Правило Байеса

Выпускнику колледжа задали этот вопрос на собеседовании при приёме на работу в банк. В банке лежат 20 монет: 19 обычных монет и 1 монета, у которой орёл с обеих сторон. Монету случайным образом достают из банки и подбрасывают пять раз. Все пять раз выпадает орёл. Какова вероятность того, что это двусторонняя монета с орлом?

Знаковый доклад Главного врача США 1964 года о курении сигарет приводил следующие данные: $6 \%$ всех смертей вызваны раком лёгких; $85 \%$ людей, умирающих от рака лёгких, — курильщики; и 1/3 взрослого населения — курильщики. Сравните вероятности умереть от рака лёгких для курильщиков и некурящих.

Предположим, что $10 \%$ студенческих эссе написаны ChatGPT и что программа обнаружения ChatGPT точна на $90 \%$: она правильно помечает $90 \%$ эссе, написанных ChatGPT, как написанные ChatGPT, и правильно помечает $90 \%$ эссе, написанных людьми, как написанные людьми. Какой процент эссе, помеченных как написанные ChatGPT, на самом деле были написаны людьми?

Ответьте на этот вопрос, который задали врачам и ординаторам одной бостонской больницы: у одного из тысячи людей есть определённая болезнь. Тест на эту болезнь всегда даёт положительный результат, если у человека есть болезнь, и имеет вероятность $5 \%$ дать ложноположительный результат для пациента, у которого болезни нет. Какой процент людей с положительным результатом теста на самом деле имеют болезнь?

В инсценированном судебном эксперименте 144 добровольцам-присяжным сказали, что винный магазин был ограблен мужчиной в лыжной маске. Полиция арестовала неподалёку от магазина подозреваемого, чей рост, вес и одежда совпадали с описанием продавца. Лыжная маска и деньги были найдены в мусорном баке неподалёку. Заслушав эти доказательства, присяжных попросили записать свою оценку вероятности того, что арестованный мужчина «действительно это сделал». Средняя вероятность составила .25.

Затем эксперт-криминалист засвидетельствовал, что образцы волос подозреваемого совпали с волосом, найденным внутри лыжной маски, и что лишь у $2 \%$ населения волосы совпадают с волосом, найденным в лыжной маске. Заслушав эти доказательства, присяжные в среднем пересмотрели вероятность виновности подсудимого до .63. Какова байесовская апостериорная вероятность?

В 2016 году два китайских исследователя сообщили, что компьютерный анализ лиц китайских преступников и непреступников мужского пола правильно определил $89.5 \%$ преступников как преступников и правильно определил $93 \%$ непреступников как непреступников. Если $.36 \%$ мужского населения Китая — преступники, какова вероятность того, что человек, помеченный компьютером как преступник, действительно является преступником?

Некоторые автомобили оказываются «лимонами» — с множеством дефектов. К сожалению, качество нового автомобиля нельзя определить, пока на нём не проедут несколько сотен миль. Незадачливый покупатель «лимона» может попытаться избавиться от него, перепродав его кому-то другому. Предположим, что $10 \%$ всех новых автомобилей — «лимоны», и что $90 \%$ всех «лимонов» и $5 \%$ всех «не-лимонов» выставляются на продажу в течение первого года владения. Если это так, какова вероятность того, что случайно выбранный автомобиль среди тех, что выставлены на продажу в течение первого года, окажется «лимоном»?

Письмо в рубрику Ask Marilyn начиналось так: «Как профессора статистики, мы нашли ваш ответ на вопрос о тестировании на наркотики озадачивающим и, более того, неверным». Вопрос был таким:

Предположим, мы считаем, что $5 \%$ людей употребляют наркотики. Тест точен на $95 \%$, что, скажем, означает, что если человек употребляет наркотики, результат положителен в $95 \%$ случаев; а если нет — результат отрицателен в $95 \%$ случаев. У случайно выбранного человека тест оказался положительным. Насколько вероятно, что этот человек действительно употребляет наркотики?

