Инвариантные подпространства

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $U$ — подпространство $V$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $V_{1}, \ldots , V_{m}$ — подпространства $V$, инвариантные относительно $T$. Докажите, что $V_{1}+\cdots +V_{m}$ инвариантно относительно $T$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что пересечение любого набора подпространств $V$, инвариантных относительно $T$, инвариантно относительно $T$.

Докажите или приведите контрпример: если $V$ конечномерно и $U$ — подпространство $V$, инвариантное относительно каждого оператора на $V$, то $U = \left\{ 0\right\}$ или $U = V$.

Пусть $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {R}^{2}\right)$ определён равенством $T(x, y) = (-3 y, x)$. Найдите собственные значения $T$.

Определим $T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{2}\right)$ равенством $T(w, z) = (z, w)$. Найдите все собственные значения и собственные векторы $T$.

Определим $T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{3}\right)$ равенством $T\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}\right) = \left(2 z_{2}, 0,5 z_{3}\right)$. Найдите все собственные значения и собственные векторы $T$.

Пусть $P \in \mathcal{L}(V)$ таков, что $P^{2} = P$. Докажите, что если $\lambda$ — собственное значение $P$, то $\lambda = 0$ или $\lambda = 1$.

Определим $T: \mathcal{P}(\mathbb {R}) \rightarrow \mathcal{P}(\mathbb {R})$ равенством $T p = p^{\prime }$. Найдите все собственные значения и собственные векторы $T$.

Определим $T \in \mathcal{L}\left(\mathcal{P}_{4}(\mathbb {R})\right)$ равенством $(T p)(x) = x p^{\prime }(x)$ для всех $x \in \mathbb {R}$. Найдите все собственные значения и собственные векторы $T$.

Пусть $V$ конечномерно, $T \in \mathcal{L}(V)$ и $\alpha \in \mathbf{F}$. Докажите, что существует $\delta > 0$, такое что $T-\lambda I$ обратим для всех $\lambda \in \mathbf{F}$, таких что $0 < \left|\alpha -\lambda \right| < \delta$.

Пусть $V = U \oplus W$, где $U$ и $W$ — ненулевые подпространства $V$. Определим $P \in \mathcal{L}(V)$ равенством $P(u+w) = u$ для каждого $u \in U$ и каждого $w \in W$. Найдите все собственные значения и собственные векторы $P$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$. Пусть $S \in \mathcal{L}(V)$ обратим.

Приведите пример оператора на $\mathbb {R}^{4}$, не имеющего (вещественных) собственных значений.

Пусть $V$ конечномерно, $T \in \mathcal{L}(V)$ и $\lambda \in \mathbf{F}$. Покажите, что $\lambda$ является собственным значением $T$ тогда и только тогда, когда $\lambda$ является собственным значением двойственного оператора $T^{\prime } \in \mathcal{L}\left(V^{\prime }\right)$.

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{n}$ — базис $V$ и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что если $\lambda$ — собственное значение $T$, то

где $\mathcal{M}(T)_{j, k}$ обозначает элемент в строке $j$, столбце $k$ матрицы $T$ относительно базиса $v_{1}, \ldots , v_{n}$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {R}, T \in \mathcal{L}(V)$ и $\lambda \in \mathbb {R}$. Докажите, что $\lambda$ является собственным значением $T$ тогда и только тогда, когда $\lambda$ является собственным значением комплексификации $T_{\mathbb {C}}$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {R}, T \in \mathcal{L}(V)$ и $\lambda \in \mathbb {C}$. Докажите, что $\lambda$ является собственным значением комплексификации $T_{\mathbb {C}}$ тогда и только тогда, когда $\bar{\lambda }$ является собственным значением $T_{\mathbb {C}}$.

Покажите, что оператор прямого сдвига $T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{\infty }\right)$, определённый равенством

не имеет собственных значений.

Определим оператор обратного сдвига $S \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{\infty }\right)$ равенством

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ обратим.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и существуют ненулевые векторы $u$ и $w$ в $V$, такие что

Докажите, что $3$ или $-3$ является собственным значением $T$.

