Глава 3

Линейные отображения

[143/0%]
Показать
LaTeX
§
3A · Векторное пространство линейных отображений[17/0%]
Задача 3A.1

Пусть b,c∈Rb, c \in \mathbb {R}. Определим T:R3→R2T: \mathbb {R}^{3} \rightarrow \mathbb {R}^{2} формулой

T(x,y,z)=(2x−4y+3z+b,6x+cxyz). T(x, y, z) = (2 x-4 y+3 z+b, 6 x+c x y z).

Покажите, что TT линейно тогда и только тогда, когда b=c=0b = c = 0.

?
Задача 3A.2

Пусть b,c∈Rb, c \in \mathbb {R}. Определим T:P(R)→R2T: \mathcal{P}(\mathbb {R}) \rightarrow \mathbb {R}^{2} формулой

Tp=(3p(4)+5p′(6)+bp(1)p(2),∫−12x3p(x)dx+csin⁡p(0)). T p = \left(3 p(4)+5 p^{\prime }(6)+b p(1) p(2), \int _{-1}^{2} x^{3} p(x) d x+c \sin p(0)\right).

Покажите, что TT линейно тогда и только тогда, когда b=c=0b = c = 0.

?
Задача 3A.3

Пусть T∈L(Fn,Fm)T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{n}, \mathbf{F}^{m}\right). Покажите, что существуют скаляры Aj,k∈FA_{j, k} \in \mathbf{F} при j=1,…,mj = 1, \ldots , m и k=1,…,nk = 1, \ldots , n, такие что

T(x1,…,xn)=(A1,1x1+⋯+A1,nxn,…,Am,1x1+⋯+Am,nxn) T\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) = \left(A_{1,1} x_{1}+\cdots +A_{1, n} x_{n}, \ldots , A_{m, 1} x_{1}+\cdots +A_{m, n} x_{n}\right)

для каждого (x1,…,xn)∈Fn\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) \in \mathbf{F}^{n}. Эта задача показывает, что линейное отображение TT имеет вид, обещанный в предпоследнем пункте примера 3.3.

?
Задача 3A.4

Пусть T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W) и v1,…,vmv_{1}, \ldots , v_{m} — набор векторов в VV, такой что Tv1,…,TvmT v_{1}, \ldots , T v_{m} — линейно независимый набор в WW. Докажите, что v1,…,vmv_{1}, \ldots , v_{m} линейно независим.

?
Задача 3A.5

Докажите, что L(V,W)\mathcal{L}(V, W) является векторным пространством, как утверждалось в 3.6.

?
Задача 3A.6

Докажите, что умножение линейных отображений обладает свойствами ассоциативности, существования единицы и дистрибутивности, утверждаемыми в 3.8.

?
Задача 3A.7

Покажите, что каждое линейное отображение одномерного векторного пространства в себя является умножением на некоторый скаляр. Точнее, докажите, что если dim⁡V=1\operatorname {dim} V = 1 и T∈L(V)T \in \mathcal{L}(V), то существует λ∈F\lambda \in \mathbf{F}, такое что Tv=λvT v = \lambda v для всех v∈Vv \in V.

?
Задача 3A.8

Приведите пример функции φ:R2→R\varphi : \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}, такой что

φ(av)=aφ(v) \varphi (a v) = a \varphi (v)

для всех a∈Ra \in \mathbb {R} и всех v∈R2v \in \mathbb {R}^{2}, но φ\varphi не является линейной. Эта задача и следующая показывают, что ни однородности, ни аддитивности по отдельности не достаточно, чтобы гарантировать линейность функции.

?
Задача 3A.9

Приведите пример функции φ:C→C\varphi : \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}, такой что

φ(w+z)=φ(w)+φ(z) \varphi (w+z) = \varphi (w)+\varphi (z)

для всех w,z∈Cw, z \in \mathbb {C}, но φ\varphi не является линейной. (Здесь C\mathbb {C} рассматривается как комплексное векторное пространство.)

Существует также функция φ:R→R\varphi : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}, удовлетворяющая указанному выше условию аддитивности, но не являющаяся линейной. Однако доказательство существования такой функции требует существенно более продвинутых средств.

?
Задача 3A.10

Докажите или приведите контрпример: если q∈P(R)q \in \mathcal{P}(\mathbb {R}) и T:P(R)→P(R)T: \mathcal{P}(\mathbb {R}) \rightarrow \mathcal{P}(\mathbb {R}) определено как Tp=q∘pT p = q \circ p, то TT — линейное отображение.

?
Примечание.
?

Функция TT, определённая здесь, отличается от функции TT, определённой в последнем пункте 3.3, порядком функций в композиции.

Задача 3A.11

Пусть VV конечномерно и T∈L(V)T \in \mathcal{L}(V). Докажите, что TT является скалярным кратным тождественного отображения тогда и только тогда, когда ST=TSS T = T S для каждого S∈L(V)S \in \mathcal{L}(V).

?
Задача 3A.12

Пусть UU — подпространство VV с U≠VU \neq V. Пусть S∈L(U,W)S \in \mathcal{L}(U, W) и S≠0S \neq 0 (то есть Su≠0S u \neq 0 для некоторого u∈Uu \in U). Определим T:V→WT: V \rightarrow W формулой

Tv={Sv если v∈U,0 если v∈V и v∉U. T v = \begin{cases} S v & \text{ если } v \in U, \\ 0 & \text{ если } v \in V \text{ и } v \notin U.\end{cases}

Докажите, что TT не является линейным отображением на VV.

?
Задача 3A.13

Пусть VV конечномерно. Докажите, что каждое линейное отображение, заданное на подпространстве VV, можно продолжить до линейного отображения на VV. Другими словами, покажите, что если UU — подпространство VV и S∈L(U,W)S \in \mathcal{L}(U, W), то существует T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W), такое что Tu=SuT u = S u для всех u∈Uu \in U.

?
Примечание.
?

Результат этой задачи используется в доказательстве 3.125.

Задача 3A.14

Пусть VV конечномерно, причём dim⁡V>0\operatorname {dim} V > 0, и пусть WW бесконечномерно. Докажите, что L(V,W)\mathcal{L}(V, W) бесконечномерно.

?
Задача 3A.15

Пусть v1,…,vmv_{1}, \ldots , v_{m} — линейно зависимый набор векторов в VV. Пусть также W≠{0}W \neq \left\{ 0\right\}. Докажите, что существуют w1,…,wm∈Ww_{1}, \ldots , w_{m} \in W, такие что ни одно T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W) не удовлетворяет условию Tvk=wkT v_{k} = w_{k} для каждого k=1,…,mk = 1, \ldots , m.

?
Задача 3A.16

Пусть VV конечномерно, причём dim⁡V>1\operatorname {dim} V > 1. Докажите, что существуют S,T∈L(V)S, T \in \mathcal{L}(V), такие что ST≠TSS T \neq T S.

?
Задача 3A.17

Пусть VV конечномерно. Покажите, что единственными двусторонними идеалами L(V)\mathcal{L}(V) являются {0}\left\{ 0\right\} и L(V)\mathcal{L}(V).

?
Примечание.
?

Подпространство E\mathcal{E} пространства L(V)\mathcal{L}(V) называется двусторонним идеалом L(V)\mathcal{L}(V), если TE∈ET E \in \mathcal{E} и ET∈EE T \in \mathcal{E} для всех E∈EE \in \mathcal{E} и всех T∈L(V)T \in \mathcal{L}(V).

§
3B · Ядра и образы[33/0%]
Задача 3B.1

Приведите пример линейного отображения TT с dim⁡null⁡T=3\operatorname {dim}\operatorname {null}T = 3 и dim⁡\operatorname {dim} образ T=2T = 2.

?
Задача 3B.2

Пусть S,T∈L(V)S, T \in \mathcal{L}(V) таковы, что образ S⊆null⁡TS \subseteq \operatorname {null}T. Докажите, что (ST)2=0(S T)^{2} = 0.

