Нормальное распределение

Одна женщина написала в рубрику Dear Abby, что была беременна 310 дней, прежде чем родить. Завершённые беременности распределены нормально со средним 266 дней и стандартным отклонением 16 дней. Какова вероятность того, что завершённая беременность длится не менее 310 дней?

Ежедневную доходность акций часто моделируют как случайные значения из нормального распределения. Ежедневная доходность индекса цен акций SP 500 за 50-летний период 1962-2012 годов имела среднее $.031 \%$ и стандартное отклонение $1.026 \%$. Если ежедневная доходность SP 500 распределена нормально с этим средним и стандартным отклонением, какова вероятность дневной доходности столь низкой, как $-20.3 \%$, что произошло 19 октября 1987 года?

В своей работе 1868 года Карл Вундерлих пришёл к выводу, что температуры выше 100.4 градусов по Фаренгейту следует считать лихорадочными. В исследовании 1992 года исследователи из Мэриленда предложили, что 99.9 градусов по Фаренгейту — более подходящий порог. Если оральная температура здоровых людей распределена нормально со средним 98.23 и стандартным отклонением .67 (значения, оценённые исследователями из Мэриленда), какая доля этих показаний выше 100.4? Какая доля выше 99.9?

Для определённой микроволновой печи и марки попкорна время, необходимое случайно выбранному зерну попкорна, чтобы лопнуть, распределено нормально со средним 150 секунд и стандартным отклонением 20 секунд. Какой процент зёрен, по вашим ожиданиям, лопнет через 180 секунд?

Научный эксперимент с одной маркой попкорна для микроволновки обнаружил, что время, необходимое для того, чтобы зерно лопнуло, распределено приблизительно нормально со средним 129.0 секунд и стандартным отклонением 9.6 секунд. Полагая, что время, необходимое для того, чтобы зерно лопнуло, распределено нормально с этим средним и стандартным отклонением, и что лопанье зёрен независимо, сколько времени, как нам следует ожидать, потребуется, чтобы лопнуло $95 \%$ зёрен? (Подсказка: $\mathrm{P}[\mathrm{Z}<1.645]=.95$.)

Вот гистограмма обхвата груди 5738 шотландских ополченцев в начале XIX века. На основе этого графика сделайте грубые оценки среднего и стандартного отклонения. Вы должны привести конкретные числа и объяснить, как вы к ним пришли. Вас будут оценивать не по тому, точны ли ваши оценки, а по тому, использовали ли вы разумную процедуру для их получения.

За 141-летний период 1878-2018 годов годовое количество осадков в центре Лос-Анджелеса составляло в среднем 14.50 дюйма со стандартным отклонением 6.68 дюйма.

Один колледж обнаружил, что половина людей, принятых на обучение, решает записаться. Полагая, что решения о зачислении независимы, и у каждого студента вероятность записаться равна .5, сколько студентов следует принять, если они хотят, чтобы математическое ожидание числа записавшихся студентов было 400? Если они следуют этой политике приёма, какова вероятность того, что запишутся более 420? Используйте нормальное приближение.

В начале 1960-х годов Национальный центр статистики здравоохранения оценил, что рост американских мужчин в возрасте от 25 до 34 лет распределён нормально со средним 69 дюймов и стандартным отклонением 2.65 дюйма. Сейчас среднее оценивается в 70 дюймов, всё ещё со стандартным отклонением 2.65 дюйма. Если в США 25 миллионов мужчин в возрасте от 25 до 34 лет, покажите, как определить влияние этого изменения в распределении роста на число мужчин этой возрастной группы ростом 6 футов 3 дюйма или выше.

Вот пример «экономического анализа на основе статистики».

Экономический анализ на основе статистики использует известные вероятности, связанные с колоколообразной кривой; например, вероятность получить наблюдение на два стандартных отклонения выше среднего составляет лишь $2.5 \%$. Предположим, что уровень безработицы за прошедшие 100 месяцев имеет среднее $6 \%$ со стандартным отклонением $1 \%$. Если уровень безработицы в 100-м месяце составляет $8 \%$, то вероятность того, что уровень безработицы поднимется ещё выше, выше 8, в 101-м месяце, составляет лишь $2.5 \%$. В чём логическая ошибка этого рассуждения?

Исследование 225 женщин и 100 мужчин, проживающих в пансионате для пенсионеров во Флориде (все старше 65 лет, со средним возрастом 73.7 года у женщин и 74.1 года у мужчин), обнаружило, что уровень холестерина $(\mathrm{mg} / \mathrm{dl})$ распределён приблизительно нормально для каждого пола со средним 228.9 и стандартным отклонением 37.1 для женщин и средним 202.4 и стандартным отклонением 36.1 для мужчин. Полагая, что это популяционные значения для пожилых женщин и мужчин, какова вероятность того, что у случайно выбранной пожилой женщины уровень холестерина выше 250? Какова вероятность того, что у случайно выбранного пожилого мужчины уровень холестерина выше 250?

Один из показателей эффективности управляющих фондовыми портфелями:

где n — число изучаемых лет, а m — число лет, когда управляющий показал результат лучше медианного управляющего. Объясните простыми словами, что означает $\mathrm{U}=-.8$.

