Операторы на комплексных векторных пространствах

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что если $\operatorname {dim}\operatorname {null}T^{4} = 8$ и $\operatorname {dim}\operatorname {null}T^{6} = 9$, то dim $\operatorname {null}T^{m} = 9$ для всех целых $m \geq 5$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$, $m$ — положительное целое число, $v \in V$, и $T^{m-1} v \neq 0$, но $T^{m} v = 0$. Докажите, что $v, T v, T^{2} v, \ldots , T^{m-1} v$ линейно независимы.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$, $\lambda \in \mathbf{F}$, и $m$ — положительное целое число, такое что минимальный многочлен $T$ кратен $(z-\lambda )^{m}$. Докажите, что

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $m$ — положительное целое число. Докажите, что

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$. Покажите, что

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $m$ — неотрицательное целое число, такое что

Докажите, что range $T^{k} = \operatorname {range} T^{m}$ для всех $k > m$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $m$ — неотрицательное целое число. Докажите, что

Определим $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {C}^{2}\right)$ формулой $T(w, z) = (z, 0)$. Найдите все обобщённые собственные векторы $T$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что существует базис $V$, состоящий из обобщённых собственных векторов $T$, тогда и только тогда, когда минимальный многочлен $T$ равен $\left(z-\lambda_{1}\right) \cdots \left(z-\lambda_{m}\right)$ для некоторых $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{m} \in \mathbf{F}$.

Предположим, что $\mathbf{F} = \mathbb {R}$, поскольку случай $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ следует из 5.27(b) и 8.9. Эта задача утверждает, что условие существования базиса $V$, состоящего из обобщённых собственных векторов $T$, совпадает с условием существования базиса, относительно которого $T$ имеет верхнетреугольную матрицу (см. 5.44). Предостережение: если $T$ имеет верхнетреугольную матрицу относительно базиса $v_{1}, \ldots , v_{n}$ пространства $V$, то $v_{1}$ является собственным вектором $T$, но не обязательно, что $v_{2}, \ldots , v_{n}$ являются обобщёнными собственными векторами $T$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ таков, что каждый вектор в $V$ является обобщённым собственным вектором $T$. Докажите, что существует $\lambda \in \mathbf{F}$, такой что $T-\lambda I$ нильпотентен.

Пусть $S, T \in \mathcal{L}(V)$ и $S T$ нильпотентен. Докажите, что $T S$ нильпотентен.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ нильпотентен и $T \neq 0$. Докажите, что $T$ не диагонализируем.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $T$ диагонализируем тогда и только тогда, когда каждый обобщённый собственный вектор $T$ является собственным вектором $T$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ нильпотентен и $m$ — положительное целое число, такое что $T^{m} = 0$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ нильпотентен. Докажите, что $T^{1+\text{ dimrange } T} = 0$. Если $\operatorname {dim}$ range $T < \operatorname {dim} V-1$, то эта задача усиливает 8.16.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ не нильпотентен. Покажите, что

Для операторов, не являющихся нильпотентными, эта задача усиливает 8.4.

Пусть $V$ — пространство со скалярным произведением и $T \in \mathcal{L}(V)$ нормален и нильпотентен. Докажите, что $T = 0$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ таков, что $\operatorname {null}T^{\operatorname {dim} V-1} \neq \operatorname {null} T^{\operatorname {dim} V}$. Докажите, что $T$ нильпотентен и что $\operatorname {dim}\operatorname {null}T^{k} = k$ для каждого целого $k$ с $0 \leq k \leq \operatorname {dim} V$.

Пусть $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {C}^{5}\right)$ таков, что range $T^{4} \neq \operatorname {range} T^{5}$. Докажите, что $T$ нильпотентен.

Приведите пример оператора $T$ на конечномерном вещественном векторном пространстве, такого что $0$ — единственное собственное значение $T$, но $T$ не нильпотентен.

Для каждого пункта примера 8.15 найдите базис исходного векторного пространства, такой что матрица нильпотентного оператора относительно этого базиса имеет верхнетреугольный вид, обещанный в 8.18(c).

Пример 8.15 (нильпотентные операторы):

Пусть $V$ — пространство со скалярным произведением и $T \in \mathcal{L}(V)$ нильпотентен. Покажите, что существует ортонормированный базис $V$, относительно которого матрица $T$ имеет верхнетреугольный вид, обещанный в 8.18(c).

Определим $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {C}^{2}\right)$ формулой $T(w, z) = (-z, w)$. Найдите обобщённые собственные подпространства, соответствующие различным собственным значениям $T$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ обратим. Докажите, что $G(\lambda , T) = G\left(\frac{1}{\lambda }, T^{-1}\right)$ для каждого $\lambda \in \mathbf{F}$ с $\lambda \neq 0$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$. Пусть $S \in \mathcal{L}(V)$ обратим. Докажите, что $T$ и $S^{-1} T S$ имеют одни и те же собственные значения с одинаковыми кратностями.