?
Задача 3B.3

Пусть v1,…,vmv_{1}, \ldots , v_{m} — набор векторов в VV. Определим T∈L(Fm,V)T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{m}, V\right) формулой

T(z1,…,zm)=z1v1+⋯+zmvm. T\left(z_{1}, \ldots , z_{m}\right) = z_{1} v_{1}+\cdots +z_{m} v_{m}.
?
(a)

Какому свойству TT соответствует то, что v1,…,vmv_{1}, \ldots , v_{m} порождают VV?

(b)

Какому свойству TT соответствует то, что набор v1,…,vmv_{1}, \ldots , v_{m} линейно независим?

Задача 3B.4

Покажите, что {T∈L(R5,R4) : dim null⁡T>2}\left\{ T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {R}^{5}, \mathbb {R}^{4}\right) \text{ : dim } \operatorname {null} T > 2\right\} не является подпространством L(R5,R4)\mathcal{L}\left(\mathbb {R}^{5}, \mathbb {R}^{4}\right).

?
Задача 3B.5

Приведите пример T∈L(R4)T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {R}^{4}\right), такого что образ T=null⁡TT =\operatorname {null}T.

?
Задача 3B.6

Докажите, что не существует T∈L(R5)T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {R}^{5}\right), такого что образ T=null⁡TT =\operatorname {null}T.

?
Задача 3B.7

Пусть VV и WW конечномерны, причём 2≤dim⁡V≤dim⁡W2 \leq \operatorname {dim} V \leq \operatorname {dim} W. Покажите, что {T∈L(V,W):T не инъективно }\left\{ T \in \mathcal{L}(V, W): T\text{ не инъективно }\right\} не является подпространством L(V,W)\mathcal{L}(V, W).

?
Задача 3B.8

Пусть VV и WW конечномерны, причём dim⁡V≥dim⁡W≥2\operatorname {dim} V \geq \operatorname {dim} W \geq 2. Покажите, что {T∈L(V,W):T не сюръективно }\left\{ T \in \mathcal{L}(V, W): T\text{ не сюръективно }\right\} не является подпространством L(V,W)\mathcal{L}(V, W).

?
Задача 3B.9

Пусть T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W) инъективно и v1,…,vnv_{1}, \ldots , v_{n} линейно независим в VV. Докажите, что Tv1,…,TvnT v_{1}, \ldots , T v_{n} линейно независим в WW.

?
Задача 3B.10

Пусть v1,…,vnv_{1}, \ldots , v_{n} порождают VV и T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W). Покажите, что Tv1,…,TvnT v_{1}, \ldots , T v_{n} порождают образ TT.

?
Задача 3B.11

Пусть VV конечномерно и T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W). Докажите, что существует подпространство UU пространства VV, такое что

U∩null⁡T={0} и  образ T={Tu:u∈U}. U \cap \operatorname {null} T = \left\{ 0\right\} \quad \text{ и } \quad \text{ образ } T = \left\{ T u: u \in U\right\} .
?
Задача 3B.12

Пусть TT — линейное отображение из F4\mathbf{F}^{4} в F2\mathbf{F}^{2}, такое что

null⁡T={(x1,x2,x3,x4)∈F4:x1=5x2 и x3=7x4}. \operatorname {null} T = \left\{ \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbf{F}^{4}: x_{1} = 5 x_{2} \text{ и } x_{3} = 7 x_{4}\right\} .

Докажите, что TT сюръективно.

?
Задача 3B.13

Пусть UU — трёхмерное подпространство R8\mathbb {R}^{8} и TT — линейное отображение из R8\mathbb {R}^{8} в R5\mathbb {R}^{5}, такое что null⁡T=U\operatorname {null}T = U. Докажите, что TT сюръективно.

?
Задача 3B.14

Докажите, что не существует линейного отображения из F5\mathbf{F}^{5} в F2\mathbf{F}^{2}, ядро которого равно {(x1,x2,x3,x4,x5)∈F5:x1=3x2 и x3=x4=x5}\left\{ \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right) \in \mathbf{F}^{5}: x_{1} = 3 x_{2} \text{ и } x_{3} = x_{4} = x_{5}\right\}.

?
Задача 3B.15

Пусть на VV существует линейное отображение, ядро и образ которого оба конечномерны. Докажите, что VV конечномерно.

?
Задача 3B.16

Пусть VV и WW оба конечномерны. Докажите, что существует инъективное линейное отображение из VV в WW тогда и только тогда, когда dim⁡V≤dim⁡W\operatorname {dim} V \leq \operatorname {dim} W.

?
Задача 3B.17

Пусть VV и WW оба конечномерны. Докажите, что существует сюръективное линейное отображение из VV на WW тогда и только тогда, когда dim⁡V≥dim⁡W\operatorname {dim} V \geq \operatorname {dim} W.

?
Задача 3B.18

Пусть VV и WW конечномерны и UU — подпространство VV. Докажите, что существует T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W), такое что null⁡T=U\operatorname {null}T = U, тогда и только тогда, когда dim⁡U≥dim⁡V−dim⁡W\operatorname {dim} U \geq \operatorname {dim} V-\operatorname {dim} W.

?
Задача 3B.19

Пусть WW конечномерно и T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W). Докажите, что TT инъективно тогда и только тогда, когда существует S∈L(W,V)S \in \mathcal{L}(W, V), такое что STS T — тождественный оператор на VV.

?
Задача 3B.20

Пусть WW конечномерно и T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W). Докажите, что TT сюръективно тогда и только тогда, когда существует S∈L(W,V)S \in \mathcal{L}(W, V), такое что TST S — тождественный оператор на WW.

?
Задача 3B.21

Пусть VV конечномерно, T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W) и UU — подпространство WW. Докажите, что {v∈V:Tv∈U}\left\{ v \in V: T v \in U\right\} является подпространством VV и

dim⁡{v∈V:Tv∈U}=dim⁡null⁡T+dim⁡(U∩range⁡T). \operatorname {dim}\left\{ v \in V: T v \in U\right\} = \operatorname {dim}\operatorname {null}T+\operatorname {dim}(U \cap \operatorname {range} T).
?
Задача 3B.22

Пусть UU и VV — конечномерные векторные пространства, S∈L(V,W)S \in \mathcal{L}(V, W) и T∈L(U,V)T \in \mathcal{L}(U, V). Докажите, что

dim⁡null⁡ST≤dim⁡null⁡S+dim⁡null⁡T \operatorname {dim}\operatorname {null}S T \leq \operatorname {dim}\operatorname {null}S+\operatorname {dim}\operatorname {null}T
?
Задача 3B.23

Пусть UU и VV — конечномерные векторные пространства, S∈L(V,W)S \in \mathcal{L}(V, W) и T∈L(U,V)T \in \mathcal{L}(U, V). Докажите, что dim образ ST≤min⁡{dim⁡ образ S, dim образ T}S T \leq \min \left\{ \operatorname {dim}\text{ образ }S\text{, dim образ }T\right\}.

?
Задача 3B.24
?
(a)

Пусть dim⁡V=5\operatorname {dim} V = 5 и S,T∈L(V)S, T \in \mathcal{L}(V) таковы, что ST=0S T = 0. Докажите, что dim образ TS≤2T S \leq 2.

(b)

Приведите пример S,T∈L(F5)S, T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{5}\right) с ST=0S T = 0 и dim образ TS=2T S = 2.

Задача 3B.25

Пусть WW конечномерно и S,T∈L(V,W)S, T \in \mathcal{L}(V, W). Докажите, что null⁡S⊆null⁡T\operatorname {null}S \subseteq \operatorname {null}T тогда и только тогда, когда существует E∈L(W)E \in \mathcal{L}(W), такое что T=EST = E S.

