обнаружения Элвиса происходят к западу от Миссисипи, а $63 \%$ случаев — после 14:00. Каковы шансы обнаружить Элвиса к востоку от Миссисипи до 14:00?

Ответ по тесту составлял $(1-.45)(1-.63)=.2035$. Объясните, почему этот ответ неверен.

Во многих государственных лотереях главный приз переходит на следующий розыгрыш, если победителя нет. В 1992 году главный приз в Вирджинии вырос до $\$ 27$ миллионов. Билет стоит $\$ 1$, и покупатель выбирает 6 из 44 чисел (без повторений) — выигрывая главный приз, если это те самые 6 выигрышных чисел, не обязательно по порядку. Каково математическое ожидание выплаты от покупки билета?

В настольной игре «Колонизаторы» игроки по очереди бросают две стандартные шестигранные кости и складывают выпавшие числа. Если в игре на четырёх человек выпадает 7, любой игрок, у которого на руках больше семи карт, теряет половину своих карт. У Смита на руках десять карт, и он решает рискнуть, что никто из четырёх игроков не выбросит 7. Какова вероятность того, что его стратегия сработает?

В настольной игре «Колонизаторы» игроки по очереди бросают две стандартные шестигранные кости и складывают выпавшие числа. Чтобы выиграть игру на шесть человек на своём следующем ходу, Смиту нужно, чтобы хотя бы один из шести игроков выбросил 5 или 10. Каковы шансы Смита выиграть?

Мэтт — выпускник средней школы, играющий в бейсбол. Его тренер сказал Мэтту, что он входит в топ $5 \%$ всех выпускников средней школы, играющих в бейсбол, и что его баллы SAT ставят его в топ $5 \%$ выпускников средней школы по успеваемости. Поэтому он, вероятно, будет отобран в бейсбольную программу Лиги плюща, потому что его совместный спортивный и академический успех ставит его в топ $.25 \%$ всех выпускников средней школы, играющих в бейсбол: $.05(.05)=.0025$. Что не так с этим расчётом? Объясните, почему вы пересмотрели бы оценку в $.25 \%$ в бо́льшую или меньшую сторону.

Выпускница колледжа подала документы в три программы MBA и была помещена в лист ожидания во всех трёх. Поскольку ей сказали, что у студента из листа ожидания шанс быть принятым равен $1 / 3$, она решила, что наверняка попадёт хотя бы в одну из этих трёх программ, и не стала подавать документы больше никуда. (Это реальная история.) Если у неё шанс $1 / 3$ быть принятой в каждую программу и решения независимы, какова вероятность того, что она попадёт хотя бы в одну из этих программ? Почему решения могут быть не независимы? Если они не независимы, увеличили или уменьшили бы вы её шансы попасть хотя бы в одну программу?

Стоимость разработки сверхсекретного бомбового прицела Norden во время Второй мировой войны составляла $2/3$ стоимости Манхэттенского проекта и более $1/4$ стоимости производства всех бомбардировщиков B-17, использованных в войне. Армия США оценила, что у бомбы, сброшенной с B-17 на высоте 20 000 футов с использованием Norden, вероятность попадания в пределах 100 футов от цели составляла $1.2 \%$. Полагая независимость, сколько бомб потребовалось бы, чтобы дать вероятность $95 \%$ того, что хотя бы одна бомба попадёт в пределах 100 футов от цели?

На курсе статистики учатся 24 студента. Преподаватель задаёт 17 вопросов и использует генератор случайных чисел, чтобы выбрать, кто из студентов ответит на каждый вопрос. Выбор происходит с возвращением, так что одному студенту, возможно, придётся отвечать более чем на один вопрос. Какова вероятность того, что повторов не будет, так что на 17 вопросов ответят 17 разных студентов?

