Банк задач по математике

Задача 5C.1

Докажите или приведите контрпример: если $T \in \mathcal{L}(V)$ и $T^{2}$ имеет верхнетреугольную матрицу относительно некоторого базиса $V$ , то $T$ имеет верхнетреугольную матрицу относительно некоторого базиса $V$ .

?

Задача 5C.2

(a)(b)

Пусть $A$ и $B$ — верхнетреугольные матрицы одинакового размера, с $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{n}$ на диагонали $A$ и $\beta_{1}, \ldots , \beta_{n}$ на диагонали $B$ .

?

(a)

Покажите, что $A+B$ — верхнетреугольная матрица с $\alpha_{1}+\beta_{1}, \ldots , \alpha_{n}+\beta_{n}$ на диагонали.

(b)

Покажите, что $A B$ — верхнетреугольная матрица с $\alpha_{1} \beta_{1}, \ldots , \alpha_{n} \beta_{n}$ на диагонали.

Примечание.

?

Результаты этого упражнения используются в доказательстве 5.81.

Задача 5C.3

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ обратим и $v_{1}, \ldots , v_{n}$ — базис $V$ , относительно которого матрица $T$ верхнетреугольна, с $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ на диагонали. Покажите, что матрица $T^{-1}$ также верхнетреугольна относительно базиса $v_{1}, \ldots , v_{n}$ , с

\frac{1}{\lambda _{1}}, \ldots , \frac{1}{\lambda _{n}}

на диагонали.

?

Задача 5C.4

Приведите пример оператора, матрица которого относительно некоторого базиса содержит на диагонали только нули, но при этом оператор обратим.

?

Примечание.

?

Это упражнение и следующее за ним показывают, что 5.41 не выполняется без предположения о том, что рассматривается верхнетреугольная матрица.

Задача 5C.5

Приведите пример оператора, матрица которого относительно некоторого базиса содержит на диагонали только ненулевые числа, но при этом оператор не обратим.

?

Задача 5C.6

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}, V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$ . Докажите, что если $k \in \left\{ 1, \ldots , \operatorname {dim} V\right\}$ , то $V$ имеет $k$ -мерное подпространство, инвариантное относительно $T$ .

?

Задача 5C.7

(a)(b)

Пусть $V$ конечномерно, $T \in \mathcal{L}(V)$ и $v \in V$ .

?

(a)

Докажите, что существует единственный нормированный многочлен $p_{v}$ наименьшей степени, такой что $p_{v}(T) v = 0$ .

(b)

Докажите, что минимальный многочлен $T$ является многочленным кратным $p_{v}$ .

Задача 5C.8

(a)(b)

Пусть $V$ конечномерно, $T \in \mathcal{L}(V)$ и существует ненулевой вектор $v \in V$ , такой что $T^{2} v+2 T v = -2 v$ .

?

(a)

Докажите, что если $\mathbf{F} = \mathbb {R}$ , то не существует базиса $V$ , относительно которого $T$ имеет верхнетреугольную матрицу.

(b)

Докажите, что если $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $A$ — верхнетреугольная матрица, равная матрице $T$ относительно некоторого базиса $V$ , то на диагонали $A$ встречается $-1+i$ или $-1-i$ .

Задача 5C.9

Пусть $B$ — квадратная матрица с комплексными элементами. Докажите, что существует обратимая квадратная матрица $A$ с комплексными элементами, такая что $A^{-1} B A$ — верхнетреугольная матрица.

?

Задача 5C.10

(a)(b)(c)

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $v_{1}, \ldots , v_{n}$ — базис $V$ . Покажите, что следующие условия эквивалентны.

?

(a)

Матрица $T$ относительно $v_{1}, \ldots , v_{n}$ нижнетреугольна.

(b)

$\operatorname {span}\left(v_{k}, \ldots , v_{n}\right)$ инвариантно относительно $T$ при каждом $k = 1, \ldots , n$ .

(c)

$T v_{k} \in \operatorname {span}\left(v_{k}, \ldots , v_{n}\right)$ при каждом $k = 1, \ldots , n$ .

Примечание.

?

Квадратная матрица называется нижнетреугольной, если все элементы над диагональю равны $0$ .

Задача 5C.11

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $V$ конечномерно. Докажите, что если $T \in \mathcal{L}(V)$ , то существует базис $V$ , относительно которого $T$ имеет нижнетреугольную матрицу.

?

Задача 5C.12

(a)(b)

Пусть $V$ конечномерно, $T \in \mathcal{L}(V)$ имеет верхнетреугольную матрицу относительно некоторого базиса $V$ , а $U$ — подпространство $V$ , инвариантное относительно $T$ .

?

(a)

Докажите, что $\left.T\right|_{U}$ имеет верхнетреугольную матрицу относительно некоторого базиса $U$ .

(b)

Докажите, что фактор-оператор $T / U$ имеет верхнетреугольную матрицу относительно некоторого базиса $V / U$ .

Фактор-оператор $T/U$ был определён в упражнении 38 раздела 5A.

Задача 5C.13

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$ . Пусть существует подпространство $U$ пространства $V$ , инвариантное относительно $T$ , такое что $\left.T\right|_{U}$ имеет верхнетреугольную матрицу относительно некоторого базиса $U$ , а также $T / U$ имеет верхнетреугольную матрицу относительно некоторого базиса $V / U$ . Докажите, что $T$ имеет верхнетреугольную матрицу относительно некоторого базиса $V$ .

?

Задача 5C.14

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$ . Докажите, что $T$ имеет верхнетреугольную матрицу относительно некоторого базиса $V$ тогда и только тогда, когда двойственный оператор $T^{\prime }$ имеет верхнетреугольную матрицу относительно некоторого базиса двойственного пространства $V^{\prime }$ .

?

Верхнетреугольные матрицы