Задачи о проблеме Монти Холла

В классическом телешоу Let's Make a Deal участнику предлагают выбрать одну из трёх дверей — за одной дверью находится главный приз, а за двумя другими — козы. После того как участник выбирает дверь, ведущий, Монти Холл, делает то, что делает всегда: показывает козу за одной из невыбранных дверей и спрашивает, хочет ли участник поменять дверь.

Что бы вы посоветовали?

Что не так в ответе на эту головоломку из радиопередачи Car Talk?

Монти Холл. Let's Make a Deal. Двери 1, 2 и 3... Вы выбираете дверь, не зная, что за ней. За одной из дверей хороший приз, за остальными — так себе призы. Монти говорит: «Вы выбрали дверь №1, но не знаете, что за ней. Я показал вам, что за дверью №2, а там куча чёрствых эскимо-пирожных... Хотите поменять на дверь №3?» Что вы делаете и почему? > Ответ: Ответ таков — вам следует поменять. Монти Холл всегда покажет вам паршивую дверь. Верно? Так что у вас 50/50 шансов получить хорошую дверь, если поменяете. Так что статистически, если делать это достаточно часто, меняя двери, вы повышаете шансы получить хороший результат.

Есть четыре двери: за одной дверью спрятан приз в $\$ 10,000$, а за тремя дверями — мешки с золотыми рыбками. Вы выбираете Дверь 3. Независимо от того, какую дверь вы выбираете, ведущий затем покажет вам мешок с золотыми рыбками за дверью, которую вы не выбрали (скажем, за Дверью 1), и спросит, хотите ли вы поменять свой выбор на одну из двух оставшихся дверей. Какова вероятность выиграть приз в $\$ 10,000$, если вы меняете выбор?

Есть три коробки: коробка с двумя золотыми монетами, коробка с двумя серебряными монетами и коробка с одной золотой и одной серебряной монетой. Вы случайным образом выбираете коробку и случайным образом выбираете монету из этой коробки. Если это золотая монета, какова вероятность того, что она из коробки с двумя золотыми монетами?

У коробки три ящика. В одном ящике две золотые монеты; в другом ящике две свинцовые монеты; а в третьем ящике одна золотая и одна свинцовая монета. Вы случайным образом выбираете ящик и случайным образом монету из этого ящика. Это золотая монета, которую откладывают в сторону, и вы не можете её оставить. Теперь у вас есть выбор: (a) взять другую монету в выбранном вами ящике; или (b) случайным образом взять монету из одного из двух ящиков, которые вы не выбрали. Если вы выбираете Вариант (a), какова вероятность того, что вы получите золотую монету?

В кожаный мешок кладут пять монет. У одной монеты орёл с обеих сторон; у одной монеты решка с обеих сторон, а у трёх монет орёл с одной стороны и решка с другой. Монету случайным образом достают из мешка и, не глядя на неё, подбрасывают в воздух. Она падает орлом вверх. Какова вероятность того, что на другой стороне монеты решка?

Наперсточные карты: три карты кладут в мешок. Одна карта красная с обеих сторон, одна зелёная с обеих сторон, а одна красная с одной стороны и зелёная с другой. Вы вытягиваете случайно выбранную карту из мешка и видите, что лицевая сторона зелёная. Устроитель игры говорит: «Мы знаем, что это не двусторонняя красная карта. Мы также знаем, что на другой стороне может быть либо зелёный, либо красный цвет. Я поставлю $\$ 5$ против ваших $\$ 4$, что на самом деле на другой стороне зелёный». Может ли устроитель получать прибыль от таких ставок, не мошенничая?

Две карты кладут в кожаный мешок. Одна карта красная с обеих сторон; другая карта красная с одной стороны и синяя с другой. Если вы случайным образом вытягиваете карту и случайным образом смотрите на одну сторону и видите, что она красная, какова вероятность того, что другая сторона карты тоже красная?

В деревянной коробке лежат четыре карты. Одна карта красная с обеих сторон; одна карта синяя с обеих сторон; а две карты красные с одной стороны и зелёные с другой. Если вы случайным образом вытягиваете карту и случайным образом смотрите на одну сторону и видите, что она красная, какова вероятность того, что другая сторона зелёная?

Три заключённых, A, B и C, сидят в отдельных камерах и приговорены к смерти. Губернатор случайным образом выбрал одного из них для помилования. Начальнику тюрьмы известно, кого именно, но ему не разрешено об этом рассказывать. Заключённый A умоляет начальника сообщить ему личность одного из двух других, кто будет казнён. «Если помилуют B, назовите мне имя C. Если помилуют C, назовите мне имя B. А если помилуют меня, подбросьте монету, чтобы решить, назвать $B$ или $C$». Начальник сообщает $A$, что казнят $B$. Заключённый A доволен, потому что считает, что вероятность его выживания выросла с $1/3$ до $1/2$, поскольку теперь выбор между ним и C. Заключённый A рассказывает эту новость $C$, который тоже доволен, поскольку рассуждает, что у A всё ещё есть шанс $1/3$ на помилование, так что его собственный шанс вырос до $2/3$. Каков правильный ответ?

Мистер Смит — отец двоих детей. Мы встречаем его на улице с маленькой девочкой, которую он с гордостью представляет как свою дочь. Какова вероятность того, что второй ребёнок мистера Смита тоже девочка? (Предположим, что мальчики и девочки равновероятны и независимы.) Не просто угадывайте. Докажите свой ответ.

Ответьте на это письмо газетной колумнистке Мэрилин вос Савант, которая внесена в Зал славы Книги рекордов Гиннесса за «Самый высокий IQ»:

Мы, три пары, едем на следующих выходных на горячие источники Лава. Мы остаёмся на две ночи и сняли две студии, потому что каждая вмещает максимум четыре человека. Одна пара получит свою студию в пятницу, другая пара — в субботу, а одной паре не повезёт. Мы будем тянуть жребий, чтобы узнать, какие две пары — счастливчики.

Я сказал жене, что нам следует тянуть жребий только один раз, и проигравшая пара останется без везения на обе ночи. Я подсчитал, что у нас будет два шанса из трёх (66 $2/3\%$) выиграть одну из ночей для себя. Но она настаивает, что нам следует тянуть жребий дважды — сначала на пятницу, а затем, только для оставшихся двух пар, на субботу — рассуждая, что шанс один из трёх (33 1/3) на пятницу и шанс один из двух (50) на субботу дадут нам лучшие шансы....

Как нам следует поступить?

Ответьте на это письмо Мэрилин вос Савант: «Если я подбрасываю пару монет, пока хотя бы одна из них не выпадет орлом, каковы шансы, что и другая монета тоже выпала орлом?»