Автомобиль оштрафовали в Швеции за слишком долгую парковку в зоне с ограничением времени после того, как полицейский зафиксировал положение двух вентилей шин с одной стороны автомобиля (в положениях «1 час» и «8 часов») и, вернувшись через несколько часов, обнаружил автомобиль на том же месте с вентилями шин в том же положении. Водитель утверждал, что он уезжал и вернулся позже, чтобы припарковаться на том же месте, и что то, что оба вентиля шин остановились в тех же положениях, что и раньше, было совпадением. Суд принял довод водителя, вычислив вероятность того, что оба вентиля остановятся в прежних положениях, как $(1 / 12)(1 / 12)=1 / 144$, и посчитав, что эта вероятность недостаточно мала, чтобы исключить разумное сомнение. Суд, однако, указал, что если бы полицейский отметил положение всех четырёх вентилей шин и обнаружил, что они не изменились, очень малая вероятность такого совпадения $(1 / 12)^{4}=.0005$ была бы принята как доказательство того, что автомобиль не двигался. Как адвокат защиты клиента с четырьмя вентилями, как бы вы оспорили этот расчёт?

Рассмотрим эту систему ставок «удвоение». Вы можете делать следующую ставку столько раз, сколько захотите: выбрать орла или решку при броске полностью честной монеты. Если вы ставите $\$ \mathrm{X}$, вы выигрываете $\$ \mathrm{X}$, если угадали, и проигрываете $\$ \mathrm{X}$, если не угадали. Ваша система удвоения предназначена для того, чтобы выиграть $\$ 1$ на покупку газировки, что бы ни случилось. Ваша первоначальная ставка — $\$ 1$. Если вы выигрываете, вы прекращаете и покупаете газировку. Если проигрываете, вы теперь ставите $\$ 2$. Если вы выигрываете вторую ставку, вы выигрываете $\$ 2$, что покрывает проигрыш в $\$ 1$ на первой ставке и позволяет вам прекратить и купить газировку. Если вы проигрываете первые две ставки, ваша третья ставка составляет $\$ 4$. Если вы проигрываете эту ставку, ваша четвёртая ставка составляет $\$ 8$. Это удвоение ставки после каждого проигрыша гарантирует, что когда вы всё-таки выиграете (а рано или поздно вы наверняка выиграете), у вас будет чистая прибыль в $\$ 1$, и вы сможете купить газировку. Теперь предположим, что у вас есть лишь несколько тысяч долларов, так что если вы проиграете 11 ставок подряд, вы потеряете $\$ 2,047$ и не сможете позволить себе удвоить свою 11-ю ставку ($\$ 1,024$), чтобы сделать 12-ю ставку ($\$ 2,048$) — вам придётся прекратить делать ставки и остаться без бесплатной газировки. Каково математическое ожидание этой системы удвоения?

Два игрока, Уэйл и Фиш, собираются играть в азартную игру, пока один из них не разорится. У Уэйла изначально $\$ 90,000$; у Фиша изначально $\$ 10,000$. Игра, в которую они играют, честная (например, угадывание бросков монеты), и оба игрока имеют равные шансы на выигрыш. Любой игрок может поставить любую сумму, которую другой игрок способен покрыть; например, если у Фиша есть $\$ 8,000$, они могут поставить до $\$ 8,000$ на следующую игру. Какова вероятность того, что выиграет Уэйл?

Ответьте на этот многовековой вопрос, который Кавалер де Мере задал Блезу Паскалю: два равных по силе игрока играют серию партий. Первый, кто выиграет четыре партии, получает $\$ 1,000$. Они сыграли четыре партии, и A выиграл три партии, а B выиграл одну партию. На этом моменте они вынуждены прекратить игру. Как им следует разделить $\$ 1,000$, чтобы каждый получил математическое ожидание того, что он выиграл бы, если бы игра продолжилась?

У короля есть монетный мастер, который чеканит 10 000 золотых монет с изображением лица короля на каждой. Мастер делает 9900 настоящих золотых монет и 100 фальшивых, сделанных из более дешёвого материала, и раскладывает монеты в 100 коробок. В каждой коробке 99 золотых монет и 1 фальшивая. Король подозревает обман и случайным образом берёт по одной монете из каждой коробки для проверки.

Есть четыре монеты — две золотые и две свинцовые. Какой из этих вариантов даёт вам лучший шанс получить хотя бы одну золотую монету?

