Ядра и образы

Приведите пример линейного отображения $T$ с $\operatorname {dim}\operatorname {null}T = 3$ и $\operatorname {dim}$ образ $T = 2$.

Пусть $S, T \in \mathcal{L}(V)$ таковы, что образ $S \subseteq \operatorname {null}T$. Докажите, что $(S T)^{2} = 0$.

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{m}$ — набор векторов в $V$. Определим $T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{m}, V\right)$ формулой

Покажите, что $\left\{ T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {R}^{5}, \mathbb {R}^{4}\right) \text{ : dim } \operatorname {null} T > 2\right\}$ не является подпространством $\mathcal{L}\left(\mathbb {R}^{5}, \mathbb {R}^{4}\right)$.

Приведите пример $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {R}^{4}\right)$, такого что образ $T =\operatorname {null}T$.

Докажите, что не существует $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {R}^{5}\right)$, такого что образ $T =\operatorname {null}T$.

Пусть $V$ и $W$ конечномерны, причём $2 \leq \operatorname {dim} V \leq \operatorname {dim} W$. Покажите, что $\left\{ T \in \mathcal{L}(V, W): T\text{ не инъективно }\right\}$ не является подпространством $\mathcal{L}(V, W)$.

Пусть $V$ и $W$ конечномерны, причём $\operatorname {dim} V \geq \operatorname {dim} W \geq 2$. Покажите, что $\left\{ T \in \mathcal{L}(V, W): T\text{ не сюръективно }\right\}$ не является подпространством $\mathcal{L}(V, W)$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$ инъективно и $v_{1}, \ldots , v_{n}$ линейно независим в $V$. Докажите, что $T v_{1}, \ldots , T v_{n}$ линейно независим в $W$.

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{n}$ порождают $V$ и $T \in \mathcal{L}(V, W)$. Покажите, что $T v_{1}, \ldots , T v_{n}$ порождают образ $T$.

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V, W)$. Докажите, что существует подпространство $U$ пространства $V$, такое что

Пусть $T$ — линейное отображение из $\mathbf{F}^{4}$ в $\mathbf{F}^{2}$, такое что

Докажите, что $T$ сюръективно.

Пусть $U$ — трёхмерное подпространство $\mathbb {R}^{8}$ и $T$ — линейное отображение из $\mathbb {R}^{8}$ в $\mathbb {R}^{5}$, такое что $\operatorname {null}T = U$. Докажите, что $T$ сюръективно.

Докажите, что не существует линейного отображения из $\mathbf{F}^{5}$ в $\mathbf{F}^{2}$, ядро которого равно $\left\{ \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right) \in \mathbf{F}^{5}: x_{1} = 3 x_{2} \text{ и } x_{3} = x_{4} = x_{5}\right\}$.

Пусть на $V$ существует линейное отображение, ядро и образ которого оба конечномерны. Докажите, что $V$ конечномерно.

Пусть $V$ и $W$ оба конечномерны. Докажите, что существует инъективное линейное отображение из $V$ в $W$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {dim} V \leq \operatorname {dim} W$.

Пусть $V$ и $W$ оба конечномерны. Докажите, что существует сюръективное линейное отображение из $V$ на $W$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {dim} V \geq \operatorname {dim} W$.

Пусть $V$ и $W$ конечномерны и $U$ — подпространство $V$. Докажите, что существует $T \in \mathcal{L}(V, W)$, такое что $\operatorname {null}T = U$, тогда и только тогда, когда $\operatorname {dim} U \geq \operatorname {dim} V-\operatorname {dim} W$.

Пусть $W$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V, W)$. Докажите, что $T$ инъективно тогда и только тогда, когда существует $S \in \mathcal{L}(W, V)$, такое что $S T$ — тождественный оператор на $V$.

Пусть $W$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V, W)$. Докажите, что $T$ сюръективно тогда и только тогда, когда существует $S \in \mathcal{L}(W, V)$, такое что $T S$ — тождественный оператор на $W$.

Пусть $V$ конечномерно, $T \in \mathcal{L}(V, W)$ и $U$ — подпространство $W$. Докажите, что $\left\{ v \in V: T v \in U\right\}$ является подпространством $V$ и

Пусть $U$ и $V$ — конечномерные векторные пространства, $S \in \mathcal{L}(V, W)$ и $T \in \mathcal{L}(U, V)$. Докажите, что

Пусть $U$ и $V$ — конечномерные векторные пространства, $S \in \mathcal{L}(V, W)$ и $T \in \mathcal{L}(U, V)$. Докажите, что dim образ $S T \leq \min \left\{ \operatorname {dim}\text{ образ }S\text{, dim образ }T\right\}$.

Пусть $W$ конечномерно и $S, T \in \mathcal{L}(V, W)$. Докажите, что $\operatorname {null}S \subseteq \operatorname {null}T$ тогда и только тогда, когда существует $E \in \mathcal{L}(W)$, такое что $T = E S$.

Пусть $V$ конечномерно и $S, T \in \mathcal{L}(V, W)$. Докажите, что образ $S \subseteq$ образ $T$ тогда и только тогда, когда существует $E \in \mathcal{L}(V)$, такое что $S = T E$.

Пусть $P \in \mathcal{L}(V)$ и $P^{2} = P$. Докажите, что $V =\operatorname {null}P \oplus$ образ $P$.

Пусть $D \in \mathcal{L}(\mathcal{P}(\mathbb {R}))$ таково, что $\operatorname {deg} D p = (\operatorname {deg} p)-1$ для каждого непостоянного многочлена $p \in \mathcal{P}(\mathbb {R})$. Докажите, что $D$ сюръективно.

Пусть $p \in \mathcal{P}(\mathbb {R})$. Докажите, что существует многочлен $q \in \mathcal{P}(\mathbb {R})$, такой что $5 q^{\prime \prime }+3 q^{\prime } = p$.

Пусть $\varphi \in \mathcal{L}(V, \mathbf{F})$ и $\varphi \neq 0$. Пусть $u \in V$ не лежит в $\operatorname {null}\varphi$. Докажите, что

Пусть $V$ конечномерно, $X$ — подпространство $V$, а $Y$ — конечномерное подпространство $W$. Докажите, что существует $T \in \mathcal{L}(V, W)$, такое что $\operatorname {null}T = X$ и образ $T = Y$, тогда и только тогда, когда $\operatorname {dim} X+\operatorname {dim} Y = \operatorname {dim} V$.

Пусть $V$ конечномерно, причём $\operatorname {dim} V > 1$. Покажите, что если $\varphi : \mathcal{L}(V) \rightarrow \mathbf{F}$ — линейное отображение, такое что $\varphi (S T) = \varphi (S) \varphi (T)$ для всех $S, T \in \mathcal{L}(V)$, то $\varphi = 0$.

Пусть $V$ и $W$ — вещественные векторные пространства и $T \in \mathcal{L}(V, W)$. Определим $T_{\mathrm{C}}: V_{\mathrm{C}} \rightarrow W_{\mathrm{C}}$ формулой

для всех $u, v \in V$.