Диагонализируемые операторы

Пусть $V$ — конечномерное комплексное векторное пространство и $T \in \mathcal{L}(V)$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ имеет диагональную матрицу $A$ относительно некоторого базиса $V$. Докажите, что если $\lambda \in \mathbf{F}$, то $\lambda$ встречается на диагонали $A$ ровно $\operatorname {dim} E(\lambda , T)$ раз.

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что если оператор $T$ диагонализируем, то $V =\operatorname {null}T \oplus \operatorname {range}T$.

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что следующие условия эквивалентны.

(i) $V = \operatorname {null} T \oplus \operatorname {range} T$.

(ii) $V =\operatorname {null}T+\operatorname {range} T$.

(iii) $\operatorname {null}T \; \cap \operatorname {range} T = \left\{ 0\right\}$.

Пусть $V$ — конечномерное комплексное векторное пространство и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $T$ диагонализируем тогда и только тогда, когда

для каждого $\lambda \in \mathbb {C}$.

Пусть $T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{5}\right)$ и $\operatorname {dim} E(8, T) = 4$. Докажите, что $T-2 I$ или $T-6 I$ обратим.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ обратим. Докажите, что

для каждого $\lambda \in \mathbf{F}$ с $\lambda \neq 0$.

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$. Пусть $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{m}$ обозначают различные ненулевые собственные значения $T$. Докажите, что

Пусть $R, T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{3}\right)$ — операторы, у каждого из которых $2, 6, 7$ являются собственными значениями. Докажите, что существует обратимый оператор $S \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{3}\right)$, такой что $R = S^{-1} T S$.

Найдите $R, T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{4}\right)$, такие что у $R$ и $T$ собственными значениями являются $2, 6, 7$ и никакие другие, но не существует обратимого оператора $S \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{4}\right)$, такого что $R = S^{-1} T S$.

Найдите $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {C}^{3}\right)$, такой что 6 и 7 являются собственными значениями $T$ и такой что $T$ не имеет диагональной матрицы ни относительно какого базиса $\mathbb {C}^{3}$.

Пусть $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {C}^{3}\right)$ таков, что 6 и 7 являются собственными значениями $T$. Пусть, кроме того, $T$ не имеет диагональной матрицы ни относительно какого базиса $\mathbb {C}^{3}$. Докажите, что существует $\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}\right) \in \mathbb {C}^{3}$, такой что

Пусть $A$ — диагональная матрица с различными элементами на диагонали, а $B$ — матрица того же размера, что и $A$. Покажите, что $A B = B A$ тогда и только тогда, когда $B$ — диагональная матрица.

Пусть $V$ — конечномерное комплексное векторное пространство, $T \in \mathcal{L}(V)$, и $p$ — минимальный многочлен $T$. Докажите, что следующие условия эквивалентны.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ диагонализируем. Пусть $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{m}$ обозначают различные собственные значения $T$. Докажите, что подпространство $U$ пространства $V$ инвариантно относительно $T$ тогда и только тогда, когда существуют подпространства $U_{1}, \ldots , U_{m}$ пространства $V$, такие что $U_{k} \subseteq E(\lambda_{k}, T)$ для каждого $k$ и $U = U_{1} \oplus \cdots \oplus U_{m}$.

Пусть $V$ конечномерно. Докажите, что $\mathcal{L}(V)$ имеет базис, состоящий из диагонализируемых операторов.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ диагонализируем и $U$ — подпространство $V$, инвариантное относительно $T$. Докажите, что фактор-оператор $T / U$ является диагонализируемым оператором на $V / U$.

Докажите или приведите контрпример: если $T \in \mathcal{L}(V)$ и существует подпространство $U$ пространства $V$, инвариантное относительно $T$, такое что $\left.T\right|_{U}$ и $T / U$ оба диагонализируемы, то $T$ диагонализируем.

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $T$ диагонализируем тогда и только тогда, когда двойственный оператор $T^{\prime }$ диагонализируем.

Последовательность Фибоначчи $F_{0}, F_{1}, F_{2}, \ldots$ определяется формулами

Определим $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {R}^{2}\right)$ формулой $T(x, y) = (y, x+y)$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $A$ — матрица размера $n$-на-$n$, являющаяся матрицей $T$ относительно некоторого базиса $V$. Докажите, что если

для каждого $j \in \left\{ 1, \ldots , n\right\}$, то $T$ обратим.

Пусть определение кругов Гершгорина изменено так, что радиус $k^{\text{th }}$ круга равен сумме абсолютных значений элементов столбца (вместо строки) $k$ матрицы $A$, исключая диагональный элемент. Покажите, что теорема о кругах Гершгорина (5.67) остаётся верной при этом изменённом определении.