В Болгарии есть еженедельная национальная лотерея, в которой игроки выбирают шесть разных чисел от 1 до 42 и выигрывают главный приз, если их шесть чисел совпадают (не обязательно по порядку); шесть чисел выбираются в прямом телеэфире. 10 сентября 2009 года выигрышные числа (4, 15, 23, 24, 35, 42) оказались теми же числами, что были выбраны неделей раньше (хотя и в другом порядке). Никто не угадал выигрышные числа 6 сентября, но рекордные 18 человек угадали выигрышные числа 10 сентября. Если игра честная,

Есть 12 астрологических знаков, соответствующих датам рождения, например, Водолей — это с 20 января по 18 февраля, а Рыбы — с 19 февраля по 20 марта. Полагая, что дата рождения с равной вероятностью попадает в каждый из 12 знаков, какова вероятность того, что в группе из четырёх человек найдутся хотя бы двое с одинаковым знаком?

Баскетболист, на котором совершают фол во время попытки трёхочкового броска, и он промахивается, выполнит три штрафных броска, каждый из которых стоит одно очко. (Если трёхочковый бросок попадает, несмотря на фол, игрок получает один штрафной бросок.) За 2 секунды до конца игры команда, отстающая на три очка, передаёт мяч своему лучшему снайперу, который пытается выполнить трёхочковый бросок. Если у этого игрока вероятность попадания в трёхочковый бросок составляет $40 \%$, а независимая вероятность попадания любого одноочкового штрафного броска составляет $90 \%$, следует ли защите намеренно совершить фол на снайпере, предотвращая трёхочковый бросок, но давая игроку три штрафных броска?

Актуарные экзамены считаются самыми трудными из всех профессиональных экзаменов:

Актуариям очень хорошо платят. И, как и в любой другой высокооплачиваемой профессии, чтобы туда попасть, нужно много работать. Но в отличие от врачей или юристов, актуариям нужно сдать серию трудных тестов, называемых актуарными экзаменами. Они очень трудные. Очень-очень трудные.

Лишь $20 \%$ людей, сдающих актуарный тест, проходят его с первой попытки. Чтобы стать актуарием в США или Канаде, нужно сдать семь или десять экзаменов в зависимости от подобласти. Используя эти данные, Кори оценил, что его шансы сдать семь актуарных тестов с первой попытки составляют лишь $.2^{7}=.0000128=1 / 78,125$. Что не так с этим расчётом?

И Wall Street Journal, и Washington Post сообщили о результатах исследования, которое оценивало вероятность того, что 40-летний трезвый человек, пристёгнутый ремнём безопасности и ведущий автомобиль тяжелее среднего, попадёт в смертельную аварию во время поездки на автомобиле протяжённостью 600 миль. Исследователи вычислили эту вероятность, умножив общий показатель смертности среди водителей на четыре фактора риска. Например, вероятность того, что автомобиль тяжелее среднего попадёт в смертельную аварию, в .77 раза больше вероятности того, что автомобиль среднего веса попадёт в смертельную аварию. Так что общий показатель смертности среди водителей умножили на .77. Затем это число умножили на .68, потому что вероятность того, что 40-летний человек попадёт в смертельную аварию, составляет лишь .68 от вероятности того, что водитель среднего возраста попадёт в смертельную аварию. Аналогичные поправки были сделаны для трезвости и пристёгнутого ремня безопасности. Что не так с этим расчётом?

Древняя эннеаграмма имеет девять типов личности, представленных числами от 1 до 9, расположенными по кругу:

Три равносторонних треугольника можно построить, соединив точки 9-3-6, 4-7-1 и 5-8-2. Эти три группы соответствуют трём эмоциональным состояниям, выделенным современной психологической теорией: привязанность (9-3-6), фрустрация (4-7-1) и отвержение (5-8-2).

Если числа $1-9$ случайным образом разделить на три группы по три числа, какова вероятность того, что одна группа будет содержать числа 9, 3 и 6 (не обязательно в этом порядке), другая группа будет содержать 4, 7 и 1, а оставшаяся группа будет содержать 5, 8 и 2?

