Спектр

Проверьте все утверждения в примере 10.33.

Пусть $T$ — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве $V$.

Пусть $E$ — ограниченное подмножество $\mathbf{F}$. Покажите, что существует гильбертово пространство $V$ и оператор $T \in \mathcal{B}(V)$, такие что множество собственных значений $T$ равно $E$.

Пусть $E$ — непустое замкнутое ограниченное подмножество $\mathbf{F}$. Покажите, что существует $T \in \mathcal{B}\left(\ell^{2}\right)$, такой что $\operatorname {sp}(T) = E$.

Приведите пример ограниченного оператора $T$ на нормированном векторном пространстве, такого что для каждого $\alpha \in \mathbf{F}$ оператор $T-\alpha I$ не обратим.

Пусть $T$ — ограниченный оператор на ненулевом комплексном банаховом пространстве $V$.

Докажите, что если $T$ — оператор на гильбертовом пространстве $V$, такой что $\langle T f, g\rangle = \langle f, T g\rangle$ для всех $f, g \in V$, то $T$ — ограниченный оператор.

Пусть $P$ — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве $V$, такой что $P^{2} = P$. Докажите, что $P$ самосопряжён тогда и только тогда, когда существует замкнутое подпространство $U$ пространства $V$, такое что $P = P_{U}$.

Пусть $V$ — вещественное гильбертово пространство и $T \in \mathcal{B}(V)$. Комплексификацией $T$ называется функция $T_{\mathbb {C}}: V_{\mathbb {C}} \rightarrow V_{\mathbb {C}}$, определённая формулой

для $f, g \in V$ (определение $V_{\mathbb {C}}$ см. в упражнении 4 раздела 8B).

Пусть $T$ — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве $V$, такой что $\left\langle Tf, f \right\rangle \geq 0$ для всех $f \in V$. Докажите, что $\operatorname {sp}(T) \subseteq [0, \infty )$.

Пусть $P$ — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве $V$, такой что $P^{2} = P$. Докажите, что $P$ самосопряжён тогда и только тогда, когда $P$ нормален.

Докажите, что нормальный оператор на сепарабельном гильбертовом пространстве имеет не более чем счётное множество собственных значений.

Докажите утверждение или приведите контрпример: если $T$ — нормальный оператор на гильбертовом пространстве и $T = A+i B$, где $A$ и $B$ самосопряжены, то $\left\| T\right\| = \sqrt{\left\| A\right\|^{2}+\left\| B\right\|^{2}}$.

Пусть $T$ — нормальный оператор на гильбертовом пространстве и $\alpha \in \mathbb {F}$. Докажите, что $\alpha \in \operatorname {sp}(T)$ тогда и только тогда, когда $\alpha$ — приближённое собственное значение оператора $T$.

Пусть $T$ — нормальный оператор на гильбертовом пространстве.

Пусть $\left\{ e_{k}\right\}_{k \in \mathbb {N}}$ — ортонормированный базис гильбертова пространства $V$. Пусть также $T$ — нормальный оператор на $V$ и $e_{k}$ — собственный вектор $T$ для каждого $k \geq 2$. Докажите, что $e_{1}$ — собственный вектор $T$.

Докажите, что если $T$ — самосопряжённый оператор на гильбертовом пространстве, то $\left\| T^{n}\right\| = \left\| T\right\|^{n}$ для каждого $n \in \mathbb {N}$.

Докажите, что если $T$ — нормальный оператор на гильбертовом пространстве, то $\left\| T^{n}\right\| = \left\| T\right\|^{n}$ для каждого $n \in \mathbb {N}$.

Пусть $T$ — обратимый оператор на гильбертовом пространстве. Докажите, что $T$ унитарен тогда и только тогда, когда $\left\| T\right\| = \left\| T^{-1}\right\| = 1$.

Пусть $T$ — ограниченный оператор на комплексном гильбертовом пространстве, $T = A+i B$, где $A$ и $B$ самосопряжены (см. 10.54). Докажите, что $T$ унитарен тогда и только тогда, когда $T$ нормален и $A^{2}+B^{2} = I$.

Пусть $T$ — унитарный оператор на комплексном гильбертовом пространстве, такой что $T-I$ обратим. Докажите, что

— самосопряжённый оператор.

Пусть $T$ — самосопряжённый оператор на комплексном гильбертовом пространстве. Докажите, что

— унитарный оператор.

Для ограниченного оператора $T$ на банаховом пространстве определим $e^{T}$ формулой

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой и $h \in L^{\infty }(\mu )$. Как обычно, пусть $M_{h} \in \mathcal{B}\left(L^{2}(\mu )\right)$ обозначает оператор умножения, определённый формулой $M_{h} f = f h$. Докажите, что $M_{h}$ является частичной изометрией тогда и только тогда, когда существует множество $E \in \mathcal{S}$, такое что $\left|h\right| = \chi_{E}$.

Пусть $T$ — изометрия на гильбертовом пространстве. Докажите, что $T^{*}$ — частичная изометрия.

Пусть $T$ — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве $V$. Докажите, что $T$ является частичной изометрией тогда и только тогда, когда $T^{*} T = P_{U}$ для некоторого замкнутого подпространства $U$ пространства $V$.