Линейные операторы на гильбертовых пространствах

Определим $T: \ell^{2} \rightarrow \ell^{2}$ формулой $T\left(a_{1}, a_{2}, \ldots \right) = \left(0, a_{1}, a_{2}, \ldots \right)$. Найдите формулу для $T^{*}$.

Пусть $V$ — гильбертово пространство, $U$ — замкнутое подпространство пространства $V$, и $T: U \rightarrow V$ определён формулой $T f = f$. Опишите линейный оператор $T^{*}: V \rightarrow U$.

Пусть $V$ и $W$ — гильбертовы пространства и $g \in V, h \in W$. Определим $T \in \mathcal{B}(V, W)$ формулой $T f = \left\langle f, g \right\rangle h$. Найдите формулу для $T^{*}$.

Пусть $V$ и $W$ — гильбертовы пространства и $T \in \mathcal{B}(V, W)$ имеет конечномерный образ. Докажите, что $T^{*}$ также имеет конечномерный образ.

Докажите утверждение или приведите контрпример: если $V$ — гильбертово пространство и $T: V \rightarrow V$ — ограниченное линейное отображение, такое что $\operatorname {dim}\operatorname {null}(T)< \infty$, то $\operatorname {dim}\operatorname {null}(T^{*}) < \infty$.

Пусть $T$ — ограниченное линейное отображение из гильбертова пространства $V$ в гильбертово пространство $W$. Докажите, что $\left\| T^{*} T\right\| = \left\| T\right\|^{2}$.

Пусть $V$ — гильбертово пространство и $\operatorname {Inv}(V)$ — множество обратимых ограниченных операторов на $V$. Будем рассматривать $\operatorname {Inv}(V)$ как метрическое пространство с метрикой, унаследованной как от подмножества $\mathcal{B}(V)$. Покажите, что $T \mapsto T^{-1}$ — непрерывная функция из $\operatorname {Inv}(V)$ в $\operatorname {Inv}(V)$.

Пусть $T$ — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве.

Пусть $b_{1}, b_{2}, \ldots$ — ограниченная последовательность в $\mathbf{F}$. Определим ограниченное линейное отображение $T: \ell^{2} \rightarrow \ell^{2}$ формулой

Пусть $h \in \mathcal{L}^{\infty }(\mathbb {R})$ и $M_{h}: L^{2}(\mathbb {R}) \rightarrow L^{2}(\mathbb {R})$ — ограниченный оператор, определённый формулой $M_{h} f = f h$.

Определим $T: \ell^{2} \rightarrow \ell^{2}$ формулой $T\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots \right) = \left(a_{2}, a_{3}, a_{4}, \ldots \right)$. Пусть $\alpha \in \mathbf{F}$.

Пусть $V$ — гильбертово пространство.

Пусть $T$ — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве $V$.

Проверьте все утверждения в примере 10.33.

Пусть $T$ — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве $V$.

Пусть $E$ — ограниченное подмножество $\mathbf{F}$. Покажите, что существует гильбертово пространство $V$ и оператор $T \in \mathcal{B}(V)$, такие что множество собственных значений $T$ равно $E$.

Пусть $E$ — непустое замкнутое ограниченное подмножество $\mathbf{F}$. Покажите, что существует $T \in \mathcal{B}\left(\ell^{2}\right)$, такой что $\operatorname {sp}(T) = E$.

Приведите пример ограниченного оператора $T$ на нормированном векторном пространстве, такого что для каждого $\alpha \in \mathbf{F}$ оператор $T-\alpha I$ не обратим.

Пусть $T$ — ограниченный оператор на ненулевом комплексном банаховом пространстве $V$.

Докажите, что если $T$ — оператор на гильбертовом пространстве $V$, такой что $\langle T f, g\rangle = \langle f, T g\rangle$ для всех $f, g \in V$, то $T$ — ограниченный оператор.

Пусть $P$ — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве $V$, такой что $P^{2} = P$. Докажите, что $P$ самосопряжён тогда и только тогда, когда существует замкнутое подпространство $U$ пространства $V$, такое что $P = P_{U}$.