Ответьте на это письмо колумнистке Мэрилин вос Савант:

У меня для вас действительно запутанный случай. Скажем, мой друг кладёт шесть игральных карт рубашкой вверх на стол. Он говорит мне, что ровно две из них тузы. Затем я беру две из карт. Какой из следующих вариантов более вероятен?

В традиционной игре Тонг два игрока, Е и О, одновременно показывают руку с одним, двумя или тремя пальцами. Если сумма пальцев на руках двух игроков чётная, О платит $\$ 1$ игроку Е. Если сумма нечётная, Е платит $\$ 1$ игроку О. Если каждый игрок с равной вероятностью показывает один, два или три пальца, и их выборы делаются независимо, каково математическое ожидание этой игры для Е? Для О?

Алекс и Блейн соревнуются в бросках штрафных в баскетболе, где выигрывает тот, кто первым попадает в кольцо. У Алекса вероятность попадания $2/3$; у Блейна вероятность $1/3$. Полагая независимость, какова вероятность того, что Блейн выиграет, если Блейн бросает первым?

Ответьте на эту головоломку из радиопередачи Car Talk:

РЭЙ: Три разных числа выбираются случайным образом, и каждое из них записывается на своём листке бумаги. Затем листки кладут рубашкой вверх на стол. Цель — выбрать листок, на котором написано наибольшее число. Вот правила: вы можете перевернуть любой листок бумаги и посмотреть, какое число на нём написано. Если по какой-то причине вы решите, что это наибольшее число, — всё, вы его оставляете. В противном случае вы его откладываете и переворачиваете второй листок. Снова, если вы решите, что это листок с наибольшим числом, вы его оставляете, и игра окончена. Если нет, вы откладываете и его тоже. ТОМ: И вам достаётся третий. Понял. РЭЙ: Шанс получить наибольшее число — один из трёх. Или нет? Есть ли стратегия, с помощью которой можно повысить шансы?

В 1993 году было напечатано 94 536 000 обёрток от батончиков Butterfinger, и каждая обёртка давала один из следующих призов, в зависимости от сообщения, напечатанного внутри обёртки:

Обёртку от батончика можно было получить, купив батончик Butterfinger, или отправив компании конверт с обратным адресом и маркой (один запрос на конверт). Математическое ожидание обёртки от батончика больше или меньше стоимости почтовой марки в $\$ .58$?

Вы случайным образом вытягиваете пять карт из хорошо перетасованной стандартной колоды из 52 игральных карт. Из этих пяти карт рубашкой вверх вы случайным образом выбираете две карты. Какова вероятность того, что обе они окажутся валетами?

В традиционной игре используют шесть персиковых косточек, одну сторону которых зачернили огнём. Шесть косточек кладут в чашку, тщательно встряхивают, а затем осматривают. Игрок получает пять очков, если все шесть косточек повёрнуты одинаковой стороной вверх (либо все зачернённой, либо все незачернённой), и получает одно очко, если пять из шести косточек повёрнуты одинаковой стороной вверх, а одна косточка отличается. В противном случае игрок не получает очков. Полагая, что каждая косточка с равной вероятностью падает зачернённой стороной вверх или незачернённой стороной вверх, каково математическое ожидание очков за один бросок?

В игру Big 2 играют стандартной колодой из 52 игральных карт. Название игры происходит от того, что все четыре двойки — старшие карты в игре. В игре на четырёх человек 52 карты раздаются поровну, по 13 карт каждому игроку. В игре на трёх человек каждому игроку раздаётся по 17 карт, а 1 карта откладывается рубашкой вверх.

Игроку в нарды нужно выбросить 1 хотя бы на одной или обеих из двух шестигранных костей, чтобы выйти из бара и войти в домашнюю зону противника. В среднем сколько бросков двух костей потребуется, чтобы получить 1?

В каждой коробке хлопьев SugarJunk лежит случайно определённый купон, на котором с равной вероятностью напечатано число 1, 2 или 3. Человек, собравший все три числа, выигрывает приз. Сколько коробок в среднем требуется, чтобы выиграть приз?