На самом деле Мэрилин вычислила вероятность правильно. Какова правильная вероятность?

Чтобы решить, кто подаёт первым в их четверговых играх в сквош, Игрок A крутит ракетку, а Игрок B угадывает, остановится ли логотип на ракетке лицевой стороной вверх или вниз. Изначально Игрок B полагает, что вероятность того, что A мошенничает, когда крутит ракетку, составляет лишь $5 \%$. Но после того как A выигрывает первые пять раз подряд, когда крутит ракетку, B уже не так уверен. Полагая, что A всегда выигрывает, если мошенничает, и имеет вероятность выигрыша $50 \%$, если не мошенничает, какова пересмотренная вероятность B того, что A мошенничает?

В трёх тщательных исследованиях эксперты по полиграфу тестировали нескольких человек, часть из которых заведомо говорила правду, а другие заведомо лгали, чтобы проверить, смогут ли эксперты определить, кто есть кто. В целом $83 \%$ лжецов были признаны «лживыми», а $57 \%$ правдивых людей были признаны «честными». Используя эти данные и полагая, что $80 \%$ протестированных людей говорят правду, а $20 \%$ лгут, какова вероятность того, что человек, признанный «лживым», на самом деле говорит правду? Какова вероятность того, что человек, признанный «честным», лжёт?

Фокусница утверждает, что миллионы раз тренировалась подбрасывать монету и может выбрасывать орла в $75 \%$ случаев. Прежде чем начать демонстрацию, она показывает вам монету, которая выглядит как обычная монета. Вы полагаете, что есть три возможности:

Приблизительно $1.5 \%$ американцев страдают шизофренией. Компьютерная аксиальная томография (КТ) показывает атрофию мозга у $30 \%$ людей, которым диагностировали шизофрению, и лишь у $2 \%$ людей, которым диагностировали отсутствие шизофрении. На процессе Джона Хинкли в 1982 году по обвинению в покушении на президента Рональда Рейгана адвокат защиты пытался представить доказательство того, что КТ Хинкли показала атрофию мозга, тем самым указывая, что Хинкли страдает шизофренией. Является ли КТ, показывающая атрофию мозга, убедительным доказательством того, что человек страдает шизофренией?

Компания Epic утверждала, что прогнозы сепсиса, сделанные её ИИ-моделью Epic Sepsis Model (ESM), точны на $76 \% -83 \%$, но независимых проверок не проводилось, пока медицинская команда не изучила больничные записи 38 455 пациентов в Michigan Medicine, из которых у 2552 (6.6) развился сепсис. ESM выдала (верное) предупреждение о сепсисе для 843 из этих 2552 пациентов и (верно) не выдала предупреждения о сепсисе для 29 775 из 35 903 пациентов, у которых сепсиса не было. Какая доля предупреждений ESM о сепсисе была ложноположительной?

Для женщины, рожающей в возрасте 35 лет, вероятность рождения ребёнка с синдромом Дауна равна $1 / 270$. Анализ амниотической жидкости в матке матери практически на $100 \%$ точен в прогнозировании синдрома Дауна, но дорог и может вызвать выкидыш. Исследование эффективности недорогого анализа крови, не несущего риска выкидыша, обнаружило, что в $89 \%$ случаев синдрома Дауна тест давал положительный результат, тогда как в $75 \%$ случаев без синдрома Дауна тест давал отрицательный результат. Из тех случаев, когда результат положителен, какая доля — ложноположительная?

Болезнь Тея-Сакса — это генетическое заболевание, которое встречается примерно у 1 из 320 000 детей в США. Предположим, что генетический тест точен на $99 \%$ (положительный результат) для детей с болезнью Тея-Сакса и точен на $98 \%$ (отрицательный результат) для детей без болезни Тея-Сакса. Если результат теста положителен, какова вероятность того, что у ребёнка есть болезнь Тея-Сакса?