Пусть $\operatorname {dim} V \geq 2$ и $T \in \mathcal{L}(V)$ таков, что $\operatorname {null}T^{\operatorname {dim} V-2} \neq \operatorname {null} T^{\operatorname {dim} V-1}$. Докажите, что $T$ имеет не более двух различных собственных значений.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $3$, $8$ — собственные значения $T$. Пусть $n = \operatorname {dim} V$. Докажите, что $V = \left(\right.\operatorname {null}\left.T^{n-2}\right) \oplus \left(\right.$ range $\left.T^{n-2}\right)$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $\lambda$ — собственное значение $T$. Объясните, почему показатель степени $z-\lambda$ в разложении минимального многочлена $T$ является наименьшим положительным целым числом $m$, таким что $\left.(T-\lambda I)^{m}\right|_{G(\lambda , T)} = 0$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $\lambda$ — собственное значение $T$ кратности $d$. Докажите, что $G(\lambda , T) = \operatorname {null}(T-\lambda I)^{d}$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{m}$ — различные собственные значения $T$. Докажите, что

тогда и только тогда, когда минимальный многочлен $T$ равен $\left(z-\lambda_{1}\right)^{k_{1}} \ldots \left(z-\lambda_{m}\right)^{k_{m}}$ для некоторых положительных целых чисел $k_{1}, \ldots , k_{m}$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что существуют $D, N \in \mathcal{L}(V)$, такие что $T = D+N$, оператор $D$ диагонализируем, $N$ нильпотентен, и $D N = N D$.

Пусть $V$ — комплексное пространство со скалярным произведением, $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — ортонормированный базис $T$, и $T \in \mathcal{L}(V)$. Пусть $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ — собственные значения $T$, каждое из которых включено столько раз, какова его кратность. Докажите, что

См. замечание после задачи 5 раздела 7A.

Приведите пример оператора на $\mathbb {C}^{4}$, характеристический многочлен которого равен $(z-7)^{2}(z-8)^{2}$.

Приведите пример оператора на $\mathbb {C}^{4}$, характеристический многочлен которого равен $(z-1)(z-5)^{3}$, а минимальный многочлен равен $(z-1)(z-5)^{2}$.

Приведите пример оператора на $\mathbb {C}^{4}$, характеристический и минимальный многочлены которого оба равны $z(z-1)^{2}(z-3)$.

Приведите пример оператора на $\mathbb {C}^{4}$, характеристический многочлен которого равен $z(z-1)^{2}(z-3)$, а минимальный многочлен равен $z(z-1)(z-3)$.

Пусть $T$ — оператор на $\mathbb {C}^{4}$, определённый как $T\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}\right) = \left(0, z_{1}, z_{2}, z_{3}\right)$. Найдите характеристический многочлен и минимальный многочлен $T$.

Пусть $T$ — оператор на $\mathbb {C}^{6}$, определённый как

Найдите характеристический многочлен и минимальный многочлен $T$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $P \in \mathcal{L}(V)$ таков, что $P^{2} = P$. Докажите, что характеристический многочлен $P$ равен $z^{m}(z-1)^{n}$, где $m = \operatorname {dim}\operatorname {null}P$ и $n = \operatorname {dim}$ range $P$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $\lambda$ — собственное значение $T$. Объясните, почему следующие четыре числа равны друг другу.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $S \in \mathcal{L}(V)$ — унитарный оператор. Докажите, что свободный член характеристического многочлена $S$ имеет модуль $1$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $V_{1}, \ldots , V_{m}$ — ненулевые подпространства $V$, такие что

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и каждое $V_{k}$ инвариантно относительно $T$. Для каждого $k$ пусть $p_{k}$ обозначает характеристический многочлен $\left.T\right|_{V_{k}}$. Докажите, что характеристический многочлен $T$ равен $p_{1} \cdots p_{m}$.

Пусть $p, q \in \mathcal{P}(\mathbb {C})$ — нормированные многочлены с одними и теми же нулями, и $q$ кратен $p$. Докажите, что существует $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {C}^{\operatorname {deg} q}\right)$, такой что характеристический многочлен $T$ есть $q$, а минимальный многочлен $T$ есть $p$.

Пусть $A$ и $B$ — блочно-диагональные матрицы вида

где $A_{k}$ и $B_{k}$ — квадратные матрицы одного размера для каждого $k = 1, \ldots , m$. Покажите, что $A B$ — блочно-диагональная матрица вида

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {R}$, $T \in \mathcal{L}(V)$, и $\lambda \in \mathbb {C}$.

Пусть $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {C}^{3}\right)$ — оператор, определённый как $T\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}\right) = \left(z_{2}, z_{3}, 0\right)$. Докажите, что $T$ не имеет квадратного корня.

Определим $T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{5}\right)$ формулой $T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right) = \left(2 x_{2}, 3 x_{3},-x_{4}, 4 x_{5}, 0\right)$.

Пусть $V$ — комплексное векторное пространство. Докажите, что каждый обратимый оператор на $V$ имеет кубический корень.

Пусть $V$ — вещественное векторное пространство. Докажите, что оператор $-I$ на $V$ имеет квадратный корень тогда и только тогда, когда $\operatorname {dim} V$ чётно.