Вы собираетесь бросить m стандартных шестигранных костей n раз. Каждый раз, бросая $m$ костей, вы будете складывать числа на $m$ костях и записывать сумму. Закончив n испытаний, вы вычислите среднее и стандартное отклонение n сумм и построите гистограмму.

Что вероятнее будет распределено нормально: число орлов, полученных при 1000 бросках 2 монет, или число решек, полученных при 100 бросках 10 монет?

Почему, по-вашему, время, необходимое пакетам попкорна для микроволновки, чтобы полностью лопнуть, распределено (приблизительно) нормально, а время, необходимое студентам, чтобы ответить на десять математических задач, — нет?

Австралийское бюро метеорологии использует месячную разницу атмосферного давления между Таити и Дарвином (Австралия) для вычисления индекса южной осцилляции: SOI $=10(X-\mu ) / \sigma$, где $X$ — разница давления в текущем месяце, $\mu$ — среднее историческое значение X для этого месяца, а $\sigma$ — стандартное отклонение X для этого месяца. Отрицательные значения SOI указывают на эпизод Эль-Ниньо, который обычно сопровождается меньшим, чем обычно, количеством осадков на востоке и севере Австралии; положительные значения SOI указывают на эпизод Ла-Нинья, который обычно сопровождается бо́льшим, чем обычно, количеством осадков. Предположим, что X распределена нормально со средним $\mu$ и стандартным отклонением $\sigma$. Объясните, почему вы полагаете, что вероятность показания SOI столь низкого, как -22.8, что произошло в 1994 году, ближе к $1.1 \times 10^{-15}$, .011 или .110.

Дневные максимальные температуры в двух городах 31 декабря можно описать нормальными распределениями, где у Города A среднее $40^{\circ }$ и стандартное отклонение $10^{\circ }$, а у Города B среднее $50^{\circ }$ и стандартное отклонение $20^{\circ }$. У какого города более вероятна дневная максимальная температура ниже $32^{\circ }$ 31 декабря?

Предположим, что женщина случайным образом выбирается из популяции, в которой рост распределён нормально со средним 66 дюймов и стандартным отклонением 2.0 дюйма, а мужчина независимо выбирается из популяции, в которой рост распределён нормально со средним 70 дюймов и стандартным отклонением 2.5 дюйма. Для каждого из следующих вопросов определите, какой исход более вероятен (вычислять вероятности НЕ нужно):

Медианный обхват талии взрослых мужчин США составляет 34.2 дюйма. Около $2.5 \%$ имеют обхват талии 29.7 дюйма или меньше, а $97.5 \%$ имеют обхват талии 39.5 дюйма или меньше. Как по этой информации можно определить, что обхваты талии распределены не нормально? Скошено ли распределение обхватов талии положительно или отрицательно?

Большинство продуктов проектируются под размеры среднего человека, с запасом, вмещающим большинство, но не всех людей. Например, длина торса взрослых мужчин США распределена приблизительно нормально со средним 32 дюйма и стандартным отклонением 2 дюйма.

Опрос Wall Street Journal в декабре 1986 года попросил 35 экономических прогнозистов предсказать процентную ставку по 30-летним казначейским облигациям в июне 1987 года. Среднее этих 35 прогнозов составило $7.05 \%$, а стандартное отклонение — $.53 \%$. Если прогнозы всех прогнозистов на тот момент были распределены нормально со средним $7.05 \%$ и стандартным отклонением $.53 \%$, какая доля прогнозистов предсказала процентную ставку $8.05 \%$ или выше — фактическое значение в июне 1987 года?

Определите предположение, неявно заложенное в этом утверждении из Financial Analysts Journal: «В шестидесяти восьми процентах случаев доходность портфеля будет находиться в пределах плюс-минус одного стандартного отклонения от его долгосрочной средней доходности».

Каждый семестр преподаватель показывает студентам копию выпускного экзамена, который давался в прошлом семестре, чтобы помочь им подготовиться к своему экзамену. Однажды, раздавая тест прошлого семестра, он предупредил: «В сложности тестов неизбежно есть разброс. Этот тест был на одно стандартное отклонение ниже среднего». Полагая нормальность, как бы вы интерпретировали это замечание?

Переменная X распределена нормально со средним 10 и стандартным отклонением 20. Определите, верны или неверны следующие утверждения.

Согласны вы или не согласны со следующими утверждениями об X $\sim N[\mu , \sigma ]$?

В 2018 году Zillow запустила бизнес по перепродаже домов под названием Zillow Offers. Идея состояла в том, что Zillow будет использовать свои оценки рыночной стоимости, чтобы делать денежные предложения домовладельцам, желающим быстрой и лёгкой продажи. Затем Zillow будет привлекать местных подрядчиков для мелкого ремонта и, возможно, укладки нового ковролина и свежей покраски, а затем продавать дом с быстрой прибылью. Проблема оказалась в том, что домовладельцы знают о стоимости своих домов больше, чем Zillow.

Предположим, что ошибки в оценках цен Zillow распределены нормально со средним нуль и медианной абсолютной ошибкой $2 \%$.

Если каждый продавец согласится принять предложение от Zillow только тогда, когда предложение завышено как минимум на $2 \%$, сделайте грубую оценку медианной ошибки оценки для домов, которые покупает Zillow. Будет ли средняя ошибка оценки больше или меньше медианной?