Спектр компактного оператора

Пусть $X$ — бесконечномерное банахово пространство, $A \in \mathcal{K}(X)$. Доказать, что $0 \in \sigma_{\text{ess }}(A)$.

Пусть $X$ — бесконечномерное банахово пространство, $A \in \mathcal{K}(X)$. Опираясь на альтернативу Фредгольма, доказать, что:

Доказать, что ненулевое собственное значение компактного оператора имеет конечную кратность.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{K}(X)$. Доказать, что для любого $\delta > 0$ множество $\sigma_{\mathrm{p}}(A) \cap \left\{ z:\left|z\right| > \delta \right\}$ состоит из конечного числа точек, каждая из которых является собственным значением оператора $A$ конечной кратности.

Доказать, что интегральный оператор

является оператором Вольтерра в пространстве

Пусть $A$ — оператор Вольтерра и $\lambda \in \mathbb {C}$. Доказать, что уравнение $(I-\lambda A) x = y$ в банаховом пространстве $X$ разрешимо для любой правой части и любого $\lambda$. Доказать, что решение представимо в виде ряда $x = \sum_{k = 0}^{\infty } \lambda^{k} A^{k} y$.

Решить уравнение $x(t)+\lambda \int_{0}^{t} x(s) d s = y(t)$ (относительно функции $x$ при известной функции $y$) в следующих пространствах:

Пусть $X$ — комплексное бесконечномерное банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(X)$ и $\sigma (A) = \left\{ 0\right\}$. Верно ли, что $A$ компактен?

Пусть $X$ — бесконечномерное банахово пространство. Привести примеры операторов $A \in \mathcal{K}(X)$, для которых

Исследовав собственные значения оператора РиманаЛиувилля в пространстве $L_{2}[0,1]$ с произвольным параметром $r > 1 / 2$ (см. задачу 6.35), доказать некомпактность этого оператора.

Найти собственные значения оператора Харди

в пространствах

Найти собственные значения оператора

в пространстве $L_{p}[0,1](1 \leqslant p < \infty )$.

В пространстве $C[0, \pi ]$ найти собственные значения и собственные функции интегрального оператора

в случае

В пространстве $L_{2}[-\pi , \pi ]$ найти собственные значения и собственные функции интегрального оператора

если $K(t, s) = \sum_{n \in \mathbb {Z}} 3^{-\left|n\right|} e^{-i n(t-s)}$.

В пространстве $L_{2}[0, \pi ]$ найти собственные значения и собственные функции интегрального оператора

если $K(t, s) = \begin{cases} \sin t \cos s & \text{ при } 0 \leqslant t \leqslant s \leqslant \pi , \\ \sin s \cos t & \text{ при } 0 \leqslant s \leqslant t \leqslant \pi .\end{cases}$

В пространстве $L_{2}[0,1]$ найти собственные значения и собственные функции интегрального оператора

если

(Г. Вейль, 1910). Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(X), \lambda \in \sigma (A) \backslash \sigma_{\mathrm{p}}(A)$ и $B = A+K$, где $K \in \mathcal{K}(X)$. Доказать, что $\lambda \in \sigma (B)$.

Пусть $T_{r} \in \mathcal{B}\left(l_{p}(\mathbb {Z})\right), p \in [1, \infty )$, — оператор правого сдвига, т. е. $\left(T_{r} x\right)_{n} = x_{n-1}, n \in \mathbb {Z}$. Доказать, что $\sigma \left(T_{r}\right)$ совпадает с единичной окружностью, и построить одномерный оператор $K \in \mathcal{B}\left(l_{p}(\mathbb {Z})\right)$ такой, что $\sigma \left(T_{r}+K\right)$ совпадает с единичным кругом. (См. пример 12.1 и ср. с задачей 12.47).

Пусть $X$ — бесконечномерное банахово пространство, $A, B \in \mathcal{B}(X), K \in \mathcal{K}(X)$. Доказать, что равенство $A B-B A = I+K$ невозможно (т. е. компактное возмущение тождественного оператора не может быть коммутатором, ср. с задачей 12.41).