Пусть $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {C}^{2}\right)$ — оператор, определённый как $T(w, z) = (-w-z, 9 w+5 z)$. Найдите базис Жордана для $T$.

Найдите базис $\mathcal{P}_{4}(\mathbb {R})$, являющийся базисом Жордана для оператора дифференцирования $D$ на $\mathcal{P}_{4}(\mathbb {R})$, определённого как $D p = p^{\prime }$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ нильпотентен и $v_{1}, \ldots , v_{n}$ — базис Жордана для $T$. Докажите, что минимальный многочлен $T$ равен $z^{m+1}$, где $m$ — длина самой длинной последовательной строки единиц, стоящих непосредственно над диагональю в матрице $T$ относительно $v_{1}, \ldots , v_{n}$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $v_{1}, \ldots , v_{n}$ — базис $V$, являющийся базисом Жордана для $T$. Опишите матрицу $T^{2}$ относительно этого базиса.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ нильпотентен. Объясните, почему существуют $v_{1}, \ldots , v_{n} \in V$ и неотрицательные целые числа $m_{1}, \ldots , m_{n}$, такие что выполняются оба условия (a) и (b) ниже.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $v_{1}, \ldots , v_{n}$ — базис $V$, являющийся базисом Жордана для $T$. Опишите матрицу $T$ относительно базиса $v_{n}, \ldots , v_{1}$, полученного обращением порядка $v$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$. Объясните, почему каждый вектор в каждом базисе Жордана для $T$ является обобщённым собственным вектором $T$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ диагонализируем. Покажите, что $\mathcal{M}(T)$ является диагональной матрицей относительно каждого базиса Жордана для $T$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ нильпотентен. Докажите, что если $v_{1}, \ldots , v_{n}$ — векторы в $V$, а $m_{1}, \ldots , m_{n}$ — неотрицательные целые числа, такие что

и

то $T^{m_{1}} v_{1}, \ldots , T^{m_{n}} v_{n}$ — базис $\operatorname {null}T$. Эта задача показывает, что $n = \operatorname {dim}\operatorname {null}T$. Таким образом, положительное целое число $n$, фигурирующее выше, зависит только от $T$, а не от конкретного выбранного базиса Жордана для $T$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что не существует разложения $V$ в прямую сумму двух ненулевых подпространств, инвариантных относительно $T$, тогда и только тогда, когда минимальный многочлен $T$ имеет вид $(z-\lambda )^{\operatorname {dim} V}$ для некоторого $\lambda \in \mathbb {C}$.

Пусть $V$ — пространство со скалярным произведением и $v, w \in V$. Определим оператор $T \in \mathcal{L}(V)$ формулой $T u = \langle u, v\rangle w$. Найдите формулу для $\operatorname {tr} T$.

Пусть $P \in \mathcal{L}(V)$ удовлетворяет $P^{2} = P$. Докажите, что

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $T^{5} = T$. Докажите, что вещественная и мнимая части $\operatorname {tr} T$ — целые числа.

Пусть $V$ — пространство со скалярным произведением и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что

Пусть $V$ — пространство со скалярным произведением. Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ — положительный оператор и $\operatorname {tr} T = 0$. Докажите, что $T = 0$.

Пусть $V$ — пространство со скалярным произведением и $P, Q \in \mathcal{L}(V)$ — ортогональные проекции. Докажите, что $\operatorname {tr}(P Q) \geq 0$.

Пусть $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {C}^{3}\right)$ — оператор, матрица которого есть

Кто-то сообщает вам (достоверно), что $-48$ и $24$ являются собственными значениями $T$. Не используя компьютер и ничего не записывая, найдите третье собственное значение $T$.

Докажите или приведите контрпример: если $S, T \in \mathcal{L}(V)$, то $\operatorname {tr}(S T) = (\operatorname {tr} S)(\operatorname {tr} T)$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ таков, что $\operatorname {tr}(S T) = 0$ для всех $S \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $T = 0$.

Докажите, что след — единственный линейный функционал $\tau : \mathcal{L}(V) \rightarrow \mathbf{F}$, такой что

для всех $S, T \in \mathcal{L}(V)$ и $\tau (I) = \operatorname {dim} V$.

Пусть $V$ и $W$ — пространства со скалярным произведением и $T \in \mathcal{L}(V, W)$. Докажите, что если $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — ортонормированный базис $V$, а $f_{1}, \ldots , f_{m}$ — ортонормированный базис $W$, то

Числа $\left\langle T e_{k}, f_{j} \right\rangle$ являются элементами матрицы $T$ относительно ортонормированных базисов $e_{1}, \ldots , e_{n}$ и $f_{1}, \ldots , f_{m}$. Эти числа зависят от базисов, но $\operatorname {tr}\left(T^{*} T\right)$ не зависит от выбора базисов. Таким образом, эта задача показывает, что сумма квадратов абсолютных значений элементов матрицы не зависит от того, какие ортонормированные базисы используются.

Пусть $V$ и $W$ — конечномерные пространства со скалярным произведением.

Найдите $S, T \in \mathcal{L}(\mathcal{P}(\mathbf{F}))$, такие что $S T-T S = I$.