?
Задача 3B.26

Пусть VV конечномерно и S,T∈L(V,W)S, T \in \mathcal{L}(V, W). Докажите, что образ S⊆S \subseteq образ TT тогда и только тогда, когда существует E∈L(V)E \in \mathcal{L}(V), такое что S=TES = T E.

?
Задача 3B.27

Пусть P∈L(V)P \in \mathcal{L}(V) и P2=PP^{2} = P. Докажите, что V=null⁡P⊕V =\operatorname {null}P \oplus образ PP.

?
Задача 3B.28

Пусть D∈L(P(R))D \in \mathcal{L}(\mathcal{P}(\mathbb {R})) таково, что deg⁡Dp=(deg⁡p)−1\operatorname {deg} D p = (\operatorname {deg} p)-1 для каждого непостоянного многочлена p∈P(R)p \in \mathcal{P}(\mathbb {R}). Докажите, что DD сюръективно.

?
Примечание.
?

Обозначение DD используется здесь, чтобы напомнить об отображении дифференцирования, переводящем многочлен p в p′p^{\prime }.

Задача 3B.29

Пусть p∈P(R)p \in \mathcal{P}(\mathbb {R}). Докажите, что существует многочлен q∈P(R)q \in \mathcal{P}(\mathbb {R}), такой что 5q′′+3q′=p5 q^{\prime \prime }+3 q^{\prime } = p.

?
Примечание.
?

Эту задачу можно решить без линейной алгебры, но решать её с помощью линейной алгебры интереснее.

Задача 3B.30

Пусть φ∈L(V,F)\varphi \in \mathcal{L}(V, \mathbf{F}) и φ≠0\varphi \neq 0. Пусть u∈Vu \in V не лежит в null⁡φ\operatorname {null}\varphi. Докажите, что

V=null⁡φ⊕{au:a∈F}. V = \operatorname {null} \varphi \oplus \left\{ a u: a \in \mathbf{F}\right\} .
?
Задача 3B.31

Пусть VV конечномерно, XX — подпространство VV, а YY — конечномерное подпространство WW. Докажите, что существует T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W), такое что null⁡T=X\operatorname {null}T = X и образ T=YT = Y, тогда и только тогда, когда dim⁡X+dim⁡Y=dim⁡V\operatorname {dim} X+\operatorname {dim} Y = \operatorname {dim} V.

?
Задача 3B.32

Пусть VV конечномерно, причём dim⁡V>1\operatorname {dim} V > 1. Покажите, что если φ:L(V)→F\varphi : \mathcal{L}(V) \rightarrow \mathbf{F} — линейное отображение, такое что φ(ST)=φ(S)φ(T)\varphi (S T) = \varphi (S) \varphi (T) для всех S,T∈L(V)S, T \in \mathcal{L}(V), то φ=0\varphi = 0.

?
Задача 3B.33

Пусть VV и WW — вещественные векторные пространства и T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W). Определим TC:VC→WCT_{\mathrm{C}}: V_{\mathrm{C}} \rightarrow W_{\mathrm{C}} формулой

TC(u+iv)=Tu+iTv T_{\mathbb {C}}(u+i v) = T u+i T v

для всех u,v∈Vu, v \in V.

?
(a)

Покажите, что TCT_{\mathrm{C}} является (комплексным) линейным отображением из VCV_{\mathrm{C}} в WCW_{\mathrm{C}}.

(b)

Покажите, что TCT_{\mathrm{C}} инъективно тогда и только тогда, когда TT инъективно.

(c)

Покажите, что образ TC=WCT_{\mathrm{C}} = W_{\mathrm{C}} тогда и только тогда, когда образ T=WT = W.

Определение комплексификации VCV_{\mathrm{C}} см. в задаче 8 раздела 1B. Линейное отображение TCT_{\mathrm{C}} называется комплексификацией линейного отображения TT.

§
3C · Матрицы[17/0%]
Задача 3C.1

Пусть T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W). Покажите, что при любом выборе базисов VV и WW матрица TT имеет не менее dim образ TT ненулевых элементов.

?
Задача 3C.2

Пусть VV и WW конечномерны и T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W). Докажите, что dim образ T=1T = 1 тогда и только тогда, когда существуют базис VV и базис WW, относительно которых все элементы M(T)\mathcal{M}(T) равны 1.

?
Задача 3C.3

Пусть v1,…,vnv_{1}, \ldots , v_{n} — базис VV, а w1,…,wmw_{1}, \ldots , w_{m} — базис WW.

?
(a)

Покажите, что если S,T∈L(V,W)S, T \in \mathcal{L}(V, W), то M(S+T)=M(S)+M(T)\mathcal{M}(S+T) = \mathcal{M}(S)+\mathcal{M}(T).

(b)

Покажите, что если λ∈F\lambda \in \mathbf{F} и T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W), то M(λT)=λM(T)\mathcal{M}(\lambda T) = \lambda \mathcal{M}(T).

Эта задача просит вас проверить 3.35 и 3.38.

Задача 3C.4

Пусть D∈L(P3(R),P2(R))D \in \mathcal{L}\left(\mathcal{P}_{3}(\mathbb {R}), \mathcal{P}_{2}(\mathbb {R})\right) — отображение дифференцирования, определённое как Dp=p′D p = p^{\prime }. Найдите базис P3(R)\mathcal{P}_{3}(\mathbb {R}) и базис P2(R)\mathcal{P}_{2}(\mathbb {R}), относительно которых матрица DD равна

[100001000010] \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]

Сравните с примером 3.33. Следующая задача обобщает эту задачу.

?
Задача 3C.5

Пусть VV и WW конечномерны и T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W). Докажите, что существуют базис VV и базис WW, относительно которых все элементы M(T)\mathcal{M}(T) равны 0, за исключением элементов в строке kk, столбце kk, которые равны 1 при 1≤k≤dim⁡1 \leq k \leq \operatorname {dim} образ TT.

?
Задача 3C.6

Пусть v1,…,vmv_{1}, \ldots , v_{m} — базис VV и WW конечномерно. Пусть T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W). Докажите, что существует базис w1,…,wnw_{1}, \ldots , w_{n} пространства WW, такой что все элементы первого столбца M(T)\mathcal{M}(T) [относительно базисов v1,…,vmv_{1}, \ldots , v_{m} и w1,…,wnw_{1}, \ldots , w_{n}] равны 0, за исключением, возможно, 1 в первой строке первого столбца.

?
Примечание.
?

В этой задаче, в отличие от задачи 5, базис VV дан вам заранее, а не выбирается вами.

Задача 3C.7

Пусть w1,…,wnw_{1}, \ldots , w_{n} — базис WW и VV конечномерно. Пусть T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W). Докажите, что существует базис v1,…,vmv_{1}, \ldots , v_{m} пространства VV, такой что все элементы первой строки M(T)\mathcal{M}(T) [относительно базисов v1,…,vmv_{1}, \ldots , v_{m} и w1,…,wnw_{1}, \ldots , w_{n}] равны 0, за исключением, возможно, 1 в первой строке первого столбца.

?
Примечание.
?

В этой задаче, в отличие от задачи 5, базис W дан вам заранее, а не выбирается вами.

Задача 3C.8

Пусть AA — матрица размера mm-на-nn, а BB — матрица размера nn-на-pp. Докажите, что

(AB)j,.=Aj,.B (A B)_{j, .} = A_{j, .} B

для каждого 1≤j≤m1 \leq j \leq m. Другими словами, покажите, что строка jj матрицы ABA B равна (строке jj матрицы AA), умноженной на BB.

?
Примечание.
?

Эта задача даёт версию 3.48 для строк.

Задача 3C.9

Пусть a=(a1⋯an)a = \left(\begin{array}{lll}a_{1} & \cdots & a_{n}\end{array}\right) — матрица размера 1-на-nn, а BB — матрица размера nn-на-pp. Докажите, что

aB=a1B1,⋅+⋯+anBn,⋅ a B = a_{1} B_{1, \cdot }+\cdots +a_{n} B_{n, \cdot }

Другими словами, покажите, что aBa B является линейной комбинацией строк BB, где скаляры, на которые умножаются строки, берутся из aa.

