Собственные значения и собственные векторы

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $U$ — подпространство $V$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $V_{1}, \ldots , V_{m}$ — подпространства $V$, инвариантные относительно $T$. Докажите, что $V_{1}+\cdots +V_{m}$ инвариантно относительно $T$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что пересечение любого набора подпространств $V$, инвариантных относительно $T$, инвариантно относительно $T$.

Докажите или приведите контрпример: если $V$ конечномерно и $U$ — подпространство $V$, инвариантное относительно каждого оператора на $V$, то $U = \left\{ 0\right\}$ или $U = V$.

Пусть $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {R}^{2}\right)$ определён равенством $T(x, y) = (-3 y, x)$. Найдите собственные значения $T$.

Определим $T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{2}\right)$ равенством $T(w, z) = (z, w)$. Найдите все собственные значения и собственные векторы $T$.

Определим $T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{3}\right)$ равенством $T\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}\right) = \left(2 z_{2}, 0,5 z_{3}\right)$. Найдите все собственные значения и собственные векторы $T$.

Пусть $P \in \mathcal{L}(V)$ таков, что $P^{2} = P$. Докажите, что если $\lambda$ — собственное значение $P$, то $\lambda = 0$ или $\lambda = 1$.

Определим $T: \mathcal{P}(\mathbb {R}) \rightarrow \mathcal{P}(\mathbb {R})$ равенством $T p = p^{\prime }$. Найдите все собственные значения и собственные векторы $T$.

Определим $T \in \mathcal{L}\left(\mathcal{P}_{4}(\mathbb {R})\right)$ равенством $(T p)(x) = x p^{\prime }(x)$ для всех $x \in \mathbb {R}$. Найдите все собственные значения и собственные векторы $T$.

Пусть $V$ конечномерно, $T \in \mathcal{L}(V)$ и $\alpha \in \mathbf{F}$. Докажите, что существует $\delta > 0$, такое что $T-\lambda I$ обратим для всех $\lambda \in \mathbf{F}$, таких что $0 < \left|\alpha -\lambda \right| < \delta$.

Пусть $V = U \oplus W$, где $U$ и $W$ — ненулевые подпространства $V$. Определим $P \in \mathcal{L}(V)$ равенством $P(u+w) = u$ для каждого $u \in U$ и каждого $w \in W$. Найдите все собственные значения и собственные векторы $P$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$. Пусть $S \in \mathcal{L}(V)$ обратим.

Приведите пример оператора на $\mathbb {R}^{4}$, не имеющего (вещественных) собственных значений.

Пусть $V$ конечномерно, $T \in \mathcal{L}(V)$ и $\lambda \in \mathbf{F}$. Покажите, что $\lambda$ является собственным значением $T$ тогда и только тогда, когда $\lambda$ является собственным значением двойственного оператора $T^{\prime } \in \mathcal{L}\left(V^{\prime }\right)$.

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{n}$ — базис $V$ и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что если $\lambda$ — собственное значение $T$, то

где $\mathcal{M}(T)_{j, k}$ обозначает элемент в строке $j$, столбце $k$ матрицы $T$ относительно базиса $v_{1}, \ldots , v_{n}$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {R}, T \in \mathcal{L}(V)$ и $\lambda \in \mathbb {R}$. Докажите, что $\lambda$ является собственным значением $T$ тогда и только тогда, когда $\lambda$ является собственным значением комплексификации $T_{\mathbb {C}}$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {R}, T \in \mathcal{L}(V)$ и $\lambda \in \mathbb {C}$. Докажите, что $\lambda$ является собственным значением комплексификации $T_{\mathbb {C}}$ тогда и только тогда, когда $\bar{\lambda }$ является собственным значением $T_{\mathbb {C}}$.

Покажите, что оператор прямого сдвига $T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{\infty }\right)$, определённый равенством

не имеет собственных значений.

Определим оператор обратного сдвига $S \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{\infty }\right)$ равенством

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ обратим.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и существуют ненулевые векторы $u$ и $w$ в $V$, такие что

Докажите, что $3$ или $-3$ является собственным значением $T$.

Пусть $V$ конечномерно и $S, T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $S T$ и $T S$ имеют одни и те же собственные значения.

