Компактные операторы

Докажите, что если $T$ — компактный оператор на гильбертовом пространстве $V$, а $e_{1}, e_{2}, \ldots$ — ортонормированная последовательность в $V$, то $\lim_{n \rightarrow \infty } T e_{n} = 0_V$.

Докажите, что если $T$ — компактный оператор на $L^{2}([0,1])$, то $\lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt{n}\left\| T\left(x^{n}\right)\right\|_{2} = 0$, где $x^{n}$ обозначает элемент $L^{2}([0,1])$, определённый как $x \mapsto x^{n}$.

Пусть $T$ — компактный оператор на гильбертовом пространстве $V$, а $f_{1}, f_{2}, \ldots$ — последовательность в $V$, такая что $\lim_{n \rightarrow \infty }\left\langle f_{n}, g \right\rangle = 0$ для любого $g \in V$. Докажите, что $\lim_{n \rightarrow \infty }\left\| T f_{n}\right\| = 0$.

Пусть $h \in L^{\infty }(\mathbb {R})$. Определим оператор $M_{h} \in \mathcal{B}\left(L^{2}(\mathbb {R})\right)$ формулой $M_{h} f = f h$. Докажите, что если $\left\| h\right\|_{\infty } > 0$, то $M_{h}$ не является компактным.

Пусть $\left(b_{1}, b_{2}, \ldots \right) \in \ell^{\infty }$. Определим отображение $T: \ell^{2} \rightarrow \ell^{2}$ формулой

Докажите, что $T$ компактен тогда и только тогда, когда $\lim_{n \rightarrow \infty } b_{n} = 0$.

Пусть $T$ — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве $V$. Докажите, что если существует ортонормированный базис $\left\{ e_{k}\right\}_{k \in \Gamma }$ пространства $V$, такой что

то $T$ компактен.

Пусть $T$ — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве $V$. Докажите, что если $\left\{ e_{k}\right\}_{k \in \Gamma }$ и $\left\{ f_{j}\right\}_{j \in \Omega }$ — ортонормированные базисы $V$, то

Пусть $T$ — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве. Докажите, что $T$ компактен тогда и только тогда, когда $T^{*} T$ компактен.

Докажите, что если $T$ — компактный оператор на бесконечномерном гильбертовом пространстве, то $\left\| I-T\right\| \geq 1$.

Покажите, что если $T$ — сюръективный, но не инъективный оператор на векторном пространстве $V$, то

Пусть $T$ — компактный оператор на гильбертовом пространстве и $\alpha \in \mathbf{F} \backslash \left\{ 0\right\}$.

Докажите, что если $f:[0,1] \rightarrow \mathbf{F}$ — непрерывная функция, то существует непрерывная функция $g:[0,1] \rightarrow \mathbf{F}$, такая что

для всех $x \in [0,1]$.

Пусть $S$ — ограниченный обратимый оператор на гильбертовом пространстве $V$, а $T$ — компактный оператор на $V$.

Пусть $T$ — компактный оператор на гильбертовом пространстве $V$. Докажите, что образ $T$ является сепарабельным подпространством $V$.

Пусть $T$ — компактный оператор на гильбертовом пространстве $V$, а $e_{1}, e_{2}, \ldots$ — ортонормированный базис образа $T$. Пусть $P_{n}$ обозначает ортогональную проекцию $V$ на $\operatorname {span}\left\{ e_{1}, \ldots , e_{n}\right\}$.

Докажите, что если $T$ — компактный оператор на гильбертовом пространстве $V$, то существует последовательность $S_{1}, S_{2}, \ldots$ обратимых операторов на $V$, такая что $\lim_{n \rightarrow \infty }\left\| T-S_{n}\right\| = 0$.

Пусть $T$ — ограниченный оператор на гильбертовом пространстве, такой что $p(T)$ компактен для некоторого ненулевого многочлена $p$ с коэффициентами в $\mathbf{F}$. Докажите, что $\operatorname {sp}(T)$ — счётное множество.

Пусть $T \in \mathcal{B}\left(\ell^{2}\right)$ определён формулой $T\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots \right) = \left(a_{2}, a_{3}, a_{4}, \ldots \right)$. Пусть также $\alpha \in \mathbf{F}$ и $\left|\alpha \right| < 1$.

Докажите, что геометрическая кратность собственного значения нормального оператора на гильбертовом пространстве равна алгебраической кратности этого собственного значения.

Докажите, что каждое ненулевое собственное значение компактного оператора на гильбертовом пространстве имеет конечную алгебраическую кратность.

Докажите, что если $T$ — компактный оператор на гильбертовом пространстве и $\alpha$ — ненулевое собственное значение $T$, то алгебраическая кратность $\alpha$ как собственного значения $T$ равна алгебраической кратности $\overline{\alpha }$ как собственного значения $T^{*}$.

Докажите, что если $V$ — сепарабельное гильбертово пространство, то $\mathcal{C}(V)$, банахово пространство компактных операторов на $V$, сепарабельно.