?
Примечание.
?

Эта задача даёт версию 3.50 для строк.

Задача 3C.10

Приведите пример матриц AA и BB размера 2-на-2, таких что AB≠BAA B \neq B A.

?
Задача 3C.11

Докажите, что дистрибутивное свойство выполняется для сложения и умножения матриц. Другими словами, пусть A,B,C,D,EA, B, C, D, E и FF — матрицы, размеры которых таковы, что A(B+C)A(B+C) и (D+E)F(D+E) F имеют смысл. Объясните, почему AB+ACA B+A C и DF+EFD F+E F также имеют смысл, и докажите, что

A(B+C)=AB+AC и (D+E)F=DF+EF A(B+C) = A B+A C \quad \text{ и } \quad (D+E) F = D F+E F
?
Задача 3C.12

Докажите, что умножение матриц ассоциативно. Другими словами, пусть A,BA, B и CC — матрицы, размеры которых таковы, что (AB)C(A B) C имеет смысл. Объясните, почему A(BC)A(B C) имеет смысл, и докажите, что

(AB)C=A(BC). (A B) C = A(B C).

Постарайтесь найти изящное доказательство, иллюстрирующее следующую цитату Эмиля Артина: «По моему опыту, доказательства, использующие матрицы, можно сократить на 50, если избавиться от матриц».

?
Задача 3C.13

Пусть AA — матрица размера nn-на-nn и 1≤j,k≤n1 \leq j, k \leq n. Покажите, что элемент в строке jj, столбце kk матрицы A3A^{3} (которая по определению означает AAAA A A) равен

∑p=1n∑r=1nAj,pAp,rAr,k \sum _{p = 1}^{n} \sum _{r = 1}^{n} A_{j, p} A_{p, r} A_{r, k}
?
Задача 3C.14

Пусть mm и nn — натуральные числа. Докажите, что функция A↦AtA \mapsto A^{\mathrm{t}} является линейным отображением из Fm,n\mathbf{F}^{m, n} в Fn,m\mathbf{F}^{n, m}.

?
Задача 3C.15

Докажите, что если AA — матрица размера mm-на-nn, а CC — матрица размера nn-на-pp, то

(AC)t=CtAt. (A C)^{\mathrm{t}} = C^{\mathrm{t}} A^{\mathrm{t}}.

Эта задача показывает, что транспонирование произведения двух матриц равно произведению транспонированных матриц в обратном порядке.

?
Задача 3C.16

Пусть AA — матрица размера mm-на-nn с A≠0A \neq 0. Докажите, что ранг AA равен 1 тогда и только тогда, когда существуют (c1,…,cm)∈Fm\left(c_{1}, \ldots , c_{m}\right) \in \mathbf{F}^{m} и (d1,…,dn)∈Fn\left(d_{1}, \ldots , d_{n}\right) \in \mathbf{F}^{n}, такие что Aj,k=cjdkA_{j, k} = c_{j} d_{k} для каждого j=1,…,mj = 1, \ldots , m и каждого k=1,…,nk = 1, \ldots , n.

?
Задача 3C.17

Пусть T∈L(V)T \in \mathcal{L}(V), а u1,…,unu_{1}, \ldots , u_{n} и v1,…,vnv_{1}, \ldots , v_{n} — базисы VV. Докажите, что следующие условия равносильны.

?
(a)

TT инъективно.

(b)

Столбцы M(T)\mathcal{M}(T) линейно независимы в Fn,1\mathbf{F}^{n, 1}.

(c)

Столбцы M(T)\mathcal{M}(T) порождают Fn,1\mathbf{F}^{n, 1}.

(d)

Строки M(T)\mathcal{M}(T) порождают F1,n\mathbf{F}^{1, n}.

(e)

Строки M(T)\mathcal{M}(T) линейно независимы в F1,n\mathbf{F}^{1, n}.

Здесь M(T)\mathcal{M}(T) означает M(T,(u1,…,un),(v1,…,vn))\mathcal{M}\left(T,\left(u_{1}, \ldots , u_{n}\right),\left(v_{1}, \ldots , v_{n}\right)\right).

§
3D · Обратимость и изоморфизмы[24/0%]
Задача 3D.1

Пусть T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W) обратимо. Покажите, что T−1T^{-1} обратимо и

(T−1)−1=T. \left(T^{-1}\right)^{-1} = T.
?
Задача 3D.2

Пусть T∈L(U,V)T \in \mathcal{L}(U, V) и S∈L(V,W)S \in \mathcal{L}(V, W) — оба обратимые линейные отображения. Докажите, что ST∈L(U,W)S T \in \mathcal{L}(U, W) обратимо и (ST)−1=T−1S−1(S T)^{-1} = T^{-1} S^{-1}.

?
Задача 3D.3

Пусть VV конечномерно и T∈L(V)T \in \mathcal{L}(V). Докажите, что следующие условия равносильны.

?
(a)

TT обратимо.

(b)

Tv1,…,TvnT v_{1}, \ldots , T v_{n} является базисом VV для каждого базиса v1,…,vnv_{1}, \ldots , v_{n} пространства VV.

(c)

Tv1,…,TvnT v_{1}, \ldots , T v_{n} является базисом VV для некоторого базиса v1,…,vnv_{1}, \ldots , v_{n} пространства VV.

Задача 3D.4

Пусть VV конечномерно и dim⁡V>1\operatorname {dim} V > 1. Докажите, что множество необратимых линейных отображений из VV в себя не является подпространством L(V)\mathcal{L}(V).

?
Задача 3D.5

Пусть VV конечномерно, UU — подпространство VV и S∈L(U,V)S \in \mathcal{L}(U, V). Докажите, что существует обратимое линейное отображение TT из VV в себя, такое что Tu=SuT u = S u для каждого u∈Uu \in U, тогда и только тогда, когда SS инъективно.

?
Задача 3D.6

Пусть WW конечномерно и S,T∈L(V,W)S, T \in \mathcal{L}(V, W). Докажите, что null⁡S=null⁡T\operatorname {null}S =\operatorname {null}T тогда и только тогда, когда существует обратимое E∈L(W)E \in \mathcal{L}(W), такое что S=ETS = E T.

?
Задача 3D.7

Пусть VV конечномерно и S,T∈L(V,W)S, T \in \mathcal{L}(V, W). Докажите, что образ S=S = образ TT тогда и только тогда, когда существует обратимое E∈L(V)E \in \mathcal{L}(V), такое что S=TES = T E.

?
Задача 3D.8

Пусть VV и WW конечномерны и S,T∈L(V,W)S, T \in \mathcal{L}(V, W). Докажите, что существуют обратимые E1∈L(V)E_{1} \in \mathcal{L}(V) и E2∈L(W)E_{2} \in \mathcal{L}(W), такие что S=E2TE1S = E_{2} T E_{1}, тогда и только тогда, когда dim⁡null⁡S=dim⁡null⁡T\operatorname {dim}\operatorname {null}S = \operatorname {dim}\operatorname {null}T.

?
Задача 3D.9

Пусть VV конечномерно и T:V→WT: V \rightarrow W — сюръективное линейное отображение VV на WW. Докажите, что существует подпространство UU пространства VV, такое что T∣U\left.T\right|_{U} является изоморфизмом UU на WW.

?
Примечание.
?

Здесь T∣U\left.T\right|_{U} означает функцию TT, ограниченную на UU. Таким образом, T∣U\left.T\right|_{U} — это функция с областью определения UU, где T∣U\left.T\right|_{U} определяется как T∣U(u)=Tu\left.T\right|_{U}(u) = T u для каждого u∈Uu \in U.