Пусть $A$ — матрица размера $n$-на-$n$ с элементами из $\mathbf{F}$. Определим $T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{n}\right)$ равенством $T x = A x$, где элементы $\mathbf{F}^{n}$ рассматриваются как столбцы размера $n$-на-$1$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $u, w$ — собственные векторы $T$, такие что $u+w$ также является собственным вектором $T$. Докажите, что $u$ и $w$ — собственные векторы $T$, соответствующие одному и тому же собственному значению.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ таков, что каждый ненулевой вектор в $V$ является собственным вектором $T$. Докажите, что $T$ является скалярным кратным тождественного оператора.

Пусть $V$ конечномерно и $k \in \left\{ 1, \ldots , \operatorname {dim} V-1\right\}$. Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ таков, что каждое подпространство $V$ размерности $k$ инвариантно относительно $T$. Докажите, что $T$ является скалярным кратным тождественного оператора.

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $T$ имеет не более $1+\operatorname {dim}$ range $T$ различных собственных значений.

Пусть $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {R}^{3}\right)$ и $-4,5$ и $\sqrt{7}$ — собственные значения $T$. Докажите, что существует $x \in \mathbb {R}^{3}$, такой что $T x-9 x = (-4,5, \sqrt{7})$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $(T-2 I)(T-3 I)(T-4 I) = 0$. Пусть $\lambda$ — собственное значение $T$. Докажите, что $\lambda = 2$, или $\lambda = 3$, или $\lambda = 4$.

Приведите пример $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {R}^{2}\right)$, такого что $T^{4} = -I$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ не имеет собственных значений и $T^{4} = I$. Докажите, что $T^{2} = -I$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $m$ — натуральное число.

Пусть $V$ конечномерно и $v_{1}, \ldots , v_{m} \in V$. Докажите, что список $v_{1}, \ldots , v_{m}$ линейно независим тогда и только тогда, когда существует $T \in \mathcal{L}(V)$, такой что $v_{1}, \ldots , v_{m}$ — собственные векторы $T$, соответствующие различным собственным значениям.

Пусть $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ — список различных вещественных чисел. Докажите, что список $e^{\lambda_{1} x}, \ldots , e^{\lambda_{n} x}$ линейно независим в векторном пространстве вещественнозначных функций на $\mathbb {R}$.

Пусть $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ — список различных положительных чисел. Докажите, что список $\cos \left(\lambda_{1} x\right), \ldots , \cos \left(\lambda_{n} x\right)$ линейно независим в векторном пространстве вещественнозначных функций на $\mathbb {R}$.

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$. Определим $\mathcal{A} \in \mathcal{L}(\mathcal{L}(V))$ равенством

для каждого $S \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что множество собственных значений $T$ совпадает с множеством собственных значений $\mathcal{A}$.

Пусть $V$ конечномерно, $T \in \mathcal{L}(V)$ и $U$ — подпространство $V$, инвариантное относительно $T$. Фактор-оператор $T / U \in \mathcal{L}(V / U)$ определяется равенством

для каждого $v \in V$.

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $T$ имеет собственное значение тогда и только тогда, когда существует подпространство $V$ размерности $\operatorname {dim} V-1$, инвариантное относительно $T$.

Пусть $S, T \in \mathcal{L}(V)$ и $S$ обратим. Пусть $p \in \mathcal{P}(\mathbf{F})$ — многочлен. Докажите, что

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $U$ — подпространство $V$, инвариантное относительно $T$. Докажите, что $U$ инвариантно относительно $p(T)$ для каждого многочлена $p \in \mathcal{P}(\mathbf{F})$.

Определим $T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{n}\right)$ равенством $T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots , x_{n}\right) = \left(x_{1}, 2 x_{2}, 3 x_{3}, \ldots , n x_{n}\right)$.

Пусть $V$ конечномерно, $\operatorname {dim} V > 1$ и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $\left\{ p(T): p \in \mathcal{P}(\mathbf{F})\right\} \neq \mathcal{L}(V)$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $9$ является собственным значением $T^{2}$ тогда и только тогда, когда $3$ или $-3$ является собственным значением $T$.

Пусть $V$ — комплексное векторное пространство и $T \in \mathcal{L}(V)$ не имеет собственных значений. Докажите, что каждое подпространство $V$, инвариантное относительно $T$, является либо $\left\{ 0\right\}$, либо бесконечномерным.

Пусть $n$ — натуральное число и $T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{n}\right)$ определён равенством

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}, T \in \mathcal{L}(V), p \in \mathcal{P}(\mathbb {C})$ и $\alpha \in \mathbb {C}$. Докажите, что $\alpha$ является собственным значением $p(T)$ тогда и только тогда, когда $\alpha = p(\lambda )$ для некоторого собственного значения $\lambda$ оператора $T$.

Приведите пример оператора на $\mathbb {R}^{2}$, показывающего, что результат упражнения 4 не выполняется, если $\mathbb {C}$ заменить на $\mathbb {R}$.

Пусть $T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{2}\right)$ определён равенством $T(w, z) = (-z, w)$. Найдите минимальный многочлен $T$.

Пусть $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {R}^{2}\right)$ — оператор поворота против часовой стрелки на $1^{\circ }$. Найдите минимальный многочлен $T$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ таков, что относительно некоторого базиса $V$ все элементы матрицы $T$ являются рациональными числами. Объясните, почему все коэффициенты минимального многочлена $T$ являются рациональными числами.

Пусть $V$ конечномерно, $T \in \mathcal{L}(V)$ и $v \in V$. Докажите, что

для всех целых $m \geq \operatorname {dim} V-1$.

Пусть $V$ — двумерное векторное пространство, $T \in \mathcal{L}(V)$, и матрица $T$ относительно некоторого базиса $V$ равна

Определим $T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{n}\right)$ равенством $T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots , x_{n}\right) = \left(x_{1}, 2 x_{2}, 3 x_{3}, \ldots , n x_{n}\right)$. Найдите минимальный многочлен $T$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $p \in \mathcal{P}(\mathbf{F})$. Докажите, что существует единственный $r \in \mathcal{P}(\mathbf{F})$, такой что $p(T) = r(T)$ и $\operatorname {deg} r$ меньше степени минимального многочлена $T$.

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$ имеет минимальный многочлен $\mu_T(z) = 4+5 z-6 z^{2}-7 z^{3}+2 z^{4}+z^{5}$. Найдите минимальный многочлен $T^{-1}$.

Пусть $V$ — конечномерное комплексное векторное пространство с $\operatorname {dim} V > 0$ и $T \in \mathcal{L}(V)$. Определим $f: \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {R}$ равенством

Докажите, что $f$ не является непрерывной функцией.

Пусть $a_{0}, \ldots , a_{n-1} \in \mathbf{F}$. Пусть $T$ — оператор на $\mathbf{F}^{n}$, матрица которого (относительно стандартного базиса) равна

Здесь все элементы матрицы равны $0$, кроме единиц на линии под диагональю и элементов в последнем столбце (некоторые из которых также могут быть равны $0$). Покажите, что минимальный многочлен $T$ — это многочлен

Пусть $V$ конечномерно, $T \in \mathcal{L}(V)$ и $\mu_T$ — минимальный многочлен $T$. Пусть $\lambda \in \mathbf{F}$. Покажите, что минимальный многочлен $T-\lambda I$ — это многочлен $q$, определённый равенством $q(z) = \mu_{T}(z+\lambda )$.

Пусть $V$ конечномерно, $T \in \mathcal{L}(V)$ и $p$ — минимальный многочлен $T$. Пусть $\lambda \in \mathbf{F} \backslash \left\{ 0\right\}$. Покажите, что минимальный многочлен $\lambda T$ — это многочлен $q$, определённый равенством $q(z) = \lambda^{\operatorname {deg} p} p\left(\frac{z}{\lambda }\right)$.

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$. Пусть $\mathcal{E}$ — подпространство $\mathcal{L}(V)$, определённое равенством

Докажите, что $\operatorname {dim} \mathcal{E}$ равна степени минимального многочлена $T$.

Пусть $T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{4}\right)$ таков, что собственными значениями $T$ являются $3,5,8$. Докажите, что

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что минимальный многочлен $T$ имеет степень не более $1+\operatorname {dim}\operatorname {range}T$.