В стране OneOfEach каждая женщина, рожающая детей, продолжает рожать, пока у неё не будет хотя бы одного мальчика и одной девочки, и только тогда прекращает рожать. Каково среднее число детей у каждой женщины? (Предположим, что рождение мальчика и девочки равновероятно и не зависит от того, кем были предыдущие дети.)

Предположим, что до конца жизни вам предстоят сотни бросков монеты, чтобы решить, кто заплатит за кофе, кто пойдёт первым или совершит какое-то другое действие. Можете ли вы рассчитывать выигрывать чаще, если каждый раз называете орёл, или если называете орёл в половине случаев, а решку в другой половине?

Определите математическое ожидание ставки, описанной в этом письме в рубрику «Ask Marilyn»:

Скажем, кто-то предлагает вам следующее пари: он подбросит три монеты одновременно. Если все выпадут орлом, он даст вам $10. И если все выпадут решкой, он тоже даст вам $10. Но если выпадет либо (1) два орла и одна решка, либо (2) две решки и один орёл, вы должны отдать ему $5.... Стоит ли вам принять это пари?

Карточный игрок утверждает, что в тщательно перетасованной колоде из 52 карт, содержащей четыре туза, туз обычно находится среди первых девяти карт сверху колоды. Чтобы проверить это утверждение, колоду тасуют и карты переворачивают по одной. Какова вероятность того, что туз окажется среди первых девяти карт?

Четверо Симпсонов позируют для семейного портрета. У каждого Симпсона вероятность .6 выглядеть подобающе в момент, когда делается снимок. Полагая независимость, какова вероятность того, что все четверо Симпсонов одновременно будут выглядеть подобающе? Сколько снимков нужно сделать, чтобы с уверенностью $80 \%$ утверждать, что на хотя бы одном снимке все четверо Симпсонов будут выглядеть подобающе одновременно?

Есть шесть коробок, из которых пять пусты, а одна содержит чек на $\$ 10,000$. Два участника будут по очереди выбирать коробки, пока кто-то не выберет коробку с чеком на $\$ 10,000$. Есть ли какое-то преимущество в том, чтобы выбирать первым?

Марк считает, что вероятность снега в Бостоне в ближайший канун Нового года равна $4/5$; Минди считает, что эта вероятность равна лишь $2/3$. Какое пари они могли бы заключить, чтобы у каждого было положительное математическое ожидание? Например, Марк платит Минди $\$ 2$, если идёт снег, а Минди платит Марку $5, если снега нет.

Вот реальный вопрос с собеседования при приёме на работу: «Вероятность дождя в субботу составляет $60 \%$, а вероятность дождя в воскресенье — $40 \%$. Какова вероятность того, что в эти выходные дождя не будет?» Интервьюер сказал, что правильный ответ — $(1-.6)(1-.4)=.24$. Кандидат на должность сказал, что правильный ответ — $1-.6(.4)=.76$. Каков ваш ответ?

Ответьте на этот вопрос в рубрику Ask Marilyn:

Скажем, мы будем подбрасывать монету раз за разом, пока не получим одну из этих последовательностей по порядку: орёл/решка (HT) или решка/решка (TT). Если моя последовательность выпадет первой, ты платишь мне доллар; но если первой выпадет твоя последовательность, я плачу тебе доллар. После этого мы останавливаемся и начинаем заново. Учитывая, что мы будем играть в эту игру многократно, какую последовательность вы бы выбрали?

$\mathrm{~ A}, \mathrm{~ B}$ и C участвуют в дуэли на пистолетах втроём, где каждый по очереди делает один выстрел. Первым стреляет A, затем B, затем C, затем снова A, и так далее. У A вероятность попасть в того, в кого он целится, составляет $25 \%$; у B вероятность попасть в ту, в кого она целится, составляет $75 \%$; а C наверняка попадает в ту, в кого она целится. В дуэли между двумя А и $\mathrm{B}, \mathrm{A}$ имеет вероятность выигрыша $4 / 13$, если она стреляет первой, а у $B$ вероятность выигрыша $12 / 13$, если он стреляет первым. Какова оптимальная стратегия A?