Задача 3D.10

Пусть VV и WW конечномерны и UU — подпространство VV. Пусть

E={T∈L(V,W):U⊆null⁡T} \mathcal{E} = \left\{ T \in \mathcal{L}(V, W): U \subseteq \operatorname {null} T\right\}
?
(a)

Покажите, что E\mathcal{E} является подпространством L(V,W)\mathcal{L}(V, W).

(b)

Найдите формулу для dim⁡E\operatorname {dim} \mathcal{E} через dim⁡V,dim⁡W\operatorname {dim} V, \operatorname {dim} W и dim⁡U\operatorname {dim} U.

Задача 3D.11

Пусть VV конечномерно и S,T∈L(V)S, T \in \mathcal{L}(V). Докажите, что

ST обратимо ⟺S и T обратимы.  S T \text{ обратимо } \Longleftrightarrow S \text{ и } T \text{ обратимы. }
?
Задача 3D.12

Пусть VV конечномерно и S,T,U∈L(V)S, T, U \in \mathcal{L}(V) и STU=IS T U = I. Покажите, что TT обратимо и T−1=UST^{-1} = U S.

?
Задача 3D.13

Покажите, что результат задачи 12 может не выполняться без предположения о конечномерности VV.

?
Примечание.
?

Задача 12: пусть VV конечномерно, S,T,U∈L(V)S, T, U \in \mathcal{L}(V) и STU=ISTU = I. Тогда TT обратим и T−1=UST^{-1} = US.

Задача 3D.14

Докажите или приведите контрпример: если VV — конечномерное векторное пространство и R,S,T∈L(V)R, S, T \in \mathcal{L}(V) таковы, что RSTR S T сюръективно, то SS инъективно.

?
Задача 3D.15

Пусть T∈L(V)T \in \mathcal{L}(V) и v1,…,vmv_{1}, \ldots , v_{m} — набор в VV, такой что Tv1,…,TvmT v_{1}, \ldots , T v_{m} порождают VV. Докажите, что v1,…,vmv_{1}, \ldots , v_{m} порождают VV.

?
Задача 3D.16

Докажите, что каждое линейное отображение из Fn,1\mathbf{F}^{n, 1} в Fm,1\mathbf{F}^{m, 1} задаётся умножением на матрицу. Другими словами, докажите, что если T∈L(Fn,1,Fm,1)T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{n, 1}, \mathbf{F}^{m, 1}\right), то существует матрица AA размера mm-на-nn, такая что Tx=AxT x = A x для каждого x∈Fn,1x \in \mathbf{F}^{n, 1}.

?
Задача 3D.17

Пусть VV конечномерно и S∈L(V)S \in \mathcal{L}(V). Определим A∈L(L(V))\mathcal{A} \in \mathcal{L}(\mathcal{L}(V)) формулой

A(T)=ST \mathcal{A}(T) = S T

для T∈L(V)T \in \mathcal{L}(V).

?
(a)

Покажите, что dim⁡null⁡A=(dim⁡V)(dim⁡null⁡S)\operatorname {dim}\operatorname {null}\mathcal{A} = (\operatorname {dim} V)(\operatorname {dim}\operatorname {null}S).

(b)

Покажите, что dim⁡\operatorname {dim} образ A=(dim⁡V)(dim⁡\mathcal{A} = (\operatorname {dim} V)(\operatorname {dim} образ S)S).

Задача 3D.18

Покажите, что VV и L(F,V)\mathcal{L}(\mathbf{F}, V) — изоморфные векторные пространства.

?
Задача 3D.19

Пусть VV конечномерно и T∈L(V)T \in \mathcal{L}(V). Докажите, что TT имеет одну и ту же матрицу относительно каждого базиса VV тогда и только тогда, когда TT является скалярным кратным тождественного оператора.

?
Задача 3D.20

Пусть q∈P(R)q \in \mathcal{P}(\mathbb {R}). Докажите, что существует многочлен p∈P(R)p \in \mathcal{P}(\mathbb {R}), такой что

q(x)=(x2+x)p′′(x)+2xp′(x)+p(3) q(x) = \left(x^{2}+x\right) p^{\prime \prime }(x)+2 x p^{\prime }(x)+p(3)

для всех x∈Rx \in \mathbb {R}.

?
Задача 3D.21

Пусть nn — натуральное число и Aj,k∈FA_{j, k} \in \mathbf{F} для всех j,k=1,…,nj, k = 1, \ldots , n. Докажите, что следующие условия равносильны (заметьте, что в обеих частях ниже число уравнений равно числу переменных).

?
(a)

Тривиальное решение x1=⋯=xn=0x_{1} = \cdots = x_{n} = 0 является единственным решением однородной системы уравнений

∑k=1nA1,kxk=0⋮∑k=1nAn,kxk=0 \begin{aligned} & \sum _{k = 1}^{n} A_{1, k} x_{k} = 0 \\ & \vdots \\ & \sum _{k = 1}^{n} A_{n, k} x_{k} = 0 \end{aligned}
(b)

Для каждых c1,…,cn∈Fc_{1}, \ldots , c_{n} \in \mathbf{F} существует решение системы уравнений

∑k=1nA1,kxk=c1⋮∑k=1nAn,kxk=cn \begin{gathered} \sum _{k = 1}^{n} A_{1, k} x_{k} = c_{1} \\ \vdots \\ \sum _{k = 1}^{n} A_{n, k} x_{k} = c_{n} \end{gathered}
Задача 3D.22

Пусть T∈L(V)T \in \mathcal{L}(V) и v1,…,vnv_{1}, \ldots , v_{n} — базис VV. Докажите, что

M(T,(v1,…,vn)) обратима ⟺T обратимо.  \mathcal{M}\left(T,\left(v_{1}, \ldots , v_{n}\right)\right) \text{ обратима } \Longleftrightarrow T \text{ обратимо. }
?
Задача 3D.23

Пусть u1,…,unu_{1}, \ldots , u_{n} и v1,…,vnv_{1}, \ldots , v_{n} — базисы VV. Пусть T∈L(V)T \in \mathcal{L}(V) таково, что Tvk=ukT v_{k} = u_{k} для каждого k=1,…,nk = 1, \ldots , n. Докажите, что

M(T,(v1,…,vn))=M(I,(u1,…,un),(v1,…,vn)). \mathcal{M}\left(T,\left(v_{1}, \ldots , v_{n}\right)\right) = \mathcal{M}\left(I,\left(u_{1}, \ldots , u_{n}\right),\left(v_{1}, \ldots , v_{n}\right)\right).
?
Задача 3D.24

Пусть AA и BB — квадратные матрицы одного размера и AB=IA B = I. Докажите, что BA=IB A = I.

?
§
3E · Произведения и фактор-пространства[19/0%]
Задача 3E.1

Пусть TT — функция из VV в WW. Графиком TT называется подмножество V×WV \times W, определённое как

 график T={(v,Tv)∈V×W:v∈V}. \text{ график } T = \left\{ (v, T v) \in V \times W: v \in V\right\} .

Докажите, что TT является линейным отображением тогда и только тогда, когда график TT является подпространством V×WV \times W. > Формально, функция TT из VV в WW — это подмножество TT пространства V×WV \times W, такое что для каждого v∈Vv \in V существует ровно один элемент (v,w)∈T(v, w) \in T. Другими словами, формально функция — это то, что выше называется её графиком. Обычно мы не мыслим о функциях таким формальным образом. Однако, если формализовать это, данную задачу можно переформулировать так: докажите, что функция TT из VV в WW является линейным отображением тогда и только тогда, когда TT является подпространством V×WV \times W.

?
Задача 3E.2

Пусть V1,…,VmV_{1}, \ldots , V_{m} — векторные пространства, такие что V1×⋯×VmV_{1} \times \cdots \times V_{m} конечномерно. Докажите, что VkV_{k} конечномерно для каждого k=1,…,mk = 1, \ldots , m.