Пусть $V$ конечномерно и $S, T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $S T$ и $T S$ имеют одни и те же собственные значения.

Пусть $A$ — матрица размера $n$-на-$n$ с элементами из $\mathbf{F}$. Определим $T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{n}\right)$ равенством $T x = A x$, где элементы $\mathbf{F}^{n}$ рассматриваются как столбцы размера $n$-на-$1$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $u, w$ — собственные векторы $T$, такие что $u+w$ также является собственным вектором $T$. Докажите, что $u$ и $w$ — собственные векторы $T$, соответствующие одному и тому же собственному значению.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ таков, что каждый ненулевой вектор в $V$ является собственным вектором $T$. Докажите, что $T$ является скалярным кратным тождественного оператора.

Пусть $V$ конечномерно и $k \in \left\{ 1, \ldots , \operatorname {dim} V-1\right\}$. Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ таков, что каждое подпространство $V$ размерности $k$ инвариантно относительно $T$. Докажите, что $T$ является скалярным кратным тождественного оператора.

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $T$ имеет не более $1+\operatorname {dim}$ range $T$ различных собственных значений.

Пусть $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {R}^{3}\right)$ и $-4,5$ и $\sqrt{7}$ — собственные значения $T$. Докажите, что существует $x \in \mathbb {R}^{3}$, такой что $T x-9 x = (-4,5, \sqrt{7})$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $(T-2 I)(T-3 I)(T-4 I) = 0$. Пусть $\lambda$ — собственное значение $T$. Докажите, что $\lambda = 2$, или $\lambda = 3$, или $\lambda = 4$.

Приведите пример $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {R}^{2}\right)$, такого что $T^{4} = -I$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ не имеет собственных значений и $T^{4} = I$. Докажите, что $T^{2} = -I$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $m$ — натуральное число.

Пусть $V$ конечномерно и $v_{1}, \ldots , v_{m} \in V$. Докажите, что список $v_{1}, \ldots , v_{m}$ линейно независим тогда и только тогда, когда существует $T \in \mathcal{L}(V)$, такой что $v_{1}, \ldots , v_{m}$ — собственные векторы $T$, соответствующие различным собственным значениям.

Пусть $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ — список различных вещественных чисел. Докажите, что список $e^{\lambda_{1} x}, \ldots , e^{\lambda_{n} x}$ линейно независим в векторном пространстве вещественнозначных функций на $\mathbb {R}$.

Пусть $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ — список различных положительных чисел. Докажите, что список $\cos \left(\lambda_{1} x\right), \ldots , \cos \left(\lambda_{n} x\right)$ линейно независим в векторном пространстве вещественнозначных функций на $\mathbb {R}$.

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$. Определим $\mathcal{A} \in \mathcal{L}(\mathcal{L}(V))$ равенством

для каждого $S \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что множество собственных значений $T$ совпадает с множеством собственных значений $\mathcal{A}$.

Пусть $V$ конечномерно, $T \in \mathcal{L}(V)$ и $U$ — подпространство $V$, инвариантное относительно $T$. Фактор-оператор $T / U \in \mathcal{L}(V / U)$ определяется равенством

для каждого $v \in V$.

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $T$ имеет собственное значение тогда и только тогда, когда существует подпространство $V$ размерности $\operatorname {dim} V-1$, инвариантное относительно $T$.

Пусть $S, T \in \mathcal{L}(V)$ и $S$ обратим. Пусть $p \in \mathcal{P}(\mathbf{F})$ — многочлен. Докажите, что

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $U$ — подпространство $V$, инвариантное относительно $T$. Докажите, что $U$ инвариантно относительно $p(T)$ для каждого многочлена $p \in \mathcal{P}(\mathbf{F})$.

Определим $T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{n}\right)$ равенством $T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots , x_{n}\right) = \left(x_{1}, 2 x_{2}, 3 x_{3}, \ldots , n x_{n}\right)$.

Пусть $V$ конечномерно, $\operatorname {dim} V > 1$ и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $\left\{ p(T): p \in \mathcal{P}(\mathbf{F})\right\} \neq \mathcal{L}(V)$.