Пусть $V$ — вещественное гильбертово пространство и $T \in \mathcal{B}(V)$. Комплексификацией $T$ называется функция $T_{\mathbb {C}}: V_{\mathbb {C}} \rightarrow V_{\mathbb {C}}$, определённая формулой

для $f, g \in V$ (определение $V_{\mathbb {C}}$ см. в упражнении 4 раздела 8B).

Пусть $T$ — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве $V$, такой что $\left\langle Tf, f \right\rangle \geq 0$ для всех $f \in V$. Докажите, что $\operatorname {sp}(T) \subseteq [0, \infty )$.

Пусть $P$ — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве $V$, такой что $P^{2} = P$. Докажите, что $P$ самосопряжён тогда и только тогда, когда $P$ нормален.

Докажите, что нормальный оператор на сепарабельном гильбертовом пространстве имеет не более чем счётное множество собственных значений.

Докажите утверждение или приведите контрпример: если $T$ — нормальный оператор на гильбертовом пространстве и $T = A+i B$, где $A$ и $B$ самосопряжены, то $\left\| T\right\| = \sqrt{\left\| A\right\|^{2}+\left\| B\right\|^{2}}$.

Пусть $T$ — нормальный оператор на гильбертовом пространстве и $\alpha \in \mathbb {F}$. Докажите, что $\alpha \in \operatorname {sp}(T)$ тогда и только тогда, когда $\alpha$ — приближённое собственное значение оператора $T$.

Пусть $T$ — нормальный оператор на гильбертовом пространстве.

Пусть $\left\{ e_{k}\right\}_{k \in \mathbb {N}}$ — ортонормированный базис гильбертова пространства $V$. Пусть также $T$ — нормальный оператор на $V$ и $e_{k}$ — собственный вектор $T$ для каждого $k \geq 2$. Докажите, что $e_{1}$ — собственный вектор $T$.

Докажите, что если $T$ — самосопряжённый оператор на гильбертовом пространстве, то $\left\| T^{n}\right\| = \left\| T\right\|^{n}$ для каждого $n \in \mathbb {N}$.

Докажите, что если $T$ — нормальный оператор на гильбертовом пространстве, то $\left\| T^{n}\right\| = \left\| T\right\|^{n}$ для каждого $n \in \mathbb {N}$.

Пусть $T$ — обратимый оператор на гильбертовом пространстве. Докажите, что $T$ унитарен тогда и только тогда, когда $\left\| T\right\| = \left\| T^{-1}\right\| = 1$.

Пусть $T$ — ограниченный оператор на комплексном гильбертовом пространстве, $T = A+i B$, где $A$ и $B$ самосопряжены (см. 10.54). Докажите, что $T$ унитарен тогда и только тогда, когда $T$ нормален и $A^{2}+B^{2} = I$.

Пусть $T$ — унитарный оператор на комплексном гильбертовом пространстве, такой что $T-I$ обратим. Докажите, что

— самосопряжённый оператор.

Пусть $T$ — самосопряжённый оператор на комплексном гильбертовом пространстве. Докажите, что

— унитарный оператор.

Для ограниченного оператора $T$ на банаховом пространстве определим $e^{T}$ формулой

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой и $h \in L^{\infty }(\mu )$. Как обычно, пусть $M_{h} \in \mathcal{B}\left(L^{2}(\mu )\right)$ обозначает оператор умножения, определённый формулой $M_{h} f = f h$. Докажите, что $M_{h}$ является частичной изометрией тогда и только тогда, когда существует множество $E \in \mathcal{S}$, такое что $\left|h\right| = \chi_{E}$.

Пусть $T$ — изометрия на гильбертовом пространстве. Докажите, что $T^{*}$ — частичная изометрия.

Пусть $T$ — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве $V$. Докажите, что $T$ является частичной изометрией тогда и только тогда, когда $T^{*} T = P_{U}$ для некоторого замкнутого подпространства $U$ пространства $V$.

Докажите, что если $T$ — компактный оператор на гильбертовом пространстве $V$, а $e_{1}, e_{2}, \ldots$ — ортонормированная последовательность в $V$, то $\lim_{n \rightarrow \infty } T e_{n} = 0_V$.