?
Задача 3E.3

Пусть V1,…,VmV_{1}, \ldots , V_{m} — векторные пространства. Докажите, что L(V1×⋯×Vm,W)\mathcal{L}\left(V_{1} \times \cdots \times V_{m}, W\right) и L(V1,W)×⋯×L(Vm,W)\mathcal{L}\left(V_{1}, W\right) \times \cdots \times \mathcal{L}\left(V_{m}, W\right) — изоморфные векторные пространства.

?
Задача 3E.4

Пусть W1,…,WmW_{1}, \ldots , W_{m} — векторные пространства. Докажите, что L(V,W1×⋯×Wm)\mathcal{L}\left(V, W_{1} \times \cdots \times W_{m}\right) и L(V,W1)×⋯×L(V,Wm)\mathcal{L}\left(V, W_{1}\right) \times \cdots \times \mathcal{L}\left(V, W_{m}\right) — изоморфные векторные пространства.

?
Задача 3E.5

Для натурального числа mm определим VmV^{m} формулой

Vm=V×⋯×V⏟m раз . V^{m} = \underbrace{V \times \cdots \times V}_{m \text{ раз }}.

Докажите, что VmV^{m} и L(Fm,V)\mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{m}, V\right) — изоморфные векторные пространства.

?
Задача 3E.6

Пусть v,xv, x — векторы в VV и U,WU, W — подпространства VV, такие что v+U=x+Wv+U = x+W. Докажите, что U=WU = W.

?
Задача 3E.7

Пусть U={(x,y,z)∈R3:2x+3y+5z=0}U = \left\{ (x, y, z) \in \mathbb {R}^{3}: 2 x+3 y+5 z = 0\right\}. Пусть A⊆R3A \subseteq \mathbb {R}^{3}. Докажите, что AA является сдвигом UU тогда и только тогда, когда существует c∈Rc \in \mathbb {R}, такое что

A={(x,y,z)∈R3:2x+3y+5z=c}. A = \left\{ (x, y, z) \in \mathbb {R}^{3}: 2 x+3 y+5 z = c\right\} .
?
Задача 3E.8
?
(a)

Пусть T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W) и c∈Wc \in W. Докажите, что {x∈V:Tx=c}\left\{ x \in V: T x = c\right\} является либо пустым множеством, либо сдвигом null⁡T\operatorname {null}T.

(b)

Объясните, почему множество решений системы линейных уравнений, подобной 3.27, является либо пустым множеством, либо сдвигом некоторого подпространства Fn\mathbf{F}^{n}.

Задача 3E.9

Докажите, что непустое подмножество AA пространства VV является сдвигом некоторого подпространства VV тогда и только тогда, когда λv+(1−λ)w∈A\lambda v+(1-\lambda ) w \in A для всех v,w∈Av, w \in A и всех λ∈F\lambda \in \mathbf{F}.

?
Задача 3E.10

Пусть A1=v+U1A_{1} = v+U_{1} и A2=w+U2A_{2} = w+U_{2} для некоторых v,w∈Vv, w \in V и некоторых подпространств U1,U2U_{1}, U_{2} пространства VV. Докажите, что пересечение A1∩A2A_{1} \cap A_{2} является либо сдвигом некоторого подпространства VV, либо пустым множеством.

?
Задача 3E.11

Пусть U={(x1,x2,…)∈F∞:xk≠0 лишь для конечного числа k}U = \left\{ \left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) \in \mathbf{F}^{\infty }: x_{k} \neq 0 \text{ лишь для конечного числа } k\right\}.

?
(a)

Покажите, что UU является подпространством F∞\mathbf{F}^{\infty }.

(b)

Докажите, что F∞/U\mathbf{F}^{\infty } / U бесконечномерно.

Задача 3E.12

Пусть v1,…,vm∈Vv_{1}, \ldots , v_{m} \in V. Пусть

A={λ1v1+⋯+λmvm:λ1,…,λm∈F и λ1+⋯+λm=1}. A = \left\{ \lambda _{1} v_{1}+\cdots +\lambda _{m} v_{m}: \lambda _{1}, \ldots , \lambda _{m} \in \mathbf{F} \text{ и } \lambda _{1}+\cdots +\lambda _{m} = 1\right\} .
?
(a)

Докажите, что AA является сдвигом некоторого подпространства VV.

(b)

Докажите, что если BB — сдвиг некоторого подпространства VV и {v1,…,vm}⊆B\left\{ v_{1}, \ldots , v_{m}\right\} \subseteq B, то A⊆BA \subseteq B.

(c)

Докажите, что AA является сдвигом некоторого подпространства VV размерности меньше mm.

Задача 3E.13

Пусть UU — подпространство VV, такое что V/UV / U конечномерно. Докажите, что VV изоморфно U×(V/U)U \times (V / U).

?
Задача 3E.14

Пусть UU и WW — подпространства VV и V=U⊕WV = U \oplus W. Пусть w1,…,wmw_{1}, \ldots , w_{m} — базис WW. Докажите, что w1+U,…,wm+Uw_{1}+U, \ldots , w_{m}+U — базис V/UV / U.

?
Задача 3E.15

Пусть UU — подпространство VV, v1+U,…,vm+Uv_{1}+U, \ldots , v_{m}+U — базис V/UV / U и u1,…,unu_{1}, \ldots , u_{n} — базис UU. Докажите, что v1,…,vm,u1,…,unv_{1}, \ldots , v_{m}, u_{1}, \ldots , u_{n} — базис VV.

?
Задача 3E.16

Пусть φ∈L(V,F)\varphi \in \mathcal{L}(V, \mathbf{F}) и φ≠0\varphi \neq 0. Докажите, что dim⁡V/(null⁡φ)=1\operatorname {dim} V /(\operatorname {null} \varphi ) = 1.

?
Задача 3E.17

Пусть UU — подпространство VV, такое что dim⁡V/U=1\operatorname {dim} V / U = 1. Докажите, что существует φ∈L(V,F)\varphi \in \mathcal{L}(V, \mathbf{F}), такое что null⁡φ=U\operatorname {null}\varphi = U.

?
Задача 3E.18

Пусть UU — подпространство VV, такое что V/UV / U конечномерно.

?
(a)

Покажите, что если WW — конечномерное подпространство VV и V=U+WV = U+W, то dim⁡W≥dim⁡V/U\operatorname {dim} W \geq \operatorname {dim} V / U.

(b)

Докажите, что существует конечномерное подпространство WW пространства VV, такое что dim⁡W=dim⁡V/U\operatorname {dim} W = \operatorname {dim} V / U и V=U⊕WV = U \oplus W.

Задача 3E.19

Пусть T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W) и UU — подпространство VV. Обозначим через π\pi фактор-отображение из VV на V/UV / U. Докажите, что существует S∈L(V/U,W)S \in \mathcal{L}(V / U, W), такое что T=S∘πT = S \circ \pi, тогда и только тогда, когда U⊆null⁡TU \subseteq \operatorname {null}T.

?
§
3F · Двойственность[33/0%]
Задача 3F.1

Объясните, почему каждый линейный функционал либо сюръективен, либо является нулевым отображением.

?
Задача 3F.2

Приведите три различных примера линейных функционалов на R[0,1]\mathbb {R}^{[0,1]}.

?
Задача 3F.3

Пусть VV конечномерно и v∈Vv \in V, причём v≠0v \neq 0. Докажите, что существует φ∈V′\varphi \in V^{\prime }, такой что φ(v)=1\varphi (v) = 1.

?
Задача 3F.4

Пусть VV конечномерно и UU — подпространство VV, такое что U≠VU \neq V. Докажите, что существует φ∈V′\varphi \in V^{\prime }, такой что φ(u)=0\varphi (u) = 0 для каждого u∈Uu \in U, но φ≠0\varphi \neq 0.

?
Задача 3F.5

Пусть T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W) и w1,…,wmw_{1}, \ldots , w_{m} — базис range TT. Тогда для каждого v∈Vv \in V существуют единственные числа φ1(v),…,φm(v)\varphi_{1}(v), \ldots , \varphi_{m}(v), такие что

Tv=φ1(v)w1+⋯+φm(v)wm, T v = \varphi _{1}(v) w_{1}+\cdots +\varphi _{m}(v) w_{m},

тем самым определяя функции φ1,…,φm\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{m} из VV в F\mathbf{F}. Покажите, что каждая из функций φ1,…,φm\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{m} является линейным функционалом на VV.

?
Задача 3F.6

Пусть φ,β∈V′\varphi , \beta \in V^{\prime }. Докажите, что null⁡φ⊆null⁡β\operatorname {null}\varphi \subseteq \operatorname {null}\beta тогда и только тогда, когда существует c∈Fc \in \mathbf{F}, такое что β=cφ\beta = c \varphi.

?
Задача 3F.7

Пусть V1,…,VmV_{1}, \ldots , V_{m} — векторные пространства. Докажите, что (V1×⋯×Vm)′\left(V_{1} \times \cdots \times V_{m}\right)^{\prime } и V1′×⋯×Vm′V_{1}{ }^{\prime } \times \cdots \times V_{m}{ }^{\prime } — изоморфные векторные пространства.

?
Задача 3F.8

Пусть v1,…,vnv_{1}, \ldots , v_{n} — базис VV, а φ1,…,φn\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{n} — двойственный базис V′V^{\prime }. Определим Γ:V→Fn\Gamma : V \rightarrow \mathbf{F}^{n} и Λ:Fn→V\Lambda : \mathbf{F}^{n} \rightarrow V равенствами

Γ(v)=(φ1(v),…,φn(v)) and Λ(a1,…,an)=a1v1+⋯+anvn. \Gamma (v) = \left(\varphi _{1}(v), \ldots , \varphi _{n}(v)\right) \quad \text{ and } \quad \Lambda \left(a_{1}, \ldots , a_{n}\right) = a_{1} v_{1}+\cdots +a_{n} v_{n}.

Объясните, почему Γ\Gamma и Λ\Lambda являются обратными друг к другу.

?
Задача 3F.9

Пусть mm — натуральное число. Покажите, что двойственным базисом к базису 1,x,…,xm1, x, \ldots , x^{m} пространства Pm(R)\mathcal{P}_{m}(\mathbb {R}) является φ0,φ1,…,φm\varphi_{0}, \varphi_{1}, \ldots , \varphi_{m}, где

φk(p)=p(k)(0)k!. \varphi _{k}(p) = \frac{p^{(k)}(0)}{k!}.

Здесь p(k)p^{(k)} обозначает kk-ю производную pp, при этом 00-я производная pp считается равной pp.

?
Задача 3F.10

Пусть mm — натуральное число.

?
(a)

Покажите, что 1,x−5,…,(x−5)m1, x-5, \ldots ,(x-5)^{m} — базис Pm(R)\mathcal{P}_{m}(\mathbb {R}).

(b)

Что представляет собой двойственный базис к базису из (a)?

Задача 3F.11

Пусть v1,…,vnv_{1}, \ldots , v_{n} — базис VV, а φ1,…,φn\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{n} — соответствующий двойственный базис V′V^{\prime }. Пусть ψ∈V′\psi \in V^{\prime }. Докажите, что

ψ=ψ(v1)φ1+⋯+ψ(vn)φn. \psi = \psi \left(v_{1}\right) \varphi _{1}+\cdots +\psi \left(v_{n}\right) \varphi _{n}.
?
Задача 3F.12

Пусть S,T∈L(V,W)S, T \in \mathcal{L}(V, W).

?
(a)

Докажите, что (S+T)′=S′+T′(S+T)^{\prime } = S^{\prime }+T^{\prime }.

(b)

Докажите, что (λT)′=λT′(\lambda T)^{\prime } = \lambda T^{\prime } для всех λ∈F\lambda \in \mathbf{F}.

Это упражнение просит вас проверить (a) и (b) из 3.120.

Задача 3F.13

Покажите, что двойственное отображение тождественного оператора на VV является тождественным оператором на V′V^{\prime }.

?
Задача 3F.14

Определим T:R3→R2T: \mathbb {R}^{3} \rightarrow \mathbb {R}^{2} равенством

T(x,y,z)=(4x+5y+6z,7x+8y+9z). T(x, y, z) = (4 x+5 y+6 z, 7 x+8 y+9 z).

Пусть φ1,φ2\varphi_{1}, \varphi_{2} обозначает двойственный базис к стандартному базису R2\mathbb {R}^{2}, а ψ1,ψ2,ψ3\psi_{1}, \psi_{2}, \psi_{3} обозначает двойственный базис к стандартному базису R3\mathbb {R}^{3}.

?
(a)

Опишите линейные функционалы T′(φ1)T^{\prime }\left(\varphi_{1}\right) и T′(φ2)T^{\prime }\left(\varphi_{2}\right).

(b)

Запишите T′(φ1)T^{\prime }\left(\varphi_{1}\right) и T′(φ2)T^{\prime }\left(\varphi_{2}\right) в виде линейных комбинаций ψ1,ψ2,ψ3\psi_{1}, \psi_{2}, \psi_{3}.

Задача 3F.15

Определим T:P(R)→P(R)T: \mathcal{P}(\mathbb {R}) \rightarrow \mathcal{P}(\mathbb {R}) равенством

(Tp)(x)=x2p(x)+p′′(x) (T p)(x) = x^{2} p(x)+p^{\prime \prime }(x)

для каждого x∈Rx \in \mathbb {R}.

?
(a)

Пусть φ∈P(R)′\varphi \in \mathcal{P}(\mathbb {R})^{\prime } определён равенством φ(p)=p′(4)\varphi (p) = p^{\prime }(4). Опишите линейный функционал T′(φ)T^{\prime }(\varphi ) на P(R)\mathcal{P}(\mathbb {R}).

(b)

Пусть φ∈P(R)′\varphi \in \mathcal{P}(\mathbb {R})^{\prime } определён равенством φ(p)=∫01p\varphi (p) = \int_{0}^{1} p. Вычислите (T′(φ))(x3)\left(T^{\prime }(\varphi )\right)\left(x^{3}\right).

Задача 3F.16

Пусть WW конечномерно и T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W). Докажите, что

T′=0⇔T=0. T^{\prime } = 0 \Leftrightarrow T = 0.
?
Задача 3F.17

Пусть VV и WW конечномерны и T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W). Докажите, что TT обратим тогда и только тогда, когда T′∈L(W′,V′)T^{\prime } \in \mathcal{L}\left(W^{\prime }, V^{\prime }\right) обратим.

?
Задача 3F.18

Пусть VV и WW конечномерны. Докажите, что отображение, переводящее T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W) в T′∈L(W′,V′)T^{\prime } \in \mathcal{L}\left(W^{\prime }, V^{\prime }\right), является изоморфизмом L(V,W)\mathcal{L}(V, W) на L(W′,V′)\mathcal{L}\left(W^{\prime }, V^{\prime }\right).

?
Задача 3F.19

Пусть U⊆VU \subseteq V. Объясните, почему

U0={φ∈V′:U⊆null⁡φ}. U^{0} = \left\{ \varphi \in V^{\prime }: U \subseteq \operatorname {null} \varphi \right\} .
?
Задача 3F.20

Пусть VV конечномерно и UU — подпространство VV. Покажите, что

U={v∈V:φ(v)=0 for every φ∈U0}. U = \left\{ v \in V: \varphi (v) = 0 \text{ for every } \varphi \in U^{0}\right\} .
?
Задача 3F.21

Пусть VV конечномерно, а UU и WW — подпространства VV.

?
(a)

Докажите, что W0⊆U0W^{0} \subseteq U^{0} тогда и только тогда, когда U⊆WU \subseteq W.

(b)

Докажите, что W0=U0W^{0} = U^{0} тогда и только тогда, когда U=WU = W.

Задача 3F.22

Пусть VV конечномерно, а UU и WW — подпространства VV.

?
(a)

Покажите, что (U+W)0=U0∩W0(U+W)^{0} = U^{0} \cap W^{0}.

(b)

Покажите, что (U∩W)0=U0+W0(U \cap W)^{0} = U^{0}+W^{0}.

Задача 3F.23

Пусть VV конечномерно и φ1,…,φm∈V′\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{m} \in V^{\prime }. Докажите, что следующие три множества равны друг другу.

?
(a)

span⁡(φ1,…,φm)\operatorname {span}\left(\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{m}\right)

(b)

((null⁡φ1)∩⋯∩(null⁡φm))0\left(\left(\operatorname {null}\varphi_{1}\right) \cap \cdots \cap \left(\operatorname {null}\varphi_{m}\right)\right)^{0}

(c)

{φ∈V′:(null⁡φ1)∩⋯∩(null⁡φm)⊆null⁡φ}\left\{ \varphi \in V^{\prime }: \left(\operatorname {null}\varphi_{1}\right) \cap \cdots \cap \left(\operatorname {null}\varphi_{m}\right) \subseteq \operatorname {null}\varphi \right\}

Задача 3F.24

Пусть VV конечномерно и v1,…,vm∈Vv_{1}, \ldots , v_{m} \in V. Определим линейное отображение Γ:V′→Fm\Gamma : V^{\prime } \rightarrow \mathbf{F}^{m} равенством Γ(φ)=(φ(v1),…,φ(vm))\Gamma (\varphi ) = \left(\varphi \left(v_{1}\right), \ldots , \varphi \left(v_{m}\right)\right).

?
(a)

Докажите, что v1,…,vmv_{1}, \ldots , v_{m} порождает VV тогда и только тогда, когда Γ\Gamma инъективно.

(b)

Докажите, что v1,…,vmv_{1}, \ldots , v_{m} линейно независим тогда и только тогда, когда Γ\Gamma сюръективно.

Задача 3F.25

Пусть VV конечномерно и φ1,…,φm∈V′\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{m} \in V^{\prime }. Определим линейное отображение Γ:V→Fm\Gamma : V \rightarrow \mathbf{F}^{m} равенством Γ(v)=(φ1(v),…,φm(v))\Gamma (v) = \left(\varphi_{1}(v), \ldots , \varphi_{m}(v)\right).

?
(a)

Докажите, что φ1,…,φm\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{m} порождает V′V^{\prime } тогда и только тогда, когда Γ\Gamma инъективно.

(b)

Докажите, что φ1,…,φm\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{m} линейно независим тогда и только тогда, когда Γ\Gamma сюръективно.

Задача 3F.26

Пусть VV конечномерно и Ω\Omega — подпространство V′V^{\prime }. Докажите, что

Ω={v∈V:φ(v)=0 for every φ∈Ω}0 \Omega = \left\{ v \in V: \varphi (v) = 0 \text{ for every } \varphi \in \Omega \right\} ^{0}
?
Задача 3F.27

Пусть T∈L(P5(R))T \in \mathcal{L}\left(\mathcal{P}_{5}(\mathbb {R})\right) и null⁡T′=span⁡(φ)\operatorname {null}T^{\prime } = \operatorname {span}(\varphi ), где φ\varphi — линейный функционал на P5(R)\mathcal{P}_{5}(\mathbb {R}), определённый равенством φ(p)=p(8)\varphi (p) = p(8). Докажите, что

 range T={p∈P5(R):p(8)=0} \text{ range } T = \left\{ p \in \mathcal{P}_{5}(\mathbb {R}): p(8) = 0\right\}
?
Задача 3F.28

Пусть VV конечномерно и φ1,…,φm\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{m} — линейно независимый список в V′V^{\prime }. Докажите, что

dim⁡((null⁡φ1)∩⋯∩(null⁡φm))=(dim⁡V)−m \operatorname {dim}\left(\left(\operatorname {null} \varphi _{1}\right) \cap \cdots \cap \left(\operatorname {null} \varphi _{m}\right)\right) = (\operatorname {dim} V)-m
?
Задача 3F.29

Пусть VV и WW конечномерны и T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W).

?
(a)

Докажите, что если φ∈W′\varphi \in W^{\prime } и null⁡T′=span⁡(φ)\operatorname {null}T^{\prime } = \operatorname {span}(\varphi ), то range T=null⁡φT = \operatorname {null} \varphi.

(b)

Докажите, что если ψ∈V′\psi \in V^{\prime } и range T′=span⁡(ψ)T^{\prime } = \operatorname {span}(\psi ), то null⁡T=null⁡ψ\operatorname {null}T = \operatorname {null} \psi.

Задача 3F.30

Пусть VV конечномерно и φ1,…,φn\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{n} — базис V′V^{\prime }. Покажите, что существует базис VV, двойственным базисом к которому является φ1,…,φn\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{n}.

?
Задача 3F.31

Пусть UU — подпространство VV. Пусть i:U→Vi: U \rightarrow V — отображение включения, определённое равенством i(u)=ui(u) = u. Таким образом, i′∈L(V′,U′)i^{\prime } \in \mathcal{L}\left(V^{\prime }, U^{\prime }\right).

?
(a)

Покажите, что null⁡i′=U0\operatorname {null}i^{\prime } = U^{0}.

(b)

Докажите, что если VV конечномерно, то range i′=U′i^{\prime } = U^{\prime }.

(c)

Докажите, что если VV конечномерно, то i~′\tilde{i}^{\prime } является изоморфизмом V′/U0V^{\prime } / U^{0} на U′U^{\prime }.

Изоморфизм в (c) естественен в том смысле, что он не зависит от выбора базиса ни в одном из векторных пространств.

Задача 3F.32

Двойственное пространство к двойственному пространству VV, обозначаемое V′′V^{\prime \prime }, определяется как двойственное пространство к V′V^{\prime }. Иными словами, V′′=(V′)′V^{\prime \prime } = \left(V^{\prime }\right)^{\prime }. Определим Λ:V→V′′\Lambda : V \rightarrow V^{\prime \prime } равенством

(Λv)(φ)=φ(v) (\Lambda v)(\varphi ) = \varphi (v)

для каждого v∈Vv \in V и каждого φ∈V′\varphi \in V^{\prime }.

?
(a)

Покажите, что Λ\Lambda — линейное отображение из VV в V′′V^{\prime \prime }.

(b)

Покажите, что если T∈L(V)T \in \mathcal{L}(V), то T′′∘Λ=Λ∘TT^{\prime \prime } \circ \Lambda = \Lambda \circ T, где T′′=(T′)′T^{\prime \prime } = \left(T^{\prime }\right)^{\prime }.

(c)

Покажите, что если VV конечномерно, то Λ\Lambda является изоморфизмом VV на V′′V^{\prime \prime }.

Пусть VV конечномерно. Тогда VV и V′V^{\prime } изоморфны, но нахождение изоморфизма из VV на V′V^{\prime }, как правило, требует выбора базиса VV. В противоположность этому, изоморфизм Λ\Lambda из VV на V′′V^{\prime \prime } не требует выбора базиса и потому считается более естественным.

Задача 3F.33

Пусть UU — подпространство VV. Пусть π:V→V/U\pi : V \rightarrow V / U — обычное фактор-отображение. Таким образом, π′∈L((V/U)′,V′)\pi^{\prime } \in \mathcal{L}\left((V / U)^{\prime }, V^{\prime }\right).

?
(a)

Покажите, что π′\pi^{\prime } инъективно.

(b)

Покажите, что range π′=U0\pi^{\prime } = U^{0}.

(c)

Заключите, что π′\pi^{\prime } является изоморфизмом (V/U)′(V / U)^{\prime } на U0U^{0}.

Изоморфизм в (c) естественен в том смысле, что он не зависит от выбора базиса ни в одном из векторных пространств. Более того, здесь не предполагается, что какое-либо из этих векторных пространств конечномерно.