Минимальный многочлен

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $9$ является собственным значением $T^{2}$ тогда и только тогда, когда $3$ или $-3$ является собственным значением $T$.

Пусть $V$ — комплексное векторное пространство и $T \in \mathcal{L}(V)$ не имеет собственных значений. Докажите, что каждое подпространство $V$, инвариантное относительно $T$, является либо $\left\{ 0\right\}$, либо бесконечномерным.

Пусть $n$ — натуральное число и $T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{n}\right)$ определён равенством

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}, T \in \mathcal{L}(V), p \in \mathcal{P}(\mathbb {C})$ и $\alpha \in \mathbb {C}$. Докажите, что $\alpha$ является собственным значением $p(T)$ тогда и только тогда, когда $\alpha = p(\lambda )$ для некоторого собственного значения $\lambda$ оператора $T$.

Приведите пример оператора на $\mathbb {R}^{2}$, показывающего, что результат упражнения 4 не выполняется, если $\mathbb {C}$ заменить на $\mathbb {R}$.

Пусть $T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{2}\right)$ определён равенством $T(w, z) = (-z, w)$. Найдите минимальный многочлен $T$.

Пусть $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {R}^{2}\right)$ — оператор поворота против часовой стрелки на $1^{\circ }$. Найдите минимальный многочлен $T$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ таков, что относительно некоторого базиса $V$ все элементы матрицы $T$ являются рациональными числами. Объясните, почему все коэффициенты минимального многочлена $T$ являются рациональными числами.

Пусть $V$ конечномерно, $T \in \mathcal{L}(V)$ и $v \in V$. Докажите, что

для всех целых $m \geq \operatorname {dim} V-1$.

Пусть $V$ — двумерное векторное пространство, $T \in \mathcal{L}(V)$, и матрица $T$ относительно некоторого базиса $V$ равна

Определим $T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{n}\right)$ равенством $T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots , x_{n}\right) = \left(x_{1}, 2 x_{2}, 3 x_{3}, \ldots , n x_{n}\right)$. Найдите минимальный многочлен $T$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $p \in \mathcal{P}(\mathbf{F})$. Докажите, что существует единственный $r \in \mathcal{P}(\mathbf{F})$, такой что $p(T) = r(T)$ и $\operatorname {deg} r$ меньше степени минимального многочлена $T$.

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$ имеет минимальный многочлен $\mu_T(z) = 4+5 z-6 z^{2}-7 z^{3}+2 z^{4}+z^{5}$. Найдите минимальный многочлен $T^{-1}$.

Пусть $V$ — конечномерное комплексное векторное пространство с $\operatorname {dim} V > 0$ и $T \in \mathcal{L}(V)$. Определим $f: \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {R}$ равенством

Докажите, что $f$ не является непрерывной функцией.

Пусть $a_{0}, \ldots , a_{n-1} \in \mathbf{F}$. Пусть $T$ — оператор на $\mathbf{F}^{n}$, матрица которого (относительно стандартного базиса) равна

Здесь все элементы матрицы равны $0$, кроме единиц на линии под диагональю и элементов в последнем столбце (некоторые из которых также могут быть равны $0$). Покажите, что минимальный многочлен $T$ — это многочлен

Пусть $V$ конечномерно, $T \in \mathcal{L}(V)$ и $\mu_T$ — минимальный многочлен $T$. Пусть $\lambda \in \mathbf{F}$. Покажите, что минимальный многочлен $T-\lambda I$ — это многочлен $q$, определённый равенством $q(z) = \mu_{T}(z+\lambda )$.

Пусть $V$ конечномерно, $T \in \mathcal{L}(V)$ и $p$ — минимальный многочлен $T$. Пусть $\lambda \in \mathbf{F} \backslash \left\{ 0\right\}$. Покажите, что минимальный многочлен $\lambda T$ — это многочлен $q$, определённый равенством $q(z) = \lambda^{\operatorname {deg} p} p\left(\frac{z}{\lambda }\right)$.

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$. Пусть $\mathcal{E}$ — подпространство $\mathcal{L}(V)$, определённое равенством

Докажите, что $\operatorname {dim} \mathcal{E}$ равна степени минимального многочлена $T$.

Пусть $T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{4}\right)$ таков, что собственными значениями $T$ являются $3,5,8$. Докажите, что

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что минимальный многочлен $T$ имеет степень не более $1+\operatorname {dim}\operatorname {range}T$.

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $T$ обратим тогда и только тогда, когда $I \in \operatorname {span}\left(T, T^{2}, \ldots , T^{\operatorname {dim} V}\right)$.

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$. Пусть $n = \operatorname {dim} V$. Докажите, что если $v \in V$, то $\operatorname {span}\left(v, T v, \ldots , T^{n-1} v\right)$ инвариантно относительно $T$.

Пусть $V$ — конечномерное комплексное векторное пространство. Пусть $n = \operatorname {dim} V$. Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ таков, что $5$ и $6$ являются собственными значениями $T$, и других собственных значений $T$ не имеет. Докажите, что $(T-5 I)^{n-1}(T-6 I)^{n-1} = 0$.

Пусть $V$ конечномерно, $T \in \mathcal{L}(V)$ и $U$ — подпространство $V$, инвариантное относительно $T$.

Пусть $V$ конечномерно, $T \in \mathcal{L}(V)$ и $U$ — подпространство $V$, инвариантное относительно $T$. Докажите, что множество собственных значений $T$ равно объединению множества собственных значений $\left.T\right|_{U}$ и множества собственных значений $T / U$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {R}, V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что минимальный многочлен $T_{\mathbb {C}}$ совпадает с минимальным многочленом $T$.

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что минимальный многочлен $T^{\prime } \in \mathcal{L}\left(V^{\prime }\right)$ совпадает с минимальным многочленом $T$.

Покажите, что каждый оператор на конечномерном векторном пространстве размерности не менее двух имеет инвариантное подпространство размерности два.