Докажите, что если $T$ — компактный оператор на $L^{2}([0,1])$, то $\lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt{n}\left\| T\left(x^{n}\right)\right\|_{2} = 0$, где $x^{n}$ обозначает элемент $L^{2}([0,1])$, определённый как $x \mapsto x^{n}$.

Пусть $T$ — компактный оператор на гильбертовом пространстве $V$, а $f_{1}, f_{2}, \ldots$ — последовательность в $V$, такая что $\lim_{n \rightarrow \infty }\left\langle f_{n}, g \right\rangle = 0$ для любого $g \in V$. Докажите, что $\lim_{n \rightarrow \infty }\left\| T f_{n}\right\| = 0$.

Пусть $h \in L^{\infty }(\mathbb {R})$. Определим оператор $M_{h} \in \mathcal{B}\left(L^{2}(\mathbb {R})\right)$ формулой $M_{h} f = f h$. Докажите, что если $\left\| h\right\|_{\infty } > 0$, то $M_{h}$ не является компактным.

Пусть $\left(b_{1}, b_{2}, \ldots \right) \in \ell^{\infty }$. Определим отображение $T: \ell^{2} \rightarrow \ell^{2}$ формулой

Докажите, что $T$ компактен тогда и только тогда, когда $\lim_{n \rightarrow \infty } b_{n} = 0$.

Пусть $T$ — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве $V$. Докажите, что если существует ортонормированный базис $\left\{ e_{k}\right\}_{k \in \Gamma }$ пространства $V$, такой что

то $T$ компактен.

Пусть $T$ — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве $V$. Докажите, что если $\left\{ e_{k}\right\}_{k \in \Gamma }$ и $\left\{ f_{j}\right\}_{j \in \Omega }$ — ортонормированные базисы $V$, то

Пусть $T$ — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве. Докажите, что $T$ компактен тогда и только тогда, когда $T^{*} T$ компактен.

Докажите, что если $T$ — компактный оператор на бесконечномерном гильбертовом пространстве, то $\left\| I-T\right\| \geq 1$.

Покажите, что если $T$ — сюръективный, но не инъективный оператор на векторном пространстве $V$, то

Пусть $T$ — компактный оператор на гильбертовом пространстве и $\alpha \in \mathbf{F} \backslash \left\{ 0\right\}$.

Докажите, что если $f:[0,1] \rightarrow \mathbf{F}$ — непрерывная функция, то существует непрерывная функция $g:[0,1] \rightarrow \mathbf{F}$, такая что

для всех $x \in [0,1]$.

Пусть $S$ — ограниченный обратимый оператор на гильбертовом пространстве $V$, а $T$ — компактный оператор на $V$.

Пусть $T$ — компактный оператор на гильбертовом пространстве $V$. Докажите, что образ $T$ является сепарабельным подпространством $V$.

Пусть $T$ — компактный оператор на гильбертовом пространстве $V$, а $e_{1}, e_{2}, \ldots$ — ортонормированный базис образа $T$. Пусть $P_{n}$ обозначает ортогональную проекцию $V$ на $\operatorname {span}\left\{ e_{1}, \ldots , e_{n}\right\}$.

Докажите, что если $T$ — компактный оператор на гильбертовом пространстве $V$, то существует последовательность $S_{1}, S_{2}, \ldots$ обратимых операторов на $V$, такая что $\lim_{n \rightarrow \infty }\left\| T-S_{n}\right\| = 0$.

Пусть $T$ — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве, такой что $p(T)$ компактен для некоторого ненулевого многочлена $p$ с коэффициентами в $\mathbf{F}$. Докажите, что $\operatorname {sp}(T)$ — счётное множество.

Пусть $T \in \mathcal{B}\left(\ell^{2}\right)$ определён формулой $T\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots \right) = \left(a_{2}, a_{3}, a_{4}, \ldots \right)$. Пусть также $\alpha \in \mathbf{F}$ и $\left|\alpha \right| < 1$.

Докажите, что геометрическая кратность собственного значения нормального оператора на гильбертовом пространстве равна алгебраической кратности этого собственного значения.

