Векторное пространство линейных отображений

Пусть $b, c \in \mathbb {R}$. Определим $T: \mathbb {R}^{3} \rightarrow \mathbb {R}^{2}$ формулой

Покажите, что $T$ линейно тогда и только тогда, когда $b = c = 0$.

Пусть $b, c \in \mathbb {R}$. Определим $T: \mathcal{P}(\mathbb {R}) \rightarrow \mathbb {R}^{2}$ формулой

Покажите, что $T$ линейно тогда и только тогда, когда $b = c = 0$.

Пусть $T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{n}, \mathbf{F}^{m}\right)$. Покажите, что существуют скаляры $A_{j, k} \in \mathbf{F}$ при $j = 1, \ldots , m$ и $k = 1, \ldots , n$, такие что

для каждого $\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) \in \mathbf{F}^{n}$. Эта задача показывает, что линейное отображение $T$ имеет вид, обещанный в предпоследнем пункте примера 3.3.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$ и $v_{1}, \ldots , v_{m}$ — набор векторов в $V$, такой что $T v_{1}, \ldots , T v_{m}$ — линейно независимый набор в $W$. Докажите, что $v_{1}, \ldots , v_{m}$ линейно независим.

Докажите, что $\mathcal{L}(V, W)$ является векторным пространством, как утверждалось в 3.6.

Докажите, что умножение линейных отображений обладает свойствами ассоциативности, существования единицы и дистрибутивности, утверждаемыми в 3.8.

Покажите, что каждое линейное отображение одномерного векторного пространства в себя является умножением на некоторый скаляр. Точнее, докажите, что если $\operatorname {dim} V = 1$ и $T \in \mathcal{L}(V)$, то существует $\lambda \in \mathbf{F}$, такое что $T v = \lambda v$ для всех $v \in V$.

Приведите пример функции $\varphi : \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}$, такой что

для всех $a \in \mathbb {R}$ и всех $v \in \mathbb {R}^{2}$, но $\varphi$ не является линейной. Эта задача и следующая показывают, что ни однородности, ни аддитивности по отдельности не достаточно, чтобы гарантировать линейность функции.

Приведите пример функции $\varphi : \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$, такой что

для всех $w, z \in \mathbb {C}$, но $\varphi$ не является линейной. (Здесь $\mathbb {C}$ рассматривается как комплексное векторное пространство.)

Существует также функция $\varphi : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, удовлетворяющая указанному выше условию аддитивности, но не являющаяся линейной. Однако доказательство существования такой функции требует существенно более продвинутых средств.

Докажите или приведите контрпример: если $q \in \mathcal{P}(\mathbb {R})$ и $T: \mathcal{P}(\mathbb {R}) \rightarrow \mathcal{P}(\mathbb {R})$ определено как $T p = q \circ p$, то $T$ — линейное отображение.

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $T$ является скалярным кратным тождественного отображения тогда и только тогда, когда $S T = T S$ для каждого $S \in \mathcal{L}(V)$.

Пусть $U$ — подпространство $V$ с $U \neq V$. Пусть $S \in \mathcal{L}(U, W)$ и $S \neq 0$ (то есть $S u \neq 0$ для некоторого $u \in U$). Определим $T: V \rightarrow W$ формулой

Докажите, что $T$ не является линейным отображением на $V$.

Пусть $V$ конечномерно. Докажите, что каждое линейное отображение, заданное на подпространстве $V$, можно продолжить до линейного отображения на $V$. Другими словами, покажите, что если $U$ — подпространство $V$ и $S \in \mathcal{L}(U, W)$, то существует $T \in \mathcal{L}(V, W)$, такое что $T u = S u$ для всех $u \in U$.

Пусть $V$ конечномерно, причём $\operatorname {dim} V > 0$, и пусть $W$ бесконечномерно. Докажите, что $\mathcal{L}(V, W)$ бесконечномерно.

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{m}$ — линейно зависимый набор векторов в $V$. Пусть также $W \neq \left\{ 0\right\}$. Докажите, что существуют $w_{1}, \ldots , w_{m} \in W$, такие что ни одно $T \in \mathcal{L}(V, W)$ не удовлетворяет условию $T v_{k} = w_{k}$ для каждого $k = 1, \ldots , m$.

Пусть $V$ конечномерно, причём $\operatorname {dim} V > 1$. Докажите, что существуют $S, T \in \mathcal{L}(V)$, такие что $S T \neq T S$.

Пусть $V$ конечномерно. Покажите, что единственными двусторонними идеалами $\mathcal{L}(V)$ являются $\left\{ 0\right\}$ и $\mathcal{L}(V)$.