Новая теория делит людей на один из трёх типов личности ($\mathrm{X}, \mathrm{Y}$ или Z) и предполагает, что каждая группа составляет треть населения. Крупное эмпирическое исследование задавало людям вопрос: «Что бы вы предпочли на двухнедельном отпуске — пляж или горы?», и обнаружило, что $70 \%$ людей типа X ответили «Пляж», как и $50 \%$ людей типа Y, и $30 \%$ людей типа Z.

Если Джилл Джонс отвечает «пляж», какова вероятность того, что она относится к типу личности X?

«Пятеро из десяти людей с этой болезнью умирают от неё. Вам повезло, что вы обратились ко мне; у меня было пятеро пациентов, и все они умерли». Предположим, что есть три вида врачей: отличные $(10 \% )$, хорошие $(80 \% )$ и некомпетентные $(10 \% )$. У отличного врача выживает каждый пациент; у хорошего врача половина выживает, а половина умирает; а у некомпетентного врача умирает каждый пациент. Учитывая послужной список этого врача (пятеро из пяти умерли), какова вероятность того, что он/она некомпетентен?

Предположим, что $20 \%$ людей, которых тестируют алкотестером на опьянение, юридически пьяны, а $80 \%$ — нет, и что тест даёт положительный результат в $85 \%$ случаев, когда человек пьян, и даёт отрицательный результат в $80 \%$ случаев, когда человек не пьян. Если результат теста положителен, какова вероятность того, что протестированный человек на самом деле не пьян?

Предположим, что $10 \%$ всех инвестиционных консультантов — эксперты, а $90 \%$ — угадывающие. У каждого эксперта вероятность правильно предсказать, обгонит ли фондовый рынок рынок облигаций в течение года, равна .6; у угадывающего вероятность оказаться правым равна .5. Шансы каждого консультанта оказаться правым независимы от шансов других консультантов, а также независимы от того, был ли он прав в предыдущие годы. Если консультант оказывается прав 5 лет подряд, какова вероятность того, что этот консультант — эксперт?

Исследование 1960-х годов обнаружило, что из 3379 уголовных судебных процессов с присяжными, где присяжные вынесли вердикт, судья согласился с вердиктом присяжных в 2696 случаях (79.8) — при этом и судья, и присяжные признали виновным в 2217 случаях (65.6), а оба оправдали в 479 случаях $(14.2 \% )$. В 604 случаях $(17.9 \% )$ присяжные оправдали, но судья признал бы виновным; в 79 случаях $(2.3 \% )$ присяжные признали виновным, но судья оправдал бы.

В Израиле высокий уровень вакцинации против COVID-19, однако 15 августа 2021 года $58 \%$ израильтян, госпитализированных с COVID-19, были полностью вакцинированы — что наводит на мысль, что вакцинация неэффективна или даже вредна. Почему это число $58 \%$ вводит в заблуждение с чисто статистической точки зрения? Какую статистическую технику вы бы использовали для решения этой проблемы?

Вот стилизованный пример того, как опросы можно использовать для предсказания результатов выборов. Предположим, что есть только две возможности: Кэмерону отдают предпочтение либо $51 \%$, либо $49 \%$ всех избирателей, и наша априорная вероятность состоит в том, что каждая ситуация равновероятна. Опрос 1000 избирателей показывает, что $510 (51 \% )$ опрошенных предпочитают Кэмерона. Какова апостериорная вероятность того, что Кэмерона предпочитают $51 \%$ всех избирателей?

Предположим, что $90 \%$ людей, которым понравился телесериал Homicide: Life on the Street, также понравился сериал The Wire, тогда как $20 \%$ людей, которым не понравился Homicide, всё же понравился The Wire. Если $40 \%$ всех людей понравился Homicide, какова вероятность того, что случайно выбранному человеку, которому понравился The Wire, также понравился Homicide?

Пятнадцать процентов домохозяйств США живут за чертой бедности. В трети всех домохозяйств США женщина является единственным кормильцем. В $60 \%$ бедных домохозяйств женщина является единственным кормильцем. Какая доля домохозяйств, в которых женщина является единственным кормильцем, бедна?