Докажите, что каждое ненулевое собственное значение компактного оператора на гильбертовом пространстве имеет конечную алгебраическую кратность.

Докажите, что если $T$ — компактный оператор на гильбертовом пространстве и $\alpha$ — ненулевое собственное значение $T$, то алгебраическая кратность $\alpha$ как собственного значения $T$ равна алгебраической кратности $\overline{\alpha }$ как собственного значения $T^{*}$.

Докажите, что если $V$ — сепарабельное гильбертово пространство, то $\mathcal{C}(V)$, банахово пространство компактных операторов на $V$, сепарабельно.

Докажите, что если $T$ — компактный оператор на ненулевом гильбертовом пространстве, то $\left\| T\right\|^{2}$ является собственным значением $T^{*} T$.

Докажите, что если $T$ — самосопряжённый оператор на ненулевом гильбертовом пространстве $V$, то

Пусть $T$ — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве $V$, а $U$ — замкнутое подпространство $V$. Докажите, что следующие условия эквивалентны:

Пусть $T$ — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве $V$, а $U$ — замкнутое подпространство $V$. Докажите, что следующие условия эквивалентны:

Пусть $T$ — ограниченный оператор на несепарабельном нормированном векторном пространстве $V$. Докажите, что $T$ обладает замкнутым инвариантным подпространством, отличным от $\left\{ 0\right\}$ и $V$.

Пусть $T$ — оператор на банаховом пространстве $V$ размерности больше 2. Докажите, что $T$ обладает инвариантным подпространством, отличным от $\left\{ 0\right\}$ и $V$.

Пусть $T$ — самосопряжённый компактный оператор на гильбертовом пространстве, имеющий лишь конечное число различных собственных значений. Докажите, что $T$ имеет конечномерный образ.

Пусть $T$ — компактный нормальный оператор на ненулевом гильбертовом пространстве $V$. Докажите, что существует подпространство $V$ размерности 1 или 2, являющееся инвариантным подпространством для $T$.

Пусть $T$ — самосопряжённый компактный оператор на гильбертовом пространстве и $\left\| T\right\| \leq \frac{1}{4}$. Докажите, что существует самосопряжённый компактный оператор $S$, такой что $S^{2}+S = T$.

Для $k \in \mathbb {Z}$ определим $g_{k} \in L^{2}((-\pi , \pi ])$ и $h_{k} \in L^{2}((-\pi , \pi ])$ формулами

здесь мы предполагаем, что $\mathbf{F} = \mathbb {C}$.

Пусть $T$ — компактный оператор на гильбертовом пространстве. Докажите, что $s_{1}(T) = \left\| T\right\|$.

Пусть $T$ — компактный оператор на гильбертовом пространстве и $n \in \mathbb {N}$. Докажите, что $\operatorname {dim}\operatorname {range}T < n$ тогда и только тогда, когда $s_{n}(T) = 0$.

Пусть $T$ — компактный оператор на гильбертовом пространстве $V$ с сингулярным разложением

для всех $f \in V$. Для $n \in \mathbb {N}$ определим $T_{n}: V \rightarrow V$ формулой

Докажите, что $\lim_{n \rightarrow \infty }\left\| T-T_{n}\right\| = 0$.

Пусть $T$ — компактный оператор на гильбертовом пространстве $V$ и $n \in \mathbb {N}$. Докажите, что

Пусть $T$ — компактный оператор на гильбертовом пространстве $V$ и $n \in \mathbb {N}$. Докажите, что

Пусть $T$ — компактный оператор на гильбертовом пространстве $V$ с сингулярным разложением

для всех $f \in V$. Докажите, что

для всех $f \in V$.

Пусть $T$ — оператор на конечномерном гильбертовом пространстве $V$ с $\operatorname {dim} V = n$.

Пусть $T$ — компактный оператор на гильбертовом пространстве $V$. Докажите, что

для любого ортонормированного базиса $\left\{ e_{k}\right\}_{k \in \Gamma }$ пространства $V$.

Используя результат примера 10.124, вычислите $\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}}$.

Пусть $T$ — нормальный компактный оператор на комплексном гильбертовом пространстве. Докажите, что следующие условия эквивалентны: