Произведения и фактор-пространства

Пусть $T$ — функция из $V$ в $W$. Графиком $T$ называется подмножество $V \times W$, определённое как

Докажите, что $T$ является линейным отображением тогда и только тогда, когда график $T$ является подпространством $V \times W$. > Формально, функция $T$ из $V$ в $W$ — это подмножество $T$ пространства $V \times W$, такое что для каждого $v \in V$ существует ровно один элемент $(v, w) \in T$. Другими словами, формально функция — это то, что выше называется её графиком. Обычно мы не мыслим о функциях таким формальным образом. Однако, если формализовать это, данную задачу можно переформулировать так: докажите, что функция $T$ из $V$ в $W$ является линейным отображением тогда и только тогда, когда $T$ является подпространством $V \times W$.

Пусть $V_{1}, \ldots , V_{m}$ — векторные пространства, такие что $V_{1} \times \cdots \times V_{m}$ конечномерно. Докажите, что $V_{k}$ конечномерно для каждого $k = 1, \ldots , m$.

Пусть $V_{1}, \ldots , V_{m}$ — векторные пространства. Докажите, что $\mathcal{L}\left(V_{1} \times \cdots \times V_{m}, W\right)$ и $\mathcal{L}\left(V_{1}, W\right) \times \cdots \times \mathcal{L}\left(V_{m}, W\right)$ — изоморфные векторные пространства.

Пусть $W_{1}, \ldots , W_{m}$ — векторные пространства. Докажите, что $\mathcal{L}\left(V, W_{1} \times \cdots \times W_{m}\right)$ и $\mathcal{L}\left(V, W_{1}\right) \times \cdots \times \mathcal{L}\left(V, W_{m}\right)$ — изоморфные векторные пространства.

Для натурального числа $m$ определим $V^{m}$ формулой

Докажите, что $V^{m}$ и $\mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{m}, V\right)$ — изоморфные векторные пространства.

Пусть $v, x$ — векторы в $V$ и $U, W$ — подпространства $V$, такие что $v+U = x+W$. Докажите, что $U = W$.

Пусть $U = \left\{ (x, y, z) \in \mathbb {R}^{3}: 2 x+3 y+5 z = 0\right\}$. Пусть $A \subseteq \mathbb {R}^{3}$. Докажите, что $A$ является сдвигом $U$ тогда и только тогда, когда существует $c \in \mathbb {R}$, такое что

Докажите, что непустое подмножество $A$ пространства $V$ является сдвигом некоторого подпространства $V$ тогда и только тогда, когда $\lambda v+(1-\lambda ) w \in A$ для всех $v, w \in A$ и всех $\lambda \in \mathbf{F}$.

Пусть $A_{1} = v+U_{1}$ и $A_{2} = w+U_{2}$ для некоторых $v, w \in V$ и некоторых подпространств $U_{1}, U_{2}$ пространства $V$. Докажите, что пересечение $A_{1} \cap A_{2}$ является либо сдвигом некоторого подпространства $V$, либо пустым множеством.

Пусть $U = \left\{ \left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) \in \mathbf{F}^{\infty }: x_{k} \neq 0 \text{ лишь для конечного числа } k\right\}$.

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{m} \in V$. Пусть

Пусть $U$ — подпространство $V$, такое что $V / U$ конечномерно. Докажите, что $V$ изоморфно $U \times (V / U)$.

Пусть $U$ и $W$ — подпространства $V$ и $V = U \oplus W$. Пусть $w_{1}, \ldots , w_{m}$ — базис $W$. Докажите, что $w_{1}+U, \ldots , w_{m}+U$ — базис $V / U$.

Пусть $U$ — подпространство $V$, $v_{1}+U, \ldots , v_{m}+U$ — базис $V / U$ и $u_{1}, \ldots , u_{n}$ — базис $U$. Докажите, что $v_{1}, \ldots , v_{m}, u_{1}, \ldots , u_{n}$ — базис $V$.

Пусть $\varphi \in \mathcal{L}(V, \mathbf{F})$ и $\varphi \neq 0$. Докажите, что $\operatorname {dim} V /(\operatorname {null} \varphi ) = 1$.

Пусть $U$ — подпространство $V$, такое что $\operatorname {dim} V / U = 1$. Докажите, что существует $\varphi \in \mathcal{L}(V, \mathbf{F})$, такое что $\operatorname {null}\varphi = U$.

Пусть $U$ — подпространство $V$, такое что $V / U$ конечномерно.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$ и $U$ — подпространство $V$. Обозначим через $\pi$ фактор-отображение из $V$ на $V / U$. Докажите, что существует $S \in \mathcal{L}(V / U, W)$, такое что $T = S \circ \pi$, тогда и только тогда, когда $U \subseteq \operatorname {null}T$.