Фермер каждый день отправляет 10 000 коробок яиц. Два инспектора независимо друг от друга осматривают каждую коробку в поисках треснувших яиц, и у каждого инспектора вероятность заметить треснувшее яйцо в коробке равна .70. Они никогда не бракуют коробку, в которой нет треснувших яиц. Какова вероятность того, что коробку с треснувшими яйцами заметит хотя бы один инспектор? Если $30 \%$ проверяемых коробок содержат треснувшие яйца, какова вероятность того, что коробка, пропущенная обоими инспекторами, содержит треснувшие яйца?

Утверждалось, что диагональная складка на мочке уха у взрослых мужчин указывает на наличие ишемической болезни сердца. Было подсчитано, что у $5 \%$ всех взрослых мужчин есть ишемическая болезнь сердца, и что у $47 \%$ из тех, у кого есть ишемическая болезнь сердца, есть диагональная складка на мочке уха, тогда как у $30 \%$ из тех, у кого нет болезни сердца, есть складка на мочке уха. Какова вероятность того, что у взрослого мужчины со складкой на мочке уха есть болезнь сердца?

В США уголовные обвиняемые считаются невиновными, пока их вина не доказана вне разумных сомнений, потому что считается, что «лучше отпустить девять виновных на свободу, чем отправить одного невиновного в тюрьму». Предположим, что $90 \%$ всех обвиняемых виновны, $90 \%$ виновных обвиняемых осуждаются, и $90 \%$ невиновных обвиняемых отпускаются на свободу. Какой процент осуждённых людей невиновен? Из отпущенных на свободу, какой процент виновен?

В деле Крейг против Борена (1976) Верховный суд США рассматривал, служило ли важным государственным целям различие по полу в законе штата Оклахома, запрещавшем продажу пива с содержанием алкоголя $3.2 \%$ мужчинам младше 21 года и женщинам младше 18 лет. Среди доказательств, рассмотренных в этом деле, были следующие данные о людях, арестованных в Оклахоме за вождение в нетрезвом виде (DUI) в течение последних четырёх месяцев 1973 года: 92 арестованных были мужчинами; $8 \%$ арестованных мужчин были младше 21 года; и $5 \%$ арестованных женщин были младше 21 года. Предположим гипотетическую популяцию из 10 000 арестов за DUI и постройте таблицу сопряжённости со столбцами, показывающими пол (мужской или женский), и строками, показывающими возраст (младше 21 или старше). Указывают ли эти данные на то, что возраст и пол тесно связаны или в основном не связаны?

Команда Oakland Athletics, выигравшая 103 игры за регулярный сезон, была явным фаворитом в матче против Cincinnati Reds в Мировой серии 1990 года. После того как Reds выиграли серию четырьмя играми подряд, несколько игроков Athletics сказали, что серия была случайностью и что они по-прежнему уверены, что они лучшая команда в бейсболе. Один предположил, что если бы они сыграли 100 000 игр против Reds, Athletics выиграли бы 60 000.

Предположим, что бейсбольные игры — это испытания Бернулли, где у Athletics есть вероятность p выиграть игру против Reds, и что есть два возможных значения p: .60 и .50. Перед Мировой серией 1990 года априорные вероятности таковы: $\mathrm{P}[\mathrm{p}=.60]=.70$ и $\mathrm{P}[\mathrm{p}=.50]=.30$. Используйте теорему Байеса, чтобы определить пересмотренную вероятность того, что $\mathrm{p}=.60$, после того как Athletics проигрывают четыре игры из четырёх Reds.

Рутинный осмотр обнаруживает уплотнение в груди у пациентки. Лишь 1 из 100 таких уплотнений оказывается злокачественным, но, на всякий случай, врач назначает маммографию. Если уплотнение злокачественное, вероятность того, что результат маммографии будет положительным, равна .8; если уплотнение доброкачественное, вероятность того, что результат будет отрицательным, равна .9. Тест оказывается положительным, и врач назначает второй тест, который оказывается отрицательным. Полагая результаты тестов независимыми, какова ваша оценка вероятности того, что это уплотнение злокачественное?