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $T$ обратим тогда и только тогда, когда $I \in \operatorname {span}\left(T, T^{2}, \ldots , T^{\operatorname {dim} V}\right)$.

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$. Пусть $n = \operatorname {dim} V$. Докажите, что если $v \in V$, то $\operatorname {span}\left(v, T v, \ldots , T^{n-1} v\right)$ инвариантно относительно $T$.

Пусть $V$ — конечномерное комплексное векторное пространство. Пусть $n = \operatorname {dim} V$. Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ таков, что $5$ и $6$ являются собственными значениями $T$, и других собственных значений $T$ не имеет. Докажите, что $(T-5 I)^{n-1}(T-6 I)^{n-1} = 0$.

Пусть $V$ конечномерно, $T \in \mathcal{L}(V)$ и $U$ — подпространство $V$, инвариантное относительно $T$.

Пусть $V$ конечномерно, $T \in \mathcal{L}(V)$ и $U$ — подпространство $V$, инвариантное относительно $T$. Докажите, что множество собственных значений $T$ равно объединению множества собственных значений $\left.T\right|_{U}$ и множества собственных значений $T / U$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {R}, V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что минимальный многочлен $T_{\mathbb {C}}$ совпадает с минимальным многочленом $T$.

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что минимальный многочлен $T^{\prime } \in \mathcal{L}\left(V^{\prime }\right)$ совпадает с минимальным многочленом $T$.

Покажите, что каждый оператор на конечномерном векторном пространстве размерности не менее двух имеет инвариантное подпространство размерности два.

Докажите или приведите контрпример: если $T \in \mathcal{L}(V)$ и $T^{2}$ имеет верхнетреугольную матрицу относительно некоторого базиса $V$, то $T$ имеет верхнетреугольную матрицу относительно некоторого базиса $V$.

Пусть $A$ и $B$ — верхнетреугольные матрицы одинакового размера, с $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{n}$ на диагонали $A$ и $\beta_{1}, \ldots , \beta_{n}$ на диагонали $B$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ обратим и $v_{1}, \ldots , v_{n}$ — базис $V$, относительно которого матрица $T$ верхнетреугольна, с $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ на диагонали. Покажите, что матрица $T^{-1}$ также верхнетреугольна относительно базиса $v_{1}, \ldots , v_{n}$, с

на диагонали.

Приведите пример оператора, матрица которого относительно некоторого базиса содержит на диагонали только нули, но при этом оператор обратим.

Приведите пример оператора, матрица которого относительно некоторого базиса содержит на диагонали только ненулевые числа, но при этом оператор не обратим.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}, V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что если $k \in \left\{ 1, \ldots , \operatorname {dim} V\right\}$, то $V$ имеет $k$-мерное подпространство, инвариантное относительно $T$.

Пусть $V$ конечномерно, $T \in \mathcal{L}(V)$ и $v \in V$.

Пусть $V$ конечномерно, $T \in \mathcal{L}(V)$ и существует ненулевой вектор $v \in V$, такой что $T^{2} v+2 T v = -2 v$.

Пусть $B$ — квадратная матрица с комплексными элементами. Докажите, что существует обратимая квадратная матрица $A$ с комплексными элементами, такая что $A^{-1} B A$ — верхнетреугольная матрица.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $v_{1}, \ldots , v_{n}$ — базис $V$. Покажите, что следующие условия эквивалентны.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $V$ конечномерно. Докажите, что если $T \in \mathcal{L}(V)$, то существует базис $V$, относительно которого $T$ имеет нижнетреугольную матрицу.

Пусть $V$ конечномерно, $T \in \mathcal{L}(V)$ имеет верхнетреугольную матрицу относительно некоторого базиса $V$, а $U$ — подпространство $V$, инвариантное относительно $T$.

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$. Пусть существует подпространство $U$ пространства $V$, инвариантное относительно $T$, такое что $\left.T\right|_{U}$ имеет верхнетреугольную матрицу относительно некоторого базиса $U$, а также $T / U$ имеет верхнетреугольную матрицу относительно некоторого базиса $V / U$. Докажите, что $T$ имеет верхнетреугольную матрицу относительно некоторого базиса $V$.