Следствия разложения по обобщённым собственным подпространствам

Пусть $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {C}^{3}\right)$ — оператор, определённый как $T\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}\right) = \left(z_{2}, z_{3}, 0\right)$. Докажите, что $T$ не имеет квадратного корня.

Определим $T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{5}\right)$ формулой $T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right) = \left(2 x_{2}, 3 x_{3},-x_{4}, 4 x_{5}, 0\right)$.

Пусть $V$ — комплексное векторное пространство. Докажите, что каждый обратимый оператор на $V$ имеет кубический корень.

Пусть $V$ — вещественное векторное пространство. Докажите, что оператор $-I$ на $V$ имеет квадратный корень тогда и только тогда, когда $\operatorname {dim} V$ чётно.

Пусть $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {C}^{2}\right)$ — оператор, определённый как $T(w, z) = (-w-z, 9 w+5 z)$. Найдите базис Жордана для $T$.

Найдите базис $\mathcal{P}_{4}(\mathbb {R})$, являющийся базисом Жордана для оператора дифференцирования $D$ на $\mathcal{P}_{4}(\mathbb {R})$, определённого как $D p = p^{\prime }$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ нильпотентен и $v_{1}, \ldots , v_{n}$ — базис Жордана для $T$. Докажите, что минимальный многочлен $T$ равен $z^{m+1}$, где $m$ — длина самой длинной последовательной строки единиц, стоящих непосредственно над диагональю в матрице $T$ относительно $v_{1}, \ldots , v_{n}$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $v_{1}, \ldots , v_{n}$ — базис $V$, являющийся базисом Жордана для $T$. Опишите матрицу $T^{2}$ относительно этого базиса.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ нильпотентен. Объясните, почему существуют $v_{1}, \ldots , v_{n} \in V$ и неотрицательные целые числа $m_{1}, \ldots , m_{n}$, такие что выполняются оба условия (a) и (b) ниже.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $v_{1}, \ldots , v_{n}$ — базис $V$, являющийся базисом Жордана для $T$. Опишите матрицу $T$ относительно базиса $v_{n}, \ldots , v_{1}$, полученного обращением порядка $v$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$. Объясните, почему каждый вектор в каждом базисе Жордана для $T$ является обобщённым собственным вектором $T$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ диагонализируем. Покажите, что $\mathcal{M}(T)$ является диагональной матрицей относительно каждого базиса Жордана для $T$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ нильпотентен. Докажите, что если $v_{1}, \ldots , v_{n}$ — векторы в $V$, а $m_{1}, \ldots , m_{n}$ — неотрицательные целые числа, такие что

и

то $T^{m_{1}} v_{1}, \ldots , T^{m_{n}} v_{n}$ — базис $\operatorname {null}T$. Эта задача показывает, что $n = \operatorname {dim}\operatorname {null}T$. Таким образом, положительное целое число $n$, фигурирующее выше, зависит только от $T$, а не от конкретного выбранного базиса Жордана для $T$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что не существует разложения $V$ в прямую сумму двух ненулевых подпространств, инвариантных относительно $T$, тогда и только тогда, когда минимальный многочлен $T$ имеет вид $(z-\lambda )^{\operatorname {dim} V}$ для некоторого $\lambda \